北京市朝阳区2013届高三第二次综合练习 理科数学


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(理工类)
2013.5 (考试时间 120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. (1)已知集合 M ? ?0,1,3? ,集合 N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N = A. ?0? 【答案】D B. ?0,3? C. ?1,3,9? D. ?0,1,3,9 ?

?

?

【解析】 N ? x x ? 3a, a ? M ? {0,3,9} ,所以 M ? N ? {0,1,3,9} ,选 D.

?

?

(2)若 A. ?

? (x
0

1

2

? mx)dx ? 0 ,则实数 m 的值为

1 2 B. ? C. ?1 D. ?2 3 3

【答案】B 【解析】

? (x
0

1

2

1 1 1 1 2 ? mx)dx ? ( x3 ? mx 2 ) 1 ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,选 B. 0 3 2 3 2 3

(3)执行如图所示的程序框图.若输出的结果是 16 ,则判断框内的条件是

-1-

A. n ? 6 ?B. n ? 7 ?C. n ? 8 ?D. n ? 9 ? 【答案】C 【解析】第一次循环, S ? 1, n ? 3 ,不满足条件,循环。第二次循环, S ? 1 ? 3 ? 4, n ? 5 , 不满足条件,循环。第三次循环, S ? 4 ? 5 ? 9, n ? 7 ,不满足条件,循环。第四次循环,

S ? 9 ? 7 ? 16, n ? 9 ,满足条件,输出。所以判断框内的条件是 n ? 8 ,选 C.
(4)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 2 有公共点,则此双曲线 a 2 b2

的离心率的取值范围是 A. [3, ??) B. (3, ??) C. (1,3] D. (1,3) 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?

b b b x ,不妨取 y ? x ,代入抛物线得 x ? x 2 ? 2 ,即 a a a b b 2 2 2 2 x2 ? x ? 2 ? 0 , 要使渐近线与抛物线 y ? x ? 2 有公共点, ? ? ( ) ? 8 ? 0 , b ? 8a , 则 即 a a
2 2 2 2 2 2
2

又 b ? c ? a ? 8a ,所以 c ? 9a ,所以 e ? 9, e ? 3 。所以此双曲线的离心率的取值范围 是 [3, ??) ,选 A. (5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
-2-

A.

1 6

B.

1 1 C. D. 1 3 2

【答案】A 【解析】由题设条件,此几何几何体为一个三棱锥,如图红色的部分.其中高为 1,底面是直 角边长为 1 的等腰直角三角形, 所以底面积为

1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? , 所以三棱锥的体积为 ? ?1 ? , 2 2 3 2 6

选 A. (6) 某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班, 每天只安排一名职工值班, 每人至少安排一天, 至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有 A. 10 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 36 种 【答案】C 【解析】由题意可知,3 名职工中只有一人值班一天,此时有 C3 ? 3 种,把另外 2 人,排好
1

有 3 个空,将值班一天的这个工人,从 3 个空中,选一个,另外 2 人,全排有 C3 A2 ? 6 .所以
1 2

不同的安排方法共有 3 ? 6 ? 18 ,选 C. (7)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x ) ? ?
x

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ;②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有

F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是当
A.② 【答案】D B.①② C.③ D.②③

-3-

【解析】①因为 f ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? 0 ? f ( x), x ? 0, ,而 F ( x ) ? ? ,两个函数的 ?? f ( x), f ( x) ? 0 ?? f ( x), x ? 0.

定义域不同, 所以① F ( x) ? f ( x) 不成立。 ②因为 f ( x) 是偶函数。 x ? 0 , ? x ? 0 , 若 则 所 以 F ( ? x) ? ? f ( ? x) ? ? ( x ) ? 若 ( x ? 0 , 则 ? x ? 0 , 所 以 . F x) f ?

F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ?F ( x) ,所以函数 F ( x) 是奇函数,正确。③ a ? 0 时,函数 F ( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上 减 函 数 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 则 m ? ?n ? 0 , 所 以
F (m) ? F (?n) ? ? F (n) ,即 F (m) ? F (n) ? 0 成立,所以正确的是②③,选 D.

(8)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 A1 B1C1 D1 上一点,则 PA?PC1 的取 值范围是 A. [?1, ? ] B. [? , ? ] C. [?1,0] D. [ ? 【答案】D 【解析】如图所示建立空间直角坐标系.则 A(1, 0,1), C1 (0,1, 0) 设 P( x, y,0) ,其中 0 ? x, y ? 1 。 则

??? ???? ? ?

1 4

1 2

1 4

1 , 0] 2

??? ? ???? ? PA ? (1 ? x, ? y,1), PC1 ? (? x,1 ? y, 0),

所 以

? ? ? ? ? ? ? ? ? P ?A 1 P ( C1 ? , x , 1 ? ) ?( x , 1 y ? ? y ?

,

?0 ? x ? 1 1 1 1 1 1 ? ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ,因为 ( x ? )2 ? ( y ? )2 的几何意义是平面区域 ? 到点 2 2 2 2 2 ?0 ? y ? 1

1 1 1 1 1 ( , ) 的距离的平方,所以当 x ? y ? 时, ( x ? )2 ? ( y ? )2 有最小为 0,当 x ? y ? 0 或 2 2 2 2 2 1 1 1 , 所 以 x ? y ? 1 或 x ? 1, y ? 0 或 x ? 0, y ? 1 时 ( x ? )2 ? ( y ? )2 有 最 大 值 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ? 0 ,即 ??? ????? 的取值范围是 [ ? , 0] ,选 D. PA PC1 2 2 2 2 2

-4-

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算 【答案】 2 ? i 【解析】

3?i ? 1? i



3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 4 ? 2i ? ? ? 2?i 。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
? x ? 2 cos ? , ( ? 为参数)相交于 A , B 两点, ? y ? ?1 ? 2sin ?

(10)若直线 l 与圆 C : ?

且弦 AB 的中点坐标是 (1, ?2) ,则直线 l 的倾斜角为. 【答案】

? 4
2 2

【解析】圆的标准方程为 x ? ( y ? 1) ? 4 ,圆心为 M (0, ?1) ,半径为 2.因为弦 AB 的中点坐 标是 N (1, ?2) ,所以直线垂直 MN 。 kMN ?

?2 ? (?1) ? ?1 ,所以直线 l 的斜率为 1,所以直线 1? 0

l 的倾斜角为

? 。 4

(11)如图, PC 切圆 O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O , PC ? 4, PB ? 8 ,

则 tan ?COP ? ,△ OBC 的面积是.

4 18 【答案】 3 , 5
【解析】因为 PC 切圆 O 于点 C,根据切割线定理即可得出 PC2=PA?PB,所以 42=8PA,解 得 PA=2 . 设 圆 的 半 径 为 R , 则 2+2R=8 , 解 得 R=3 . 在 直 角 ?O C P中 ,

4 4 4 tan COP ? ,sin COP ? . 所 以 s i n O C s i n O P . 所 以 △ OBC 的 面 积 是 B ? C ? 3 5 5 1 1 4 18 ? R 2 sin BOC ? ? 32 ? ? . 2 2 5 5 (12)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储 费用为 2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.
【答案】30 【解析】 设公司一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元. 买货物 600 吨, 每次都购买 x 吨,

-5-

0 ? x ? 600 。 则 需 要 购 买 的 次 数 为

600 次,因为每次的运费为 3 万元,则总运费为 x

3?

600 1800 1800 1800 1800 万元,所以 y ? ? 2x ? 2 ? 2 x ? 120 ,当且仅当 ? ? 2x ,即 x x x x x

x 2 ? 900, x ? 30 时取等号,所以要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 30
吨.

?3 x ? 4 y ? 19, ? (13 将一个质点随机投放在关于 x, y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域内,则 ?y ?1 ?
该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是 .

1?
【答案】

?
12
?3 x ? 4 y ? 19, ? ? x ? 1, ?y ?1 ?

【 解 析 】 画 出 关 于 x, y 的 不 等 式 组

所构成的三角形区域,如

图.

。三角形 ABC 的面积为

1 ? 3 ? 4 ? 6 。离三个顶点距离等于 1 2

的地方为三个小扇形,它们的面积之和为

? ,所以该质点到此三角形的三个顶点的距离均不 2

? 小于 1 的概率是 1 ? 2 ? 1 ? 。
6 12
n (14)数列 {2 ? 1} 的前 n 项 1,3, 7,? , 2 ? 1 组成集合 An ? {1,3, 7,?, 2 ? 1}( n ? N ) ,从集

?

n

n

?

合 An 中任取 k (k ? 1,2,3, ?, n) 个数, 其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk(若只取一个数, 规定乘积为此数本身) 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn .例如当 n ? 1 时, A1 ? {1} ,T1 ? 1 ,S1 ? 1 ; ,

T T S A S 当 n ? 2 时, 2 ? {1,3} , 1 ? 1 ? 3 , 2 ? 1? 3 , 2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则当 n ? 3 时, 3 ?
试写出 S n ? 【答案】 63 , 2 .
n ( n?1) 2



?1
, 所 以

【 解 析 】 当 n ? 3 时 , A3 ? {1, 3, 7} T1 ? 1 ? 3 ? 7 ? 11 , T2 ? 1? 3 ? 1? 7 ? 3 ? 7 ? 31 , ,

T3 ? 1? 3 ? 7 ? 21

S3 ? 11 ? 31 ? 21 ? 63







S1 ? 1

1 ?2

?1 ,

-6-

S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 ? 2 ? 1 , S3 ? 11 ? 31 ? 21 ? 63 ? 2 ? 1 ,所以猜想 Sn ? 2
3 6

n ( n ?1) 2

? 1。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? 2cos

A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? 2 2 2

cos 2

A . 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

(16) (本小题满分 14 分) 如图, 四边形 ABCD 是正方形, ? 平面 ABCD , ? PD , EA EA AD ? PD ? 2EA ? 2 ,

F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: FG

P

? 平面 PED ;

(Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与直线 H F E D C

PA 所成的角为 60? ?若存在,求出线段 PM 的长;若
不存在,请说明理由.

(17) (本小题满分 13 分) G 为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数 B A 独比赛”.比赛成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分 五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中 随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表: 成绩等级 成绩(分) 人数(名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人, 其成绩等级为“ A 或 B ”的概率; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人, X 表示抽到成绩等级为 A 或 B ” 记 “ 的学生人数, X 的分布列及其数学期望 EX ; 求 (Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率. (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

mx ? 1 ( m ? 0 ) g () ? e 2( x , x 2 x ?1

ax

a)? R .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;
-7-

(Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围. (19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,短轴的端点分别为 B1 , B2 ,且 a 2 b2

???? ???? ? FB1 ? FB2 ? ?a .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴 相交于 点 D .设弦 MN 的中点为 P ,试求

DP MN

的取值范围.

(20) (本小题满分 13 分) 已 知 实 数

x1 , x2 ,?, xn ( n ? 2 ) 满 足 | xi ?|

? ( 1 i

? , 2,, 记 , 1 n 3

,

)

S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ? n

?

xi x j .

(Ⅰ)求 S (?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值; (Ⅲ)求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值. 注:

2 3

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ? j ? n )的乘积之和.

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数学学科测试答案(理工类)
2013.5 一、选择题: 题号 答案 (1) D (2) B (3) C (4) A
-8-

(5) A

(6) C

(7) D

(8) D

二、填空题: 题 (9) 号 答 案

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2?i

? 4

4 3

18 5

30

1?

? 12

63

2

n ( n?1) 2

?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( A) ? 2cos

A A A A sin ? sin 2 ? cos 2 2 2 2 2 ? ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 4

因为 A 为三角形的内角,所以 0 ? A ? ? ,

? ? ?? . ? A? ? 4 4 4 ? ? 3? 所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 . ???6 分 4 2 4 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又因为 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,所以 A ? . 4 4 4 4 4 ?? ? 又因为 C ? ,所以 B ? . 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ? 3. 由正弦定理 得, b ? ????13 分 ? ? ? sin A sin B sin A sin 4
所以 ? (16) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG

? PE .

又 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG

? 平面 PED .

????4 分

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , EA ? PD , 所以 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD , PD ? CD . 又因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD ? CD . 如图,建立空间直角坐标系, E
-9-

z P

H F D G A x B C
y

因为 AD ? PD ? 2EA ? 2 , 所以 D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , A ? 2, 0, 0 ? ,

C ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , E (2,0,1) .
????5 分 因为 F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, 所以 F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) . 所以 GF ? (?1, 0, ) , GH ? (?2, 0, ) .

1 2

??? ?

1 2

????

1 2

1 ? ??? ? ?? x1 ? 2 z1 ? 0 ?n1 ? GF ? 0 ? ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ? ,即 ? , ???? ?n1 ? GH ? 0 ??2 x ? 1 z ? 0 ? 1 1 ? ? 2
再令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1, 0) . PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n2 ? PB ? 0 ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ? , ??? ? n2 ? PC ? 0 ? ?
即?

? 2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) . ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0

所以 cos n1 , n2 =

n1 ? n2 n1 ? n2

=

2 . 2

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

? . 4

????9 分
?

(Ⅲ)假设在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 . 依题意可设 PM ? ? PC ,其中 0 ? ? ? 1 . 由 PC ? (0, 2, ?2) ,则 PM ? (0, 2? , ?2? ) . 又因为 FM ? FP ? PM , FP ? (?1, ?1,1) ,所以 FM ? (?1, 2? ? 1,1 ? 2? ) . 因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 , PA ? (2, 0, ?2) ,
?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

? ??? ???? ??? ? ?

???? ?

??? ?

所以 cos FM , PA =

???? ??? ? ?

?2 ? 2 ? 4? 1 1 5 ,即 ? ,解得 ? ? . 2 2 2 ? 1 ? 2(2? ? 1) 2 2 8

所以 PM ? (0, , ? ) , PM ?

???? ?

5 4

5 4

???? ?

5 2 . 4

- 10 -

所以在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 ,此时 PM ?
?

5 2 . 4

???????????????14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为“ A 或 B ”的频率 为

4 6 10 1 ? ? ? . 30 30 30 3

从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约为

1 .????????????????????????????????3 分 3 (Ⅱ)由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 2 3 8 0 1 0 所以 P( X ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ? ; 3 3 27 2 12 4 1 1 P( X ? 1) ? C3 ( )1 ? ( ) 2 ? ? ; 3 3 27 9 1 2 6 2 P( X ? 2) ? C32 ( )2 ? ( )1 ? ? ; 3 3 27 9 2 1 3 1 . P( X ? 3) ? C3 ( )3 ? ( )0 ? 3 3 27 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 X 8 4 2 1 P 27 9 9 27 8 12 6 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 .?????9 分 所以 EX ? 0 ? 27 27 27 27 (Ⅲ)设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分. 设从这 30 名学生中,随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m, n .
显然基本事件的总数为 C30 . 不妨设 m ? n , 当 m ? 90 时, n ? 60 或 40 或 30 ,其基本事件数为 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ;
1 1 1 1 2

当 m ? 70 时, n ? 40 或 30 ,其基本事件数为 C6 ? (C7 ? C3 ) ;
1 1 1

当 m ? 60 时, n ? 30 ,其基本事件数为 C10 ? C3 ;
1 1

所以 P ( M ) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ? C6 ? (C7 ? C3 ) ? C10 ? C3 34 ? . 2 C30 87

所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分的概率为

34 .?????13 分 87

- 11 -

(18) (本小题满分 1 3 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ?

m(1 ? x2 ) m(1 ? x)(1 ? x) .????1 分 ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

①当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?1)
?

(?1,1)
?

(1, ??)
?

f ?( x) f ( x)

?

?

?

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) . ????3 分 ②当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?1)
?

(?1,1)
?

(1, ??)
?

f ?( x) f ( x)

?

?

?

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) . ?????5 分 (Ⅱ) 依题意, m ? 0 时, “当 对于任意 x1 , x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立” 等价于 “当 m ? 0 时,对于任意 x ? [0, 2] , f ( x) min ? g ( x) max 成立”. 当 m ? 0 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减, 因为 f (0) ? 1 , f (2) ?

2m ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 . 5

所以应满足 g ( x) max ? 1 .???????????????????????6 分

因为 g ( x) ? x e ,所以 g ?( x) ? (ax + 2 x)e .?????7 分
2 ax
2 ax

①当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? x , ?x ?[0, 2] , g ( x)max ? g (2) ? 4 ,
2

显然不满足 g ( x) max ? 1 ,故 a ? 0 不成立.?????8 分

- 12 -

②当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ? (ⅰ)当 ?

2 . a

2 ? 2 ,即 ?1 ? a ? 0 时, a

在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增, 所以函数 g ( x) max ? g (2) ? 4e .
2a

由 4e

2a

? 1 得, a ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? a ? ? ln 2 .?????10 分

2 ? 2 ,即 a ? ?1 时, a 2 2 在 [0, ? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 ( ? , 2] 上 g ?( x) ? 0 , a a 2 2 所以函数 g ( x) 在 [0, ? ) 上单调递增,在 ( ? , 2] 上单调递减, a a 2 4 所以 g ( x) max ? g (? ) ? 2 2 . a ae 4 2 由 2 2 ? 1 得, a ? ? ,所以 a ? ?1 .?????11 分 ae e 2 (ⅲ)当 ? ? 0 ,即 a ? 0 时,显然在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 , a
(ⅱ)当 0 ? ? 函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,且 g ( x) max ? g (2) ? 4e 显然 g ( x) max ? 4e
2a 2a

. ?????12 分

? 1 不成立,故 a ? 0 不成立.

综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2] .?????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? ( ?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) . 由 FB1 ? FB2 ? ? a ,得 1 ? b ? ?a .又因为 a ? b ? 1 ,
2 2 2

????

???? ?

???? ???? ?

解得 a ? 2, b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .?????4 分 4 3

(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 3
- 13 -

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? .????6 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以弦 MN 的中点为 P( 所以 MN ?

4k 2 ?3k , ) .?????7 分 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
2

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (k ? 1)[ ? ] (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2

?

12(k 2 ? 1) .?????9 分 4k 2 ? 3
3k 1 4k 2 ? ? (x ? 2 ), 4k 2 ? 3 k 4k ? 3

直线 PD 的方程为 y ?

由 y ? 0 ,得 x ?

k2 k2 ,则 D ( 2 ,0) , 4k 2 ? 3 4k ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) 所以 DP ? .????11 分 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) DP k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? ? 1? 2 所以 .?????12 分 2 2 12(k ? 1) k ?1 MN 4 k ?1 4 4k 2 ? 3
又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

1 ?1. k ?1
2

所以 0 ?

1 1 1 1? 2 ? . 4 k ?1 4
的取值范围是 (0, ) .???????????????14 分

所以

DP MN

1 4

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

2 3

2 2 ? ? ?1 . 3 3

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ? ?2 .?????3 分
(Ⅱ)设 S ? S ( x1 , x2 , x3 ) .

- 14 -

当 n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?

1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 .

若固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,此时 S ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? ( x2 ? x3 ) x1 ? x2 x3 , 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} . 同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可在某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到, 于是 S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

1 2 2 [( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] 2 1 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? . 2 2 1 3 因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 , 所以 S ? ? ? ?1 , 且当 x1 ? x2 ? 1 ,x3 ? ?1 时, ? ?1 . S 2 2
当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,3 )时, S ? 因此 Smin ? ?1 .?????8 分 (Ⅲ)设 S ? S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ? n

?

xi x j

? x1 x2 ? x1 x3 ? ? ? x1 xn ? x2 x3 ? ? ? x2 xn ? ? ? xn?1 xn .
固定 x2 , x3 ,? , xn ,仅让 x1 变动,此时

S ? ( x2 ? x3 ? ? ? xn ) ? x1 ? ( x2 x3 ? ? ? x2 xn ? ? ? xn?1 xn ) ,
因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ,?, xn ), S ( ?1, x2 , x3 ,?, xn )} . 同理 S (1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,?, xn ), S (1, ?1, x3 , ?, xn )} .

S (?1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,?, xn ), S (?1, ?1, x3 ,?, xn )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可在某一组取值 ?1 的 x1 , x2 ,? , xn 所达 到,于是 S ? min {S ( x1 , x2 ,?, xn )} .
xk ??1 k ?1,2,?, n

当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,?, n )时, S ?

1 2 2 [( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn )] 2 1 n ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? . 2 2

- 15 -

①当 n 为偶数时, S ? ?

n , 2
?1

若取 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 ,xn
2 2

? xn
2

?2

n n 则 所以 Smin ? ? . ? ? ? xn ? ?1 , S ? ? , 2 2 1 (n ? 1) , 2

②当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? ? ? xn |? 1 ,所以 S ? ? 若取 x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? 1 , xn?1
2 2

1 ? xn?1 ? ? ? xn ? ?1 ,则 S ? ? (n ? 1) , ?1 ?2 2 2

所以 Smin ? ?

1 (n ? 1) .??????????13 分 2

- 16 -


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