云南省曲靖市宣威九中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017 学年云南省曲靖市宣威九中高一(下)期中数学试卷

一.选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分共 60 分) 1.sin15°cos15°的值是( ) A. B. C. D.

2.已知角 α 的终边过点 P(1,2),则 tan(

)=( )

A. B.﹣ C.3 D.﹣3

3.已知向量 , 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2,则 ?( ﹣2 )=( ) A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3 4.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则| ﹣ |=( ) A.1 B.2 C. D.2

5.设向量

的模为 ,则 cos2α=( )

A. B. C. D. 6.下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是( ) A.y=sinx+cosx B.y=cos4x﹣sin4x C.y=cos|x| D.y= 7.如图,已知△ABC, =3 , = , = ,则 =( )

A. +

B. +

C. +

8.函数 y=﹣xcosx 的部分图象是( )

D. +

A.

B.

C.

D.

9.若函数 f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,则函数 f (x)在[﹣ , ]上的最小值是( )

A.﹣

B.﹣1 C.﹣ D.﹣

10.已知向量 , 的夹角为 ,| |=1,| |= ,若 = + , = ﹣ ,则 在

上的投影是( )

A.﹣

B. C.﹣2 D.2

11.若直线 xcosα+ysinα﹣1=0 与圆(x﹣1)2+(y﹣sinα)2= 相切,α 为锐角,

则斜率 k=( )

A.﹣

B. C.﹣

D.

12.已知 (f x)是定义在 R 上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若 a=(f sin ),

b=f(cos ),c=f(tan ),则( ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a

二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分共 20 分)

13.已知 , 是两个不共线的非零向量,若 2 +k 与 k + 共线,则 k 的值





14.计算



=



15.若函数 y=sinx+ cosx 的图象向左平移 φ>0 个单位后,所得图象关于 y 轴

对称,则 φ 的最小值是



16.已知函数 y=cos2x+2cos(x+ ),则 y 的取值范围是



三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)

17.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知 A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(cosφ, sinφ),其中 0<φ<π. (Ⅰ)若 ? = ,求 sin2φ 的值; (Ⅱ)若| + |= ,求 与 的夹角 θ. 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 , . (Ⅰ)求 sin(α﹣β)的值; (Ⅱ)求 α+2β 的值.

19.已知函数 f(x)=sin2x+2 sinxcosx+3cos2x+α 的最大值与最小值之和为﹣2. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求使得函数 f(x)≥0 成立的 x 的集合. 20.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),对于任

意 x∈R 满足 f(﹣x)=f(x),且相邻两条对称轴间的距离为 .

(Ⅰ)求 y=f(x)的解析式;

(Ⅱ)求函数

的单调减区间.

21.已知 f(x)=(1+ )sin2x﹣2sin(x+ )sin(x﹣ ).

(Ⅰ)若 sinθ+cosθ= ,其中

,求 f(θ)的值;

(Ⅱ)当 ≤x 时,求函数 f(x)的值域.

22.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的图象上任意两点(x1, f(x1),(x2,f(x2)),且 φ 的终边过点(1,﹣ ),若|f(x1)﹣f(x2)|=4 时, |x1﹣x2|的最小值为 . (Ⅰ)求 f(x)的解析式;

(Ⅱ)若对于任意的 x∈[0, ],不等式 mf(x)=2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围.

2016-2017 学年云南省曲靖市宣威九中高一(下)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分共 60 分) 1.sin15°cos15°的值是( ) A. B. C. D. 【考点】GS:二倍角的正弦. 【分析】根据二倍角的正弦公式将 sin15°cos15°化为 sin30°,再进行求值.
【解答】解:sin15°cos15°= sin30°= , 故选 B.

2.已知角 α 的终边过点 P(1,2),则 tan(

)=( )

A. B.﹣ C.3 D.﹣3 【考点】G9:任意角的三角函数的定义. 【分析】直接利用任意角的三角函数,求出 tanα,根据二倍角求解即可. 【解答】解:角 α 的终边为点 P(1,2),即 x=1,y=2, ∴tanα= .

tan(

)=

=

故选:A.

3.已知向量 , 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2,则 ?( ﹣2 )=( ) A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3 【考点】9R:平面向量数量积的运算.

【分析】将式子展开计算即可. 【解答】解: =1, =4,

=1×2×cos120°=﹣1,

∴则 ?( ﹣2 )= ﹣2 故选 D.

=1﹣2×(﹣1)=3.

4.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则| ﹣ |=( ) A.1 B.2 C. D.2 【考点】9R:平面向量数量积的运算. 【分析】作出图形,利用平面向量加法的三角形法及向量的模的几何意义即可求 得| ﹣ |=| |= ,从而可得答案. 【解答】解:正方形 ABCD 的边长为 1,如图:

则| ﹣ |=| + |=| |= , 故选:C.

5.设向量

的模为 ,则 cos2α=( )

A. B. C. D.

【考点】GT:二倍角的余弦;93:向量的模.

【分析】由向量的模为 ,可求出 sinα 的平方,代入 cos2α=1﹣2sin2α 可求出

cos2α 的值.

【解答】解:∵向量

的模为 ,

∴ +cos2α= ,cos2α= ,

∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ,

故选 B.

6.下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是( ) A.y=sinx+cosx B.y=cos4x﹣sin4x

C.y=cos|x| D.y=

【考点】H1:三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性,判断各个选项中的函数的奇偶性和周 期性,从而得出结论.

【解答】解:由于 y=sinx+cosx= sin(x+ ),故它的最小正周期为 2π,故排除

A; 由于 y=cos4x﹣sin4x=(cos2x﹣sin2x)?(cos2x+sin2x)=cos2x,故它的最小正周期 为 π,且它是偶函数,故 B 满足条件; 由于 y=cos|x|=cosx,它的最小正周期为 2π,故排除 C;

由于 y=

= ?tan2x,故该函数为奇函数,不满足条件,故排除 D,

故选:B.

7.如图,已知△ABC, =3 , = , = ,则 =( )

A. +

B. +

C. +

D. +

【考点】9F:向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】利用三角形法则得出结论.

【解答】解: =

=

=

=



故选 C.

8.函数 y=﹣xcosx 的部分图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】3O:函数的图象. 【分析】由函数奇偶性的性质排除 A,C,然后根据当 x 取无穷小的正数时,函 数小于 0 得答案. 【解答】解:函数 y=﹣xcosx 为奇函数,故排除 A,C, 又当 x 取无穷小的正数时,﹣x<0,cosx→1,则﹣xcosx<0, 故选:D.

9.若函数 f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,则函数 f (x)在[﹣ , ]上的最小值是( )

A.﹣

B.﹣1 C.﹣ D.﹣

【考点】H7:余弦函数的图象. 【分析】利用余弦函数的图象对称性,诱导公式,求得 f(x)的解析式,再利用

正弦函数的定义域和值域,求得函数 f(x)在[﹣ , ]上的最小值.

【解答】解:∵函数 f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,

故有 f(π)=cos(2π+θ)=0,故有 θ=kπ+ ,k∈Z,

∴θ= ,f(x)=﹣sin2x.

在[﹣ , ]上,2x∈[﹣ , ],故当 2x=﹣ 时,f(x)取得最小值是﹣ 1, 故选:B.

10.已知向量 , 的夹角为 ,| |=1,| |= ,若 = + , = ﹣ ,则 在

上的投影是( )

A.﹣

B. C.﹣2 D.2

【考点】9R:平面向量数量积的运算.

【分析】依题意,可求得 ? = , ? =( + )?( ﹣ )=﹣2,及| |=1,于

是可求 在 上的投影 = =﹣2.

【解答】解:∵向量 , 的夹角为 ,| |=1,| |= , ∴ ? =| || |cos =1× × = , 又=+, =﹣, ∴ ? =( + )?( ﹣ )= ﹣ =1﹣3=﹣2, 又 = ﹣2 ? + =1﹣2×1× × +3=1, ∴| |=1,
∴ 在 上的投影为 = =﹣2,
故选:C.

11.若直线 xcosα+ysinα﹣1=0 与圆(x﹣1)2+(y﹣sinα)2= 相切,α 为锐角,

则斜率 k=( )

A.﹣

B. C.﹣

D.

【考点】J9:直线与圆的位置关系. 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【解答】解:直线 xcosα+ysinα﹣1=0,圆(x﹣1)2+(y﹣sinα)2= ,可知圆心

为(1,sinα).半径 r= .

圆心到直线的距离 d=



可得:cos2a﹣cosα± =0, ∵α 为锐角, ∴cosα= .

∴sinα= .

那么斜率 k= 故选:A.

=﹣ .

12.已知 (f x)是定义在 R 上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若 a=(f sin ),

b=f(cos ),c=f(tan ),则( ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a 【考点】3N:奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据题意,由三角函数的诱导公式可得 a=f(sin

)=f(﹣sin ),

b=f(﹣cos ),结合函数的奇偶性可得 a=f(sin ),b=f(cos ),结合三

角函数的定义分析可得 0<cos <sin <1<tan ,结合函数的奇偶性即 可得答案. 【解答】解:根据题意, sin =sin(2π﹣ )=﹣sin ,则 a=f(sin )=f(﹣sin ),

cos =cos(π﹣ )=﹣cos ,b=f(﹣cos ), 又由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 则 a=f(sin )=f(﹣sin )=f(sin ),

b=f(﹣cos )=f(cos ),

又由 < < ,

则有 0<cos <sin <1<tan , 又由函数在[0,+∞)上是增函数,

则有 c>a>b; 故选:B.
二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分共 20 分) 13.已知 , 是两个不共线的非零向量,若 2 +k 与 k + 共线,则 k 的值是
. 【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】2 +k 与 k + 共线,可得存在实数 λ 使得 2 +k =λ(k + ),又 , 是 两个不共线的非零向量,根据平面向量基本定理即可得出. 【解答】解:∵2 +k 与 k + 共线,∴存在实数 λ 使得 2 +k =λ(k + ),又 ,
是两个不共线的非零向量, ∴2=λk,k=λ,解得 k= . 故答案为: .

14.计算



=



【考点】GI:三角函数的化简求值. 【分析】将切化弦,通分,利用和与差公式换化角度相同,可得答案.

【解答】解:由



=

=

= 故答案为: .

=.

15.若函数 y=sinx+ cosx 的图象向左平移 φ>0 个单位后,所得图象关于 y 轴

对称,则 φ 的最小值是



【考点】HJ:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;GL:三角函数中的恒等变换应 用. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的 对称性,求得 φ 的最小值.

【解答】解:把函数 y=sinx+ cosx=2sin(x+ )的图象向左平移 φ>0 个单位,

所得的图象对应的函数的解析式为 y=2sin(x+ +φ), 再根据所得图象关于 y 轴对称,可得 +φ=kπ+ ,k∈z,可得:φ=kπ+ ,k ∈z, 则 m 的最小值为 , 故答案为: .

16.已知函数 y=cos2x+2cos(x+ ),则 y 的取值范围是 [﹣3, ] . 【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用. 【分析】利用二倍角,诱导公式化简,转化为二次函数即可求 y 的取值范围. 【解答】解:函数 y=cos2x+2cos(x+ )=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2(sin2x+sinx+ )

+ = ﹣2(sinx+ )2.

当 sinx= 时,y 可取得最大值为 .

当 sinx=1 时,y 可取得最小值为 sinx=

=﹣3.

则 y 的取值范围是[﹣3, ].

故答案为:[﹣3, ].

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知 A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(cosφ, sinφ),其中 0<φ<π. (Ⅰ)若 ? = ,求 sin2φ 的值; (Ⅱ)若| + |= ,求 与 的夹角 θ. 【考点】9J:平面向量的坐标运算. 【分析】(I) =(cosφ+2,sinφ), =(cosφ,sinφ+2),利用 ? = ,可得
cosφ+sinφ= ,两边平方即可得出.

(II)由| + |= ,可得

= ,化为:cosφ= ,0<φ<

π.解答 φ.利用 cosθ=

,即可得出.

【解答】解:(I) =(cosφ+2,sinφ), =(cosφ,sinφ+2), ? = ,

∴cosφ(cosφ+2)+sinφ(sinφ+2)= ,

∴cosφ+sinφ= ,

两边平方可得:sin2φ=﹣ .

(II)∵| + |= ,∴ π. ∴φ= .

= ,化为:cosφ= ,∵0<φ<

∴C



∴cosθ=

= =﹣ ,

∴θ= . 即 与 的夹角为 .

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 , . (Ⅰ)求 sin(α﹣β)的值; (Ⅱ)求 α+2β 的值.

【考点】GI:三角函数的化简求值;G9:任意角的三角函数的定义.

【分析】(Ⅰ)由已知求出 cosα,cosβ 的值,再由平方关系求出 sinα,sinβ 的值, 结合两角差的正弦求得 sin(α﹣β)的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)求出 sin(α+β)、cos(α+β)的值,利用拆角配角思想求得 sin(α+2β), 结合角的范围求得 α+2β 的值.

【解答】解:(Ⅰ)由已知可得,



∵α,β 为锐角,∴sinα= ,sinβ= .

∴sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ=



=



(Ⅱ)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

+

=



cos(α+β)=

=



∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ

=

=.

又 0<α+2β< ,

∴α+2β= .

19.已知函数 f(x)=sin2x+2 sinxcosx+3cos2x+α 的最大值与最小值之和为﹣2. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求使得函数 f(x)≥0 成立的 x 的集合. 【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象. 【分析】(Ⅰ)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,结合三角函数的图象和性质,求出 f(x)的最大值和最 小值,可得 a 的值,即得到 f(x)的解析式. (Ⅱ)函数 f(x)≥0,结合三角函数的图象和性质,求解即可. 【解答】解:函数 f(x)=sin2x+2 sinxcosx+3cos2x+α.
化简可得:f(x)= cos2x+ sin2x+ cos2x+ +a
=cos2x+ sin2x+2+a
=2sin(2x+ )+2+a.

(Ⅰ)∵sin(2x+ )的最大值为 1,最小值为﹣1. ∴4+2a=﹣2, 则 a=﹣3. ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ )﹣1.

(Ⅱ)函数 f(x)≥0,即 2sin(2x+ )﹣1≥0.

得:sin(2x+ ) .



≤2x+ ≤

.k∈Z.

解得:kπ≤x≤



故得使得函数 f(x)≥0 成立的 x 的集合为{x|kπ≤x≤

,k∈Z}.

20.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),对于任

意 x∈R 满足 f(﹣x)=f(x),且相邻两条对称轴间的距离为 .

(Ⅰ)求 y=f(x)的解析式;

(Ⅱ)求函数

的单调减区间.

【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象. 【分析】(Ⅰ)利用辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,相

邻两条对称轴间的距离为 .根据周期公式,可得 ω,f(﹣x)=f(x),函数 f

(x)是偶函数,可得 φ.即得 f(x)的解析式;

(Ⅱ)函数

,将 f(x)代入化简,求解函数 y,结合三角函数

的图象和性质,可得单调减区间. 【解答】解:函数 f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),

化简可得:f(x)=2sin(ωx+φ )

(Ⅰ)∵f(﹣x)=f(x),即函数 f(x)是偶函数.

∴φ =

,k∈Z.

∵0<φ<π

∴φ= .

相邻两条对称轴间的距离为 .即 T= .

∵T= . ∴ω=2. 故得 f(x)=2f(x)=2sin(2x+

)=2cos2x.

(Ⅱ)函数

,f(x)=2cos2x.

∴y=2cos2x+2cos2(x+ )=2cos2x﹣2sin2x=﹣2 sin(2x﹣ )



2x﹣

,k∈Z.

得:

≤x≤

∴函数 y 的单调减区间:[



],k∈Z.

21.已知 f(x)=(1+ )sin2x﹣2sin(x+ )sin(x﹣ ).

(Ⅰ)若 sinθ+cosθ= ,其中

,求 f(θ)的值;

(Ⅱ)当 ≤x 时,求函数 f(x)的值域.

【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象. 【分析】(Ⅰ)切化弦,利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函

数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,利用 sinθ+cosθ= ,其中

,转化

思想构造出 f(θ),即可求解.

(Ⅱ)当 ≤x 时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性

质,即得到 f(x)的值域. 【解答】解:函数 f(x)=(1+

)sin2x﹣2sin(x+ )sin(x﹣ ).

化简可得:f(x)=

sin2x+2sin(x+ )cos(x+ )

=sin2x+sinxcosx+sin2(x+ )

= cos2x+ sin2x+cos2x

═ cos2x+ sin2x+

= sin(2x+ ) .

(Ⅰ)∴f(θ)= sin(2θ+ ) .

∵sinθ+cosθ= ,其中



∴1+sin2θ= ,

即 sin2θ= .

∴cos2θ= .

∴f(θ)= sin(2θ+ ) =

(sin2θ+cos2θ)+ =

(Ⅱ)当 ≤x 时,

可得:

2x+ ≤ .

当 2x+ = 时,f(x)取得最大值为

=



当 2x+ = 时,f(x)取得最大值为

=0.

故得当 ≤x

时,函数 f(x)的值域为[0,

].

22.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的图象上任意两点(x1, f(x1),(x2,f(x2)),且 φ 的终边过点(1,﹣ ),若|f(x1)﹣f(x2)|=4 时, |x1﹣x2|的最小值为 . (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若对于任意的 x∈[0, ],不等式 mf(x)=2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】H2:正弦函数的图象;GL:三角函数中的恒等变换应用. 【分析】(1)由函数的图象经过定点求得 φ,由函数的最大值和最小值求出 ω, 可得函数的解析式.

(2)条件即等价于

,利用正弦函数的定义域和值域求得

函数 1﹣

的最大值,可得 m 的范围.

【解答】解:(1)角 φ 的终边经过点



,∵







由|f(x1)﹣f(x2)|=4 时,|x1﹣x2|的最小值为 ,得

,即



∴ω=3,





(2)当

时,3x﹣ ∈[﹣ , ],sin(3x﹣ )∈[﹣ , ],





于是,2+f(x)>0,即 mf(x)+2m≥f(x),等价于





,得

的最大值为 ,所以,实数 m 的取值范围是 .

2017 年 7 月 9 日


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