山东省济南市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一 项符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,m 是实数,若 A. ?2 B. ?

m?i 是纯虚数,则 m ? ( ) 2?i
C.2 D.

1 2

1 2

2 ?x ?n 2.已知集合 M ? x x ? 4 x ? 0 , N ? x m ? x ? 5 , 若 M ?N ? x 3

?

?

?

?

?

? ,则 m ? n

等于( ) A.9 B.8
2

C.7

D.6

3.“ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何体的表面积 为( ) A. 37? C. 33? B. 35? D. 31?

2 5.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N 4, ?

?

? ?? ? 0 ? ,若 X 在(0,8)内取值的

概率为 0.6,则 X 在(0,4)内取值的概率为( ) A.0.2 C.0.4 B.0.3 D.0.6

6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于( )

2 3 4 C. 5
A. 7. 将 函 数 y ? cos 2 x 的 图 象 向 左 平 移

? 个单位,得到函数 4

3 4 5 D. 6
B.

y ? f ? x ? ? cos x 的图象,则 f ? x ? 的表达式可以是( )
A. f ? x ? ? ?2sin x B. f ? x ? ? 2sin x

C. f ? x ? ?

2 sin 2 x 2 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近 a 2 b2

D. f ? x ? ?

8.点 A 是抛物线 C1 : y2 ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线 C2 :

线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于( ) A.

2

B.

3

C.

5

D.

6

9.下列图象中,可能是函数 y ?

e x ? e? x 图象的是( ) e x ? e? x

10.在 ?ABC 中, P 0 是 AB 中点,且对于边 AB 上任一点 P,恒有 PB PC ? P 0B P 0C ,则有 ( ) A. AB ? BC B. AC ? BC C. ?ABC ? 90 D. ?BAC ? 90

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知 ? x 2 ? ________. 12.曲线 y ? x 和曲线 y ? x 围成的图形的面积是________.
2 2

? ?

1? ? 的二项展开式的各项系数和为 32 ,则二项展开式中含 x 项的系数为 x?

n

?x ? y ? 1 ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? 3 y 仅在点(1,0)处取得最小 ?2 x ? y ? 2 ?
值,则 a 的取值范围为_________. 14.已知圆 C 过点 ? ?1,0 ? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长

为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 平行的直线方程为________. 15.已知命题: ①将一组数据中的每个数都变为原来的 2 倍,则方差也变为原来的 2 倍; ②命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” ; ③在 ?ABC 中,若 A ? B,则sin A ? sin B ; ④在正三棱锥 S ? ABC 内任取一点 P,使得 VP ? ABC ?

7 1 VS ? ABC 的概率是 ; 8 2

⑤若对于任意的 n ? N ? , n2 ? ? a ? 4? n ? 3 ? a ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ? , ?? ? . 以上命题中正确的是__________(填写所有正确命题的序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A, 差数列. (I)若 b ? 13,a ? 3,求c 的值; (II)设 t ? sin A sin C ,求 t 的最大值.

?1 ?3

? ?

B , C 成等 4

17. (本小题满分 12 分)为了参加市中学生运动会,某校从四支较强的班级篮球队 A,B, C,D 中选出 12 人组成校男子篮球队,队员来源如下表:

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一个队的概率; (II)比赛结束后,学校要评选出 3 名优秀队员(每一个队员等可能被评为优秀队员) ,设 其中来自 A 队的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD中,AB / /CD, AB ? AD, AB ? 2, AD ? 2 ,

CD ? 1, PA ? 平面 ABCD,PA=2.
(I)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD / / m ; (II)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正切值为

PQ 2 ,求 的值. PB 2

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足

S n ? 2n ?1 ? 2 p ? n ? N ? ? .
(I)求 p 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足

an ?1 ab ? ? 3 ? p ? n n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2

x2 y 2 3 1? ? 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 且过点 ? 3, ? . a b 2 2? ?
(I)求椭圆的标准方程; (II) 四边形 ABCD 的顶点在椭圆上, 且对角线 AC, BD 过原点 O, 设 A? x 1y ,1B ?, x ?y 2, 满足 4 y1 y2 ? x1 x2 . (i)试证 k AB ? kBC 的值为定值,并求出此定值; (ii)试求四边形 ABCD 面积的最大值.
2

?,

21. (本小题满分 14 分)已知关于 x 的函数 f ? x ? ? ln x ? a ? x ? 1? (I)求函数 f ? x ? 在点 P ?1,0 ? 处的切线方程; (II)求函数 f ? x ? 有极小值,试求 a 的取值范围;

2

?a ? R? .

(III)若在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ? x ? 不出现在直线 y ? x ? 1 的上方,试求 a 的最大值.

(Ⅱ)∵ A ? C ?

?
3

? t ? sin A sin C ? sin A sin( ? A) 3 3 1 ? sin A( cos A ? sin A) 2 2 3 1 1 ? cos 2 A ? sin 2 A ? ( ) 4 2 2 1 ? 1 ------------------------10 分 ? sin(2 A ? ) ? 2 6 4
∵0 ? A ?

?

?
3



?

?
6

? 2A ?

?
6

?

所以当 2 A ? ? ? ? , 即 A ? ? 时, t 有最大值 1 .?????????12 分 6 2 4 6 (17)解: (Ⅰ)从这 12 名队员中随机选出两名, 两人来自同一个队记作事件 A, 则 P( A) ?
2 2 C4 ? C32 ? C2 ? C32 13 ? 2 C12 66

5? . 6

????????4 分

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3. 因为
P(? =0) ?
1 2 2 1 3 C83 14 C4 C8 28 C4 C8 12 C4 1 ? , P ( ? =1) ? ? , P ( ? =2) ? ? , P ( ? =3) ? ? . ???? 3 3 3 3 C12 55 C12 55 C12 55 C12 55

8分 所以 ? 的分布列为:

?
P

0
14 55

1
28 55

2
12 55

3
1 55

E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? +3 ? ? 1 55 55 55 55

????????12 分

(18)解: (Ⅰ)证明:∵ AB // CD, CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB ,

? CD // 平面PCD.
因为 CD ? 平面 PCD,平面 PAB ? 平面 PCD=m

? CD // m ??????4 分
(Ⅱ)设 系 设 Q(x,y,z) ,直线 QC 与平面 PAC 所成角为θ . 所以 PQ ? ? PB , 所以即 Q(2 ? ,0,-2 ? +2)??????6 分 所以
P z

PQ ? ? , 因为 AB ? AD, PD ? 平面ABCD ,所以建立如图所示的空间直角坐标 PB

CQ ? (2? ? 1,? 2,?2? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? 7 分 AP ? (0,0,2), AC ? (1, 2,0)
平面 PAC 的一个法向量为 n ? ( 2 ,?1,0) .???9 分
B x

A C

D y

n ? CQ 3 ? 2 ? cos? ? 3 ? tan? ? n ? CQ 2 ,

解得

??

7 12 ∈

??????11 分 ??????????????12 分

7 PQ 所以 = 12 PB

Tn ? 2 ?

1 2
n ?1

?

n ????12 分 2n 3 1 c 3 ? 1,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,------------------2 分 , 2 ? ? a 4b 2 a 2

(20)解: (Ⅰ)由题意 e ? 解得 a ? 4, b ? 1 ,
2 2

x2 ? y 2 ? 1 .-------------------------------------4 分 椭圆的标准方程为 4
(Ⅱ) (i) 直线 AB 的斜率不存在(或 AB 的斜率为 0)时不满足 4 y1 y2 ? x1 x2 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4(m ? 1) ? 0 2 2 ?x ? 4 y ? 4

? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1) ? 4(m2 ? 1) ? 16[4k 2 ? m2 ? 1] ? 0 (*)

? 8km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 1) ? x1 x2 ? 4(m ?2 1 ? 4k ?

????6 分

? 4 y1 y2 ? x1x2
又y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
????7 分

?(4k 2 ? 1) x1 x2 ? 4km( x1 ? x2 ) ? 4m2 ? 0
? (4k 2 ? 1) 4(m 2 ? 1) ? 8km ? 4km ? 4m 2 ? 0 ????8 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 4(m 2 ? 1) ? 4km ? ?8km ? 4m 2 (1 ? 4k 2 ) ? 0 1 ? 4k 2

? (4k 2 ? 1)4(m 2 ? 1)
整理得 4k 2 ? 1

?k ? ?

1 2
????10 分

所以 k AB ? k BC 为定值 0. (ii) 由(i),不妨取 k AB ? -

? x1 ? x2 ? 2m 1 ,则 ? 2 ?x1 x2 ? 2(m2 ? 1)

设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S?AOB ?
?

1 1 |m| ??????11 分 | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k2

|m| |m| ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4m 2 ? 4 ? 2(m 2 ? 1) 2 2
??????12 分

? m 2 (2 ? m 2 ) ? 1
2 当 m ? 1 时(满足(*)式)取等号.

? S四边形ABCD ? 4S?AOB ? 4 .
即四边形 ABCD 的面积的最大值为 4. (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? ????????13 分

1 ? 2a ( x ? 1)( x ? 0) x

? f ?(1) ? 1

又 f (1) ? 0 所以 f ( x) 在点 P(1,0)处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ? ??????4分

2ax2 ? 2ax ? 1 , ( x ? 0) x

??????5分

令 g ( x) ? 2ax2 ? 2ax ? 1, ( x ? 0) (i) a ? 0 时 f ?( x) ? 0 无解, f ( x) 无极小值; (ii) a ? 0 时, g ?0? ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 有两解 x1 , x2 ,且 x1 ? 0 ? x2 ;

0 ? x ? x2 时 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0

x ? x2 时 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0
此时, f ( x) 无极小值. ????7分

(iii) a ? 0 时, 因为 g (0) ? 1 ? 0 , g ( x) 的对称轴为 x ? 即 4a 2 ? 8a ? 0

1 ,要使函数 f ( x) 有极小值,则 ? ? 0 2

? a ? 0 或 a ? 2 ?a ? 2

此时 g ( x) ? 0 有两解 x3 , x4 ? 0 , 不妨设设 x3 ? x4 , 则 x3 ? x ? x4 时 g ( x) ? 0 ,f ?( x) ? 0

x ? x4 时 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 此时, f ( x) 有极小值 f ( x4 ) .
综上所述, a ? 2 . ??????10 分

??????9分

(Ⅲ)由题意, f ( x) ? x ? 1 , x ? 1 即 ln x ? a( x ? 1) ? x ? 1 , x ? 1 ??????11 分
2

下证: ln x ? x ? 1 , x ? 0 记 h( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1, x ? 0 则 h?( x) ?

1 1? x ?1 ? ,x ?0 x x

0 ? x ? 1 时 h?( x) ? 0 ,
x ? 1 时 h?( x) ? 0 ,
? h( x) ? h(1) ? 0

即 ln x ? x ? 1 , x ? 0

??????12 分


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