2.2.1直线与平面平行的判定_图文

2.2.1 直线和平面平行的判定

一、知识回顾:直线和平面的位置关系
图形语言 文字语言 直线在平面?内 符号语言

a
?

a??

a
? A

直线与平面?相交

a
? 直线与平面?平行

a//?

?

直线在平面外

a ??

(1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点; (3)直线和平面平行——没有公共点。

引入新课

怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? a

?

课 堂 引入

折纸游戏
B

A

?

二、直线和平面平行的判定
直线和平面平行的判定定理:

如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
符号表示:

a // b ? ? a ??? b??? ?

? a // ?

a ?

b

简述为:

线线平行,则线面平行
(2)直线b在平面α内,

注 意:必须具备三个条件:(1)直线a在平面α外,

(3)两条直线a、b平行

直线与平面平行关系

直线间平行关系

空间问题

平面问题

请同学们举出现实生活中直线和平面平行的例子,并说 明理由

?
A

A

?

A

B

定理细究
(1)若a ? ? , a // b, 则a // ?
(3) 若b ? ? , a // b, 则a // ?
使用定理时,必须三个条件同时具备:

判断下列命题是否正确,若不正确,请用 a a b 图形语言加以表达:
a bb

(2)若a ? ? , b ? ? , 则a // ?α α

(1)直线a在平面α外, 定理中的关键词有那几个?
a ? b

(2)直线b在平面α内, 面外、面内、平行 (3)两条直线a、b平行.

练习:
1.如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1中, (1)与AB平行的平面是 平面 A1B1C1D1 平面 CC1D1D ; (2)与 AA1 平行的平面是平面 B1BCC1 平面 CC1D1D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A1B1C1D1 平面 B1BCC1 ;
D1
A1

C1

B1
D

C
B

A

2、判断说法是否正确: ╳ (1)如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行。 (2)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行。 √ ╳ (3) 如果一直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行。

3:下列命题,能得出直线m与平面α平行的是 A.直线m与平面α内 所有直线平行 B.直线m 与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内的一条直线平行 答:A不可能,B,D忽略了m在平面内,故选C
再次强调:
a ?

b

a ? ?,b ? ? , a // b ? a // ?

例题讲解

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经 过另外两边所在的平面。

已知: 空间四边形ABCD, E、F分别是AB、AD的中点 A 求证:EF∥平面BCD 证明:连结BD E
? E、F 分别为AB、AD的中点

F

? EF // BD

又 ? EF ? 平面BCD

B

D

BD ?平面BCD
? EF // 平面BCD

C

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点,若 EB ? FD ,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A E

F
D

B

C

变式:能否过E点作一个平面?, 使得平面?与直线AC平行?

例2 .在三棱柱ABC-A'B'C'中,P、Q分别是AB1与A1C的 中点,求证:PQ// 平面ABC 小结:证明线面平行的关键 ----找平行线
C1 A1 Q C B1

找平行线方法: ①中位线 ②平行四边形

P E
A

B

D

变式1:
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底 面正方形DBCE对角线的交点,F为 AE的中点. 求证:AB//平面DCF
B

A

F
D

E O
C

构造中位线

变式2:
如图,四棱锥A—DBCE中,四边形 BCED为平行四边形。F为AE的中 点,G为BC的中点。 求证:FG //平面ABD
B

A
H

F
E
C

D

G

构造平行四边形

例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 试判断BD1与平面AEC的位置关系(书P56)
证明:连接BD交AC于点O, 连接OE, 在 ?DBD?中,E,O分别是 DD?, BD 的中点.
? EO // BD?
A1 E D
O

D1 A? B1

C1

? ? EO ? 平面ACE ? ? BD // 平面AEC ? A ? BD ? 平面ACE

A
C B

变式1:正方体ABCD-A1B1C1D1中,

①M,N分别是B1C和DB上的点,且CM=DN,
求证:MN//平面A1AB1B;

②若MN//平面A1AB1B,
则M,N满足什么条件?

变式2:如图A,B,C,D四点不共面,M,N是 ?ABD和?BCD的重心,求证:MN//平面ACD。
A

M D B N C

练习一:在正方体AC1中, 若E , F 分别为D1C1 , BC 的 中点, 且AC ? BD ? O , 求证 : (1) BC1 // 面AB1 D1 (3) EF // 面DBB1 D1
D1 A1 B1 C1 A1

(2) B1O // 面A1C1 D
C1
A1 B1

D1

D1

E
O1
B1

C1

O1

D B

D C A

D

C

O
B

O
A

F
B

C

A

总结:运用定理的关键是找平行线;找平行线又经常 会用到三角形中位线定理或构造平行四边形。

练习二: 如图, M、N分别是三棱锥木料P-ABC棱PC 和AC上的点,如何过MN将它锯成两块,使切面 平行于BC,画出这个切面与其它各面的交线。
P F B E C M A N

例4:长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P ? BB (异于 B、B1) 1 PA I BA1 ? M , PC I BC1 ? N ,
D1

C1

A1

B1

直线MN与平面ABCD平行吗?
N C

P M D

A

通过线段对应边 成比例证明平行

B

变式已知有公共边 . AB 的两个全等的矩形ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内, P、Q分别是对角线AE , BD上的点且AP ? DQ , 求证 : PQ // 面CBE
分析:只要在平面BEC内找到一条直线与PQ平行

思路1:
E

E

思路2:

F
P A

M B

F N C P A B

C
G

Q
D

Q

D

知识小结
1.直线和平面平行的判定定理

a ?? b? ? a∥ b
线线平行

a

a∥?

b

?
线面平行
构造中位线 构造平行四边形 通过线段对应边成比 例证明平行

要证线面平行,只需在面内找到 一条线,与已知直线平行即可。
2.数学思想方法:转化的思想 空间问题 平面问题

知识小结

今天我们学到了什么?

1.证明直线与平面平行的方法:

(1)利用定义: 直线与平面没有公共点 (2)利用判定定理: 线线平行
2.数学思想方法:转化的思想

线面平行

空间问题

平面问题

练习二:

D1 A1

G
B1

C1

1.正方体ABCD-A1B1C1D1中E,G为BC, C1D1的中点,求证:EG//平面BB1D1D

D A B

C

E

2.一木块如图所示,点P在平面VAC内, P 点P将木块锯开,使截面平行于 直线VB和AC,应该怎样画线?
B
A

V

C

例 2: 长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P ? BB (异于 B、B1) 1
PA ? BA1 ? M , PC ? BC1 ? N ,
D1
C1

A1

B1

直线MN与平面ABCD平行吗?
N C

P M

D

A

B

变式:
D1

MB NC 1 如图:长方体 ABCD-A1 B1C1 D1中, ? ? MA1 NB1 2
C1

求证:MN // 平面ABCD

A1

B1

N M
D
C

A

B

练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
D1 C1 B1 E D A O B C A1

小结:
1.知识点 2.数学思想方法
空间问题 ? 平面问题


相关文档

2.2.1-直线与平面平行的判定2.2.2-平面与平面平行的判定名师优质资料
2.2.1 直线与平面平行的判定 公开课一等奖课件
高中数学人教A版必修2第2章 2.2 2.2.1 直线与平面、平面与平面平行的判定
高中数学 2.2.2.1直线与平面平行的判定教案 新人教A版必修2
高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定教案 新人教A版必修2
高中数学2.2.1直线与平面平行的判定教案1新人教A版必修2
高中数学2.2.1直线与平面平行的判定同步测试新人教A版必修2
高一数学人教A版必修2课件:2-2-1 直线与平面平行的判定
高中数学2.2.1直线与平面平行的判定评测练习(无答案)新人教A版必修2
高中数学2.2.1直线与平面平行的判定教学设计新人教A版必修2 (1)
电脑版