初高中衔接教材数学因式分解及一元二次方程


第 1 课时
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因式分解

1.熟悉常见的乘法公式,会用乘法公式分解因式; 2.了解方程的根与对应的代数式的因式分解之间的关系,体会因式分解的求根法和待定系数法 . 3.掌握十字相乘法、分组分解法; 4.能根据问题,灵活运用各种方法分解因式.

课堂实录:
1.分解因式的方法主要有: 提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、解求根法及待定 系数法. 2.常见的乘法公式有: (1)平方差公式 : a ? b ?
2 2

;(2)立方差公式: a ? b ?
3 3

;
;

(3)立方和公式: a ? b ?
3 3

;(4)完全平方公式: (a ? b) ?
2

(5) 完全立方公式: (a ? b) ?
3

.

思维点击:
【例1】 分解因式: 8x3 ? y3

【例 2】把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x ? 3x ? 28
2

(2) x ? 4 xy ? 4 y
2

2

【例 3】分解因式 (1) x ? 2 y ? y ? 2 x
2 2

(2) x2+x-(a2-a)

【例 4】已知 a ? 2b ? 3 ,求 a ? 2a ? 4b ? 4b ? 4ab ? 3 的值
2 2

第1页

.随堂训练: 1.分解下列因式 (1) x ? 2 x ? 3
2

(2) x ? y ? ( x ? y)2 ? 2

(3) m ? 3m ? 6
2

(4) a ? 1
3

(5) x ? y ? ( x ? y)2 ? 2

(6) a ? b ? 2ac ? 2bc ? 2ab
2 2

(7) ( x ? y)( x ? y ? 3) ? 2 ?

(8) ( x2 ? 3x ? 3)( x2 ? 3x ? 4) ? 8 ?

第2页

课后作业:
1.分解因式: (1)x2+6x+8=

(2)x2-2x-1=

(3) 4 x ? 20 x ? 25 ?
2

(4) ? x ? 5 x ? 6 ?
2

; (5) 3x2 ? xy ? 2 y 2 ?

(6) a b ? 7ab ? 10 ?
2 2

(7) 6( x ? 6) ? 2 x2 ?

(8) x ? a ? 2a ? 2 x ?
2 2

(9)4x2-8x-12y-9y2 =

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2.分解因式: (1) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x (2) x 2 ? y 2 ? a 2 ? b2 ? 2ax ? 2by

(3) a ? 4ab ? 4b ? 6a ? 12b ? 9
2 2

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x)

( 5)4b2-10b+c2-5c+4bc+6

3.已知 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,求 x ? xy ? 2 y ? 3x ? 3 y ? 2 的值.
2 2

第4页

第 2 课时
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一元二次方程

1.熟练掌握一元二次方程的求解方法; 2.掌握一元二次方程根与系数的关系—韦达定理,能熟练应用韦达定理解决相关问题 .

课堂实录:
1、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求解方法: (1)公式法:判别式△= 若 ,则方程无实数根。 若 若 ,则方程有两个相等的实数根, x1 ? x2 ? ,则方程有两个不相等的实数根, x1,2 ? 。 。

(2)因式分解法:将方程左边分解为两个一次因式的乘积,即 a( x ? x1 ) ? ( x ? x1 ) ? 0 ,则方程 两根为 。

2、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根与系数的关系: 1、韦达定理:如果一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:

x1 ? x2 ?



x1 ? x2 ?

【注】韦达定理成立的前提是 ? ? 0 。 2、几个常见的变形:

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

2 x12 ? x2 ?( x1 ? x )2 2 ? 2 x1 x2

思维点击:
【例 1】解下列关于 x 的方程: (1)x2-2x-3=0 (2)x2-3x-4=0

(3)x2-4x-4=0

(4)2x2+5ax-3a2=0

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【例 2】若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2010 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

(1) x12 ? x22

(2)

1 1 ? x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5)

(4) | x1 ? x2 |

【例 3】已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

1 2 k ? 1 ? 0 的两根是一个矩形两边的长。 4
(2) 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值。

(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根?

随堂训练:
1、解关于 x 的方程: (1) ( x2 ? 5x)2 ? 2( x2 ? 5x) ? 24 ? 0 (2)x2+4bx-12b2=0

2、已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大 21,求 m 的值。

第6页

课后作业:
1、一元二次方程 (1 ? k ) x2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 2、若 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则
2



1 1 ? 的值为 x1 x2



3、已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方程

x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于

。 。

4、若方程 2 x2 ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是 5、解下列关于 x 的方程: (1)x2-3x=15 (2)5x2+1=4x2+x

(3)3x(x-1)=2(x-1)

6、已知方程 x2-3x-2=0,x1,x2 为方程的两实根,试求下列各式的值: (1) | x1-x2| (2)

1 1 ? 2 2 x1 x2

(3) x13 ? x23

第7页

7、已知不等式 x2 +ax+b=0 的解集为 x ?

1 1 或 ,试求 a、b 的值。 3 2

8、已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 。 (1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ,且满足

1 1 1 ? ? ? ,求 m 的值。 x1 x2 2

9、已知关于 x 的方程 (k ? 1) x ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 。
2

(1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请您 说明理由。

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