甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(每题只有一个选项正确,请将正确选项涂到答题卡上.4 分*10=40 分. ) 1. (4 分)已知集合 M={x|﹣4≤x≤7},N={x|x ﹣x﹣6>0},则 M∩N 为() A.{x|﹣4≤x<﹣2 或 3<x≤7} B. {x|﹣4<x≤﹣2 或 3≤x<7} C. {x|x≤﹣2 或 x>3} D.{x|x<﹣2 或 x≥3} 2. (4 分)抛物线 x =y 的准线方程是() A.4x+1=0 B.4y+1=0 3. (4 分)已知条件 A.充分非必要条件 C. 充分必要条件
2 2 2 2

C.2x+1=0
2 2

D.2y+1=0

,条件 q:直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 相切,则 p 是 q 的() B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

4. (4 分)双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=() A. B . ﹣4 C. 4 D.

5. (4 分)首项为﹣20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是() A.d> B.d≤ C. <d≤ D. ≤d<

6. (4 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,则 y= A. B. 4

的最小值是() C. 9 D.5

7. (4 分)椭圆

的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个

交点为 P,则 P 到 F2 的距离为() A. B. C.
2

D.4

8. (4 分)在等比数列{an}中,若 a3、a7 是方程 3x ﹣11x+9=0 的两根,则 a5 的值为() A.3 B.±3 C. D.±

9. (4 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±2x,则其离心率为()

A.5

B.
n

C.

D.

10. (4 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为() A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

二、填空题(请将所解的答案填在答题卡相应位置.5 分*4=20 分. ) 11. (5 分)全称命题“?a∈Z,a 有一个正因数”的否定是. 12. (5 分)已知 a= + ,b= + ,则 ab(填“>”或“<”) .

13. (5 分)已知 12<a<60,10<b<20,则 的取值范围是.

14. (5 分)已知向量

,若 ⊥ ,则 16 +4 的最小值为.

x

y

三、解答题(10 分*4=40 分. ) 15. (10 分)设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 16. (10 分)在对角线有相同长度 d 的所有矩形中. (1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值; (2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值.

17. (10 分)已知椭圆 G:

=1(a>b>0)的离心率为

,右焦点为(2

,0) ,斜率

为 1 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(﹣3,2) . (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)求△ PAB 的面积. 18. (10 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,﹣2) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且 直线 OA 与 L 的距离等于 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由.
2

甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题只有一个选项正确,请将正确选项涂到答题卡上.4 分*10=40 分. ) 1. (4 分)已知集合 M={x|﹣4≤x≤7},N={x|x ﹣x﹣6>0},则 M∩N 为() A.{x|﹣4≤x<﹣2 或 3<x≤7} B. {x|﹣4<x≤﹣2 或 3≤x<7} C. {x|x≤﹣2 或 x>3} D.{x|x<﹣2 或 x≥3} 考点: 交集及其运算. 分析: 根据交集的定义及其运算进行求解. 2 解答: 解:∵N={x|x ﹣x﹣6>0}, ∴N={x|x>3 或 x<﹣2}, 又∵M={x|﹣4≤x≤7}, ∴M∩N={x|3<x≤7 或﹣4≤x<﹣2}, 故选 A. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题. 2. (4 分)抛物线 x =y 的准线方程是() A.4x+1=0 B.4y+1=0
2 2

C.2x+1=0

D.2y+1=0

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=1,再直接代入即可求出其准线 方程. 解答: 解:因为抛物线的标准方程为:x =y,焦点在 y 轴上; 所以:2p=1,即 p= , 所以: = , ∴准线方程 y=﹣ ,即 4y+1=0. 故选:B 点评: 本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位 置. 3. (4 分)已知条件 A.充分非必要条件 C. 充分必要条件 ,条件 q:直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 相切,则 p 是 q 的() B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 直线与圆相切,求出 k 的值,再判断 pq 的充要条件关系.

解答: 解:由 q:直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 相切,∴1+k =4,∴k=± 不出 p 故选 A. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,充要条件的判断,是基础题. 4. (4 分)双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=() A. B . ﹣4 C. 4 D.
2 2

2

2

2

,显然 p?q;q 得

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,可求出该双曲线的方程,从而求出 m 的值. 2 2 解答: 解:双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, ∴m<0,且双曲线方程为 ∴m= , ,
2 2

故选 A. 点评: 本题考查双曲线性质的灵活运用,比较简单,需要注意的是 m<0. 5. (4 分)首项为﹣20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是() A.d> B.d≤ C. <d≤ D. ≤d<

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的通项公式求出第 10 项和第 9 项,据题意知第 10 项大于 0,第 9 项小 于等于 0,列出不等式可解. 解答: 解:设公差为 d,则 a10=﹣20+9d>0,a9=﹣20+8d≤0 解得 <d≤

故选 C 点评: 本题考查等差数列的通项公式、利用通项公式求特殊项、解不等式,属基础题.

6. (4 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,则 y= A. B. 4

的最小值是() C. 9 D.5

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

分析: 利用题设中的等式,把 y 的表达式转化成(a+b) ( 求得 y 的最小值. 解答: 解:∵a+b=1, ∴y=(a+b) ( 当且仅当 )=5+ ≥5+2 =9,

)展开后,利用基本不等式

,即 b=2a 时等号成立.

故选:C. 点评: 本题主要考查了基本不等式求最值.注意把握好一定,二正,三相等的原则.

7. (4 分)椭圆

的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个

交点为 P,则 P 到 F2 的距离为() A. B. C. D.4

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标,然后结合题意求出 P 点的坐标可得 长度,再根据椭圆的定义计算出 解答: 解:由椭圆 设 F 点的坐标为(﹣ 所以点 P 的坐标为(﹣ 根据椭圆的定义可得 所以 . ,0) , ) ,所以 , = . . ,0) 的

可得椭圆的焦点坐标为(

故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义. 8. (4 分)在等比数列{an}中,若 a3、a7 是方程 3x ﹣11x+9=0 的两根,则 a5 的值为() A.3 B.±3 C. D.± 考点: 等比数列的性质;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 首先根据韦达定理得出 a3a7=3 a3+a7=
2 2

>0,从而判断 a5>0,然后由等比数列的

性质得出 a3a7=a 5,求出结果. 2 解答: 解:∵a3、a7 是方程 3x ﹣11x+9=0 的两根

∴a3a7=3 a3+a7= ∵a3a7=a 5 a3+a7= ∴a5= 故选 C.
2

>0 >0

点评: 本题考查了韦达定理以及等比数列的性质,解题过程要注意判断出 a5 的正负,属于 基础题.

9. (4 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±2x,则其离心率为()

A.5

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线渐近线的方程,确定 a,b 的关系,进而利用离心率公式求解. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

∴ ∴

,即 b=2a, , .

∴离心率 e=

故选:D. 点评: 本题主要考查双曲线的性质,要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式. 10. (4 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为() A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a2﹣a1=1, a3+a2=3, a4﹣a3=5, a5+a4=7, a6﹣a5=9, a7+a6=11, …a50﹣a49=97, 变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…利用 数列的结构特征,求出{an}的前 60 项和. n 解答: 解:由于数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5, a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2, a4+a2=8, a7+a5=2, a8+a6=24, a11+a9=2, a12+a10=40, a15+a13=2, a16+a14=56, … 从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2, 从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等差数列.
n

{an}的前 60 项和为 15×2+(15×8+

)=1830,

故选 D. 点评: 本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的结构特征, 属于中档题. 二、填空题(请将所解的答案填在答题卡相应位置.5 分*4=20 分. ) 11. (5 分)全称命题“?a∈Z,a 有一个正因数”的否定是?a0∈Z,a0 没有正因数. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以全称命题“?a∈Z,a 有一个正因数”的否定 是:?a0∈z,a0 没有正因数. 故答案为:?a0∈Z,a0 没有正因数. 点评: 本题考查全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 12. (5 分)已知 a= + ,b= + ,则 a<b(填“>”或“<”) .

考点: 不等式比较大小. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 先平方,比较得出 a <b ,即可得出结论. 2 2 2 2 解答: 解:∵a =( + ) =13+2 ,b =( + ) =13+2 , 2 2 ∴a <b , ∵a>0,b>0, ∴a<b. 故答案为:<. 点评: 本题考查不等式比较大小,考查学生的计算能力,比较基础.

13. (5 分)已知 12<a<60,10<b<20,则 的取值范围是



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接由已知条件作出关于 a,b 的可行域,然后由 的几何意义得答案. 解答: 解:由 12<a<60,10<b<20 作出可行域如图,

的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率, , . . .

∴ 的取值范围是 故答案为:

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
x y

14. (5 分)已知向量

,若 ⊥ ,则 16 +4 的最小值为 8.

考点: 基本不等式;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直的充要条件:数量积为 0,得到 x,y 满足的等式;利用幂的运算法则 将待求的式子变形;利用基本不等式求出式子的最小值,注意检验等号何时取得. 解答: 解:∵ ∴4(x﹣1)+2y=0 即 4x+2y=4 ∵
4x 2y

=

当且仅当 2 =2 即 4x=2y=2 取等号 故答案为 8 点评: 本题考查向量垂直的充要条件:数量积为 0;考查利用基本不等式求函数的最值需注 意满足的条件:一正、二定、三相等. 三、解答题(10 分*4=40 分. ) 15. (10 分)设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由{an}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用 a1=2,a3=a2+4 可求得 q,即可求得{an}的通项公式 (Ⅱ)由{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 可求得 bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用 等比数列与等差数列的前 n 项和公式即可求得数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为 q,q>0 ∵a3=a2+4,a1=2 2 ∴2×q =2×q+4 解得 q=2 或 q=﹣1 ∵q>0 ∴q=2

∴{an}的通项公式为 an=2×2 =2 (Ⅱ)∵{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前 n 项和 Sn= + =2
n+1

n﹣1

n

﹣2+n =2

2

n+1

+n ﹣2

2

点评: 本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数 列的前 n 项和公式时注意辨析 q 是否为 1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,是个基础 题. 16. (10 分)在对角线有相同长度 d 的所有矩形中. (1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值; (2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1) 设矩形的两邻边长分别为 x, y, 易得 x +y =d , 周长 c=2 (x+y) , 可得 c =4 (x+y) 2 2 2 2 2 2 2 2 =4(x +y +2xy)≤4(x +y +x +y )=8d ,开方可得答案; (2)由(1)矩形面积 S=xy= ?2xy≤ (x +y )=
2 2 2 2 2 2

,注意等号成立的条件即可.

解答: 解: (1)设矩形的两邻边长分别为 x,y, 2 2 2 由题意可得 x +y =d , ∴矩形周长 c=2(x+y) , 2 2 2 2 ∴c =4(x+y) =4(x +y +2xy) 2 2 2 2 2 ≤4(x +y +x +y )=8d , 2 2 当且仅当 x=y,即矩形为正方形时,c 取到最大值 8d , 周长取到最大值 2 d; (2)由(1)矩形面积 S=xy= ?2xy≤ (x +y )= 当且仅当 x=y,即矩形为正方形时,矩形面积的最大值 .
2 2

点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及矩形的周长和面积,属基础题.

17. (10 分)已知椭圆 G:

=1(a>b>0)的离心率为

,右焦点为(2

,0) ,斜率

为 1 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(﹣3,2) . (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)求△ PAB 的面积. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)根据椭圆离心率为
2 2 2

,右焦点为(

,0) ,可知 c=

,可求出 a 的值,

再根据 b =a ﹣c 求出 b 的值,即可求出椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设出直线 l 的方程和点 A,B 的坐标,联立方程,消去 y,根据等腰△ PAB,求出直线 l 方程和点 A,B 的坐标,从而求出|AB|和点到直线的距离,求出三角形的高,进一步可求出 △ PAB 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得,c= 解得 a= ,又 b =a ﹣c =4, .
2 2 2





所以椭圆 G 的方程为

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=x+m,
2 2



得 4x +6mx+3m ﹣12=0.①

设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) (x1<x2) ,AB 的中点为 E(x0,y0) , 则 x0= y0=x0+m= , 因为 AB 是等腰△ PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, =﹣ ,

所以 PE 的斜率 k=



解得 m=2. 2 此时方程①为 4x +12x=0. 解得 x1=﹣3,x2=0, 所以 y1=﹣1,y2=2, 所以|AB|=3 ,此时,点 P(﹣3,2) . 到直线 AB:y=x+2 距离 d= 所以△ PAB 的面积 s= |AB|d= . 点评: 此题是个中档题.考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质,以及直线 与椭圆的位置关系,同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 18. (10 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,﹣2) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程;
2



(Ⅱ)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且 直线 OA 与 L 的距离等于 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: (I)将(1,﹣2)代入抛物线方程求得 p,则抛物线方程可得,进而根据抛物线的 性质求得其准线方程. (II)先假设存在符合题意的直线,设出其方程,与抛物线方程联立,根据直线与抛物线方程 有公共点,求得 t 的范围,利用直线 AO 与 L 的距离,求得 t,则直线 l 的方程可得. 2 解答: 解: (I)将(1,﹣2)代入抛物线方程 y =2px, 得 4=2p,p=2 ∴抛物线 C 的方程为:y =4x,其准线方程为 x=﹣1 (II)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=﹣2x+t, 由 得 y +2y﹣2t=0,
2 2

∵直线 l 与抛物线有公共点, ∴△=4+8t≥0,解得 t≥﹣ 又∵直线 OA 与 L 的距离 d= ∵t≥﹣ ∴t=1 ∴符合题意的直线 l 存在,方程为 2x+y﹣1=0 点评: 本题小题主要考查了直线,抛物线等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力, 考查函数与方程思想,数形结合的思想,化归与转化思想,分类讨论与整合思想. = ,求得 t=±1


相关文档

2014-2015年甘肃省天水市秦安二中高二上学期期中数学试卷及解析(文科)
甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
甘肃省天水市秦安县二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
2014-2015年甘肃省天水市秦安二中高二上学期期中数学试卷及解析(理科)
甘肃省天水市秦安二中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试政治试题 Word版含答案
甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版
电脑版