2011福建龙岩一中数学

2011 年福建省龙岩一中自主招生考试数学试卷
一、选择题. (每小题 4 分,共 7 题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (4 分) (2009?聊城)下列运算正确的是( ) 3 3 6 3 2 6 4 3 7 6 2 4 A.2m +m =3m B.m ?m =m C. (﹣m ) =m D.m ÷m =m

2. (4 分) (2009?聊城)下列事件中是不确定事件的为( ) A.367 人中至少有 2 人的生日相同 B.今年国庆节这一天,我市的最高气温是 28℃ C.掷 6 枚相同的硬币,3 枚正面向上,4 枚正面向下 D.掷两枚普通的骰子,掷得的点数之和不是奇数就是偶数 3. (4 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,△ BCF 的面积为 4,则△ DEF 的面积为(



A.1

B.2

C.3
1

D.4
2 3 4 5 6 7 8

4. (4 分)观察算式:3 =3,3 =9,3 =27,3 =81,3 =243,3 =729,3 =2187,3 =6561,….通过观察, 2011 用你所发现的规律确定 3 的个位数字是( ) A.3 B.9 C.7 D.1 5. (4 分) (2009?伊春)如图,AB 是⊙ O 的直径,⊙ O 交 BC 的中点于 D,DE⊥ AC 于点 E,连接 AD,则下 列结论正确的个数是( ) ① AD⊥ BC;② ∠ EDA=∠ B;③ OA= AC;④ DE 是⊙ O 的切线.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6. (4 分) (2010?抚顺)如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=8,将上面的 矩形纸片折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 EF,点 D 的对应点为 G,连接 DG,则图中阴影部分的面积 为( )

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A.

B.6

C.

D.

7. (4 分)10 个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如 实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的平均数报出来,若报出来的数如图所 示,则报 2 的人心里想的数是( )

A.1 B.2 C.﹣3 D.﹣1 二、填空题(每小题 4 分,共 9 题) 8. (4 分)2011 年某地区有五所中学参加中考的学生人数分别为:320,250,280,295,307,以上五个 数据的中位数为 _________ .

9. (4 分)将一枚六个面的编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一 次掷出的点数为 a,第二次掷出的点数为 b,则使关于 x,y 的方程组 有正数解的概率为

_________ . 10. (4 分) (2009?辽宁)如图,用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案,按照这样的规律摆下去, 第 100 个图案需棋子 _________ 枚.

11. (4 分) (2009?荆州)定义新运算“*”,规则:a*b= x +x﹣1=0 的两根为 x1,x2,则 x1*x2= 12. (4 分) (2010?湛江)因为 cos30°= 因为 cos45°= ,cos225°=﹣
2

,如 1*2=2,

*

.若

_________ . ,cos210°=﹣ ,所以 cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣ ; ;

,所以 cos225°=cos(180°+45°)=﹣cos45°=﹣

猜想:一般地,当 a 为锐角时,有 cos(180°+a)=﹣cosa,由此可知 cos240°的值等于 _________ . 13. (4 分) (2009?黄石)下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于 A、B 两点,分别以 A、B 两点为 圆心,画与 x 轴相切的两个圆,若点 A 的坐标为(2,1) ,则图中两个阴影部分面积的和是 _________ .

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14. (4 分)如图,AB∥ CD,∠ 1=50°,∠ 3=60°,则∠ 2= _________ .

15. (4 分) (2013?安顺) 在平行四边形 ABCD 中, E 在 DC 上, 若 DE: EC=1: 2, 则 BF: BE= _________ .

16. (4 分) (2012?黔南州)如图,四边形 ABCD 是矩形,A、B 两点在 x 轴的正半轴上,C、D 两点在抛 2 物线 y=﹣x +6x 上. 设 OA=m (0<m<3) , 矩形 ABCD 的周长为 l, 则 l 与 m 的函数解析式为 _________ .

三、解答题(本大题有 6 小题,共 56 分)

17. (6 分) (2009?江津区)先化简,再求值

,其中 x=3.

18. (8 分) (2009?云南)如图,小芸在自家楼房的窗户 A 处,测量楼前的一棵树 CD 的高.现测得树顶 C 处的俯角为 45°, 树底 D 处的俯角为 60°, 楼底到大树的距离 BD 为 20 米. 请你帮助小芸计算树的高度 (精 确到 0.1 米) .

19. (10 分) (2010?宁波)小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁 的路程是 4 千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁,图中折线 O﹣A﹣B﹣C 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分钟)之间的函数关系, 请根据图象回答下列问题: (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 _________ 分钟,小聪返回学校的速度为 _________ 千米/分 钟; (2)请你求出小明离开学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分钟)之间的函数关系;
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www.jyeoo.com (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米?

20. (10 分) (2010?宁波)如图,AB 是⊙ O 的直径,弦 DE 垂直平分半径 OA,C 为垂足,弦 DF 与半径 OB 相交于点 P,连接 EF、EO,若 DE=2 ,∠ DPA=45°. (1)求⊙ O 的半径; (2)求图中阴影部分的面积.

21. (10 分) (2009?江津区)某商场在销售旺季临近时,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童 装开始时的售价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始,保持每件 30 元的稳定价格销 售,直到 11 周结束,该童装不再销售. (1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; (2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价 z(元)与周次 x 之间的关系为 z=﹣ (x﹣8)
2

+12, 1≤x≤11, 且 x 为整数, 那么该品牌童装在第几周售出后, 每件获得利润最大?并求最大利润为多少? 2 22. (12 分) (2009?江津区)如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(﹣3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△ QAC 的周长最小? 若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△ PBC 的面积最大?若存在,求出点 P 的坐 标及△ PBC 的面积最大值;若没有,请说明理由.

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2011 年福建省龙岩一中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题. (每小题 4 分,共 7 题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (4 分) (2009?聊城)下列运算正确的是( ) 3 3 6 3 2 6 A.2m +m =3m B.m ?m =m C.(﹣m4)3=m7 D.m6÷m2=m4 考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析: 根据同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,同底数幂相除,底数不变指数相 减,对各选项分析判断后利用排除法求解. 3 3 3 解答: 解:A、错误,应为 2m +m =3m ;
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B、错误,应为 m ?m =m =m ; 4 3 4×3 12 C、错误,应为(﹣m ) =﹣m =﹣m ; ﹣ 6 2 6 2 4 D、m ÷m =m =m ,正确. 故选 D. 点评: 本题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方的性质,同底数幂的除法的性质,熟练掌握运算性质是解题的关键. 2. (4 分) (2009?聊城)下列事件中是不确定事件的为( ) A.367 人中至少有 2 人的生日相同 B. 今年国庆节这一天,我市的最高气温是 28℃ C. 掷 6 枚相同的硬币,3 枚正面向上,4 枚正面向下 D.掷两枚普通的骰子,掷得的点数之和不是奇数就是偶数 考点: 随机事件. 分析: 不确定事件,即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 解答: 解:A、D、都是必然事件; C、一定不会发生,是不可能事件; B、可能发生,也可能不发生,是不确定事件. 故选 B. 点评: 解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 理解概念是解决这类基础题的主要方法.
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3

2

3+2

5

3. (4 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,△ BCF 的面积为 4,则△ DEF 的面积为(



A .1

B.2

C .3

D.4

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 由四边形 ABCD 是平行四边形, 可得 AD∥ BC, AD=BC, 即可证得△ DEF∽ △ BCF, 又由 E 为 AD 的中点, △ BCF 的面积为 4,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可求得△ DEF 的面积. 解答: 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥ BC,AD=BC,
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www.jyeoo.com ∴ △ DEF∽ △ BCF, ∵ E 为 AD 的中点, ∴ DE= AD, ∴ DE:BC=1:2, ∴ S△DEF:S△BCF=1:4, ∵ △ BCF 的面积为 4, ∴ △ DEF 的面积为 1. 故选 A. 点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应 用. 4. (4 分)观察算式:3 =3,3 =9,3 =27,3 =81,3 =243,3 =729,3 =2187,3 =6561,….通过观察,用你所发 2011 现的规律确定 3 的个位数字是( ) A .3 B.9 C .7 D.1 考点: 有理数的乘方. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 通过观察,发现 3 的乘方的结果上的个位数字:3,9,7,1,3,9,7,1,…4 个一循环,所以根据这个规 律求得答案. 解答: 解:2011÷4=502…3,
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1

2

3

4

5

6

7

8

∴ 3 的结果个位数是:7, 故选:C. 点评: 此题主要考查了一个整数的正整数次幂的个位数字有规律,观察出结果个位数字的特点,是解本题的关键. 5. (4 分) (2009?伊春)如图,AB 是⊙ O 的直径,⊙ O 交 BC 的中点于 D,DE⊥ AC 于点 E,连接 AD,则下列结论正 确的个数是( ) ① AD⊥ BC;② ∠ EDA=∠ B;③ OA= AC;④ DE 是⊙ O 的切线.

2011

A .1 个 考点: 专题: 分析: 解答:

B.2 个

C .3 个

D.4 个

切线的判定;全等三角形的判定与性质;圆周角定理;弦切角定理. 压轴题. 根据圆周角定理和切线的判定,采用排除法,逐条分析判断. 解:∵ AB 是直径, ∴ ∠ ADB=90°, ∴ AD⊥ BC,故① 正确; 连接 DO, ∵ 点 D 是 BC 的中点, ∴ CD=BD,
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www.jyeoo.com ∴ △ ACD≌ △ ABD(SAS) , ∴ AC=AB,∠ C=∠ B, ∵ OD=OB, ∴ ∠ B=∠ ODB, ∴ ∠ ODB=∠ C,OD∥ AC, ∴ ∠ ODE=∠ CED, ∴ ED 是圆 O 的切线,故④ 正确; 由弦切角定理知,∠ EDA=∠ B,故② 正确; ∵ 点 O 是 AB 的中点,故③ 正确, 故选 D.

点评: 本题利用了平行线的判定,弦切角定理,全等三角形的判定和性质,切线的概念,中点的性质求解. 6. (4 分) (2010?抚顺)如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 EF,点 D 的对应点为 G,连接 DG,则图中阴影部分的面积为( )

A.

B.6

C.

D.

考点: 翻折变换(折叠问题) . 专题: 压轴题. 分析: 由于 AF=CF,则在 Rt△ ABF 中由勾股定理求得 AF 的值,证得△ ABF≌ △ AGE,有 AE=AF,即 ED=AD﹣AE, 再由直角三角形的面积公式求得 Rt△ AGE 中边 AE 上的高的值,即可计算阴影部分的面积. 解答: 解:由题意知,AF=FC,AB=CD=AG=4,BC=AD=8 2 2 2 2 2 2 在 Rt△ ABF 中,由勾股定理知 AB +BF =AF ,即 4 +(8﹣AF) =AF , 解得 AF=5 ∵ ∠ BAF+∠ FAE=∠ FAE+∠ EAG=90° ∴ ∠ BAF=∠ EAG ∵ ∠ B=∠ AGE=90°,AB=AG ∴ △ BAF≌ △ GAE, ∴ AE=AF=5,ED=GE=3
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∵ S△GAE= AG?GE= AE?AE 边上的高

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www.jyeoo.com ∴ AE 边上的高= ∴ S△GED= ED?AE 边上的高= ×3× = .

故选 C. 点评: 本题利用了矩形的性质和翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质求解. 7. (4 分)10 个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉 他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报 2 的人心 里想的数是( )

A .1

B.2

C.﹣3

D.﹣1

考点: 规律型:数字的变化类. 分析: 先设报 2 的人心里想的数,利用平均数的定义表示报 4 的人心里想的数;报 6 的人心里想的数;抱 8 的人 心里想的数;报 10 的人心里想的数,最后建立方程,解方程即可. 解答: 解:设报 2 的人心里想的数是 x, 则报 4 的人心里想的数应该是 6﹣x, 于是报 6 的人心里想的数是 10﹣(6﹣x)=4+x, 报 8 的人心里想的数是 14﹣(4+x)=10﹣x, 报 10 的人心里想的数是 18﹣(10﹣x)=8+x, 报 2 的人心里想的数是 2﹣(8+x)=﹣6﹣x, ∴ x=﹣6﹣x, 解得 x=﹣3. 故选:C. 点评: 此题主要考查了平均数的相关计算及方程思想的运用.规律与趋势:这道题的解决方法有点奥数题的思维, 题意理解起来比较容易,但从哪下手却不容易想到,一般地,当数字比较多时,方程是首选的方法,而且, 多设几个未知数,把题中的等量关系全部展示出来,再结合题意进行整合,问题即可解决.
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二、填空题(每小题 4 分,共 9 题) 8. (4 分)2011 年某地区有五所中学参加中考的学生人数分别为:320,250,280,295,307,以上五个数据的中 位数为 295 . 考点: 中位数. 分析: 求中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数. 解答: 解:将这组数据从小到大的顺序排列为:250,280,295,307,320,处于中间位置的那个数是 295,那么 由中位数的定义可知,这组数据的中位数是 295. 故答案为:295. 点评: 考查了中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中 间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数.
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www.jyeoo.com 9. (4 分)将一枚六个面的编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的 点数为 a,第二次掷出的点数为 b,则使关于 x,y 的方程组 有正数解的概率为 .

考点: 列表法与树状图法;二元一次方程组的解. 分析: 首先分两种情况:① 当 2a﹣b=0 时,方程组无解; ② 当 2a﹣b≠0 时,方程组的解为由 a、b 的实际意义为 1,2,3,4,5,6 可得.把方程组两式联合求解可得
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x=

,y=

,再由 x、y 都大于 0 可得 x=

>0,y=

>0,求出 a、b 的范围,列举出 a,

b 所有的可能结果,然后求出有正数解时,所有的可能,进而求出概率. 解答: 解:① 当 2a﹣b=0 时,方程组无解; ② 当 2a﹣b≠0 时,方程组的解为由 a、b 的实际意义为 1,2,3,4,5,6 可得. 易知 a,b 都为大于 0 的整数,则两式联合求解可得 x= ∵ 使 x、y 都大于 0 则有 x= >0,y= >0, ,y= ,

∴ 解得 a<1.5,b>3 或者 a>1.5,b<3, ∵ a,b 都为 1 到 6 的整数, ∴ 可知当 a 为 1 时 b 只能是 4,5,6;或者 a 为 2,3,4,5,6 时 b 为 1 或 2, 这两种情况的总出现可能有 3+10=13 种; (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6=36 种情况,故所求概率为= 故答案为: .

点评: 此题主要考查了列表法求概率,以及二元一次方程的解法,题目综合性较强. 10. (4 分) (2009?辽宁)如图,用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案,按照这样的规律摆下去,第 100 个图案需棋子 302 枚.

考点: 规律型:图形的变化类. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化 规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点. 解答: 解:根据图案可知规律如下:图 2,2×3+2;图 3,2×4+3…图 n,2×(n+1)+n;所以第 100 个图案需棋子 2× (100+1)+100=302. 点评: 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.
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11. (4 分) (2009?荆州)定义新运算“*”,规则:a*b=

,如 1*2=2,

*

.若 x +x﹣

2

1=0 的两根为 x1,x2,则 x1*x2=



考点: 根与系数的关系.

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www.jyeoo.com 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据公式法求得一元二次方程的两个根,然后根据新运算规则计算 x1*x2 的值则可. 2 解答: 解:在 x +x﹣1=0 中, a=1,b=1,c=﹣1, ∴ b ﹣4ac=5>0, 所以 x1= ∴ x1*x2= ,x2= * = 或 x1= . ,x2= .
2

点评: 本题考查了运用公式法解一元二次方程,注意定义运算规则里的两种情况.

12. (4 分) (2010?湛江)因为 cos30°= 因为 cos45°= ,cos225°=﹣

,cos210°=﹣

,所以 cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣ ; .



,所以 cos225°=cos(180°+45°)=﹣cos45°=﹣

猜想:一般地,当 a 为锐角时,有 cos(180°+a)=﹣cosa,由此可知 cos240°的值等于 ﹣

考点: 专题: 分析: 解答:

特殊角的三角函数值. 压轴题. 根据已知条件找出规律,根据此规律及特殊角的三角函数值求解. 解:∵ 当 a 为锐角时,有 cos(180°+a)=﹣cosa,
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∴ cos240°=cos(180°+60°)=﹣cos60°=﹣ . 点评: 阅读理解题意,寻找规律解题. 13. (4 分) (2009?黄石)下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于 A、B 两点,分别以 A、B 两点为圆心,画 与 x 轴相切的两个圆,若点 A 的坐标为(2,1) ,则图中两个阴影部分面积的和是 π .

考点: 专题: 分析: 解答:

反比例函数图象的对称性. 计算题;压轴题. 根据正比例函数图象和双曲线的中心对称性,可知阴影部分的面积是圆 A 的面积. 解:∵ 直线和双曲线都关于原点对称, ∴ A、B 关于原点对称, 且两圆为等圆, ∵ 点 A 的坐标为(2,1) , ∴ 圆 A 的半径是 1, 2 ∴ 两个阴影部分面积的和是 S=π?1 =π. 故答案为:π. 点评: 能够观察到阴影部分的面积是圆面积,是解决本题的关键.
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www.jyeoo.com 14. (4 分)如图,AB∥ CD,∠ 1=50°,∠ 3=60°,则∠ 2= 110° .

考点: 平行线的性质. 分析: 设∠ 3 的边与 AB 相交得到∠ 4,根据三角形的内角和等于 180°求出∠ 4,再根据两直线平行、同旁内角互补解 答即可. 解答: 解:如图,∵ ∠ 1=50°,∠ 3=60°, ∴ ∠ 4=180°﹣∠ 1﹣∠ 3=180°﹣50°﹣60°=70°, ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ 2=180°﹣∠ 4=180°﹣70°=110°. 故答案为:110°.
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点评: 本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,熟记性质是解题的关键. 15. (4 分) (2013?安顺)在平行四边形 ABCD 中,E 在 DC 上,若 DE:EC=1:2,则 BF:BE= 3:5 .

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 由题可知△ ABF∽ △ CEF,然后根据相似比求解. 解答: 解:∵ DE:EC=1:2 ∴ EC:CD=2:3 即 EC:AB=2:3 ∵ AB∥ CD, ∴ △ ABF∽ △ CEF, ∴ BF:EF=AB:EC=3:2. ∴ BF:BE=3:5. 点评: 此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质.
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16. (4 分) (2012?黔南州)如图,四边形 ABCD 是矩形,A、B 两点在 x 轴的正半轴上,C、D 两点在抛物线 y=﹣ 2 2 x +6x 上.设 OA=m(0<m<3) ,矩形 ABCD 的周长为 l,则 l 与 m 的函数解析式为 l=﹣2m +8m+12 .

考点: 待定系数法求二次函数解析式;矩形的性质. 专题: 压轴题. 分析: 求 l 与 m 的函数解析式就是把 m 当作已知量,求 l,先求 AD,它的长就是 D 点的纵坐标,再把 D 点纵坐
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www.jyeoo.com 标代入函数解析式求 C 点横坐标,C 点横坐标与 D 点横坐标的差就是线段 CD 的长,用 l=2(AD+CD) ,建 立函数关系式. 2 2 解答: 解:把 x=m 代入抛物线 y=﹣x +6x 中,得 AD=﹣m +6m 把 y=﹣m +6m 代入抛物线 y=﹣x +6x 中,得 2 2 ﹣m +6m=﹣x +6x 解得 x1=m,x2=6﹣m ∴ C 的横坐标是 6﹣m,故 AB=6﹣m﹣m=6﹣2m ∴ 矩形的周长是 l=2(﹣m +6m)+2(6﹣2m) 2 即 l=﹣2m +8m+12. 点评: 求函数解析式的过程就是一个列代数式的过程,求线段的长度的问题一般要转化为求点的坐标的问题. 三、解答题(本大题有 6 小题,共 56 分) 17. (6 分) (2009?江津区)先化简,再求值 ,其中 x=3.
2 2 2

考点: 分式的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 本题的关键是正确进行分式的通分、约分,并准确代值计算. 解答: 解:原式=
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= = ;

当 x=3 时,原式= . 点评: 化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容,它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面,也是 一个常考的题材.为了降低计算的难度,杜绝繁琐的计算,本题代数式结构简单,化简后的结果简单,计 算简单,把考查重点放在化简的规则和方法上. 18. (8 分) (2009?云南)如图,小芸在自家楼房的窗户 A 处,测量楼前的一棵树 CD 的高.现测得树顶 C 处的俯 角为 45°,树底 D 处的俯角为 60°,楼底到大树的距离 BD 为 20 米.请你帮助小芸计算树的高度(精确到 0.1 米) .

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 专题: 计算题. 分析: 过点 A 作 AE∥ BD 交 DC 的延长线于点 E.则在图中得到两个直角三角形,利用三角函数定义分别计算出 ED 和 EC,求差即可. 解答: 解:过点 A 作 AE∥ BD 交 DC 的延长线于点 E. 则∠ AEC=∠ BDC=90 度.
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www.jyeoo.com ∵ ∠ EAC=45°,AE=BD=20 米, ∴ EC=20 米. ∵ tan∠ ADB=tan∠ EAD= ,

∴ AB=20?tan60°=20 (米) , CD=ED﹣EC=AB﹣EC=20 ﹣20≈14.6(米) . 答:树高约为 14.6 米.

点评: 本题要求学生借助俯角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形. 19. (10 分) (2010?宁波)小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁的路程是 4 千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁,图中折线 O﹣A﹣B﹣C 和线 段 OD 分别表示两人离学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题: (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 15 分钟,小聪返回学校的速度为 千米/分钟;

(2)请你求出小明离开学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分钟)之间的函数关系; (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米?

考点: 一次函数的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)直接根据图象上所给的数据的实际意义可求解; (2)由图象可知,s 是 t 的正比例函数,设所求函数的解析式为 s=kt(k≠0) ,把(45,4)代入解析式利用 待定系数法即可求解; (3)由图象可知,小聪在 30≤t≤45 的时段内 s 是 t 的一次函数,设函数解析式为 s=mt+n(m≠0) 把(30,4) , (45,0)代入利用待定系数法先求得函数关系式,再根据求函数图象的交点方法求得交点坐 标即可. 解答: 解: (1)∵ 30﹣15=15,4÷15=
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∴ 小聪在天一阁查阅资料的时间和小聪返回学校的速度分别是 15 分钟,

千米/分钟.

(2)由图象可知,s 是 t 的正比例函数 设所求函数的解析式为 s=kt(k≠0)
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www.jyeoo.com 代入(45,4) ,得 4=45k 解得 k= ∴ s 与 t 的函数关系式 s= t(0≤t≤45) .

(3)由图象可知,小聪在 30≤t≤45 的时段内 s 是 t 的一次函数,设函数解析式为 s=mt+n(m≠0) 代入(30,4) , (45,0) ,得

解得

∴ s=﹣ 令﹣ 当 t=

t+12(30≤t≤45) t+12= t,解得 t= × =3.

时,S=

答:当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是 3 千米. 点评: 主要考查了一次函数的实际运用和读图能力.从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力,还要会熟 练地运用待定系数法求函数解析式和使用方程组求交点坐标的方法. 20. (10 分) (2010?宁波)如图,AB 是⊙ O 的直径,弦 DE 垂直平分半径 OA,C 为垂足,弦 DF 与半径 OB 相交于 点 P,连接 EF、EO,若 DE=2 ,∠ DPA=45°. (1)求⊙ O 的半径; (2)求图中阴影部分的面积.

考点: 扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质;解直角三角形. 分析: (1)根据垂径定理得 CE 的长,再根据已知 DE 平分 AO 得 CO= AO= OE,解直角三角形求解.
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(2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可. 解答: 解: (1)∵ 直径 AB⊥ DE, ∴ CE= DE= .

∵ DE 平分 AO, ∴ CO= AO= OE. 又∵ ∠ OCE=90°, ∴ sin∠ CEO= ∴ ∠ CEO=30°.
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= ,

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www.jyeoo.com 在 Rt△ COE 中, OE= = =2.

∴ ⊙ O 的半径为 2. (2)连接 OF. 在 Rt△ DCP 中, ∵ ∠ DPC=45°, ∴ ∠ D=90°﹣45°=45°. ∴ ∠ EOF=2∠ D=90°. ∴ S 扇形 OEF= ×π×2 =π.
2

∵ ∠ EOF=2∠ D=90°,OE=OF=2, ∴ SRt△OEF= ×OE×OF=2. ∴ S 阴影=S 扇形 OEF﹣SRt△OEF=π﹣2.

点评: 此题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式. 21. (10 分) (2009?江津区)某商场在销售旺季临近时,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时 的售价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始,保持每件 30 元的稳定价格销售,直到 11 周结束, 该童装不再销售. (1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; (2) 若该品牌童装于进货当周售完, 且这种童装每件进价 z (元) 与周次 x 之间的关系为 z=﹣ (x﹣8)+12, 1≤x≤11, 且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大?并求最大利润为多少? 考点: 二次函数的应用. 专题: 压轴题. 分析: (1)本题考查的是分段函数的有关知识; (2)设利润为 w,则根据题意得 y﹣z=w.已知 y,z 的函数关系式,易求解. 解答: 解: (1)y= ;
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2

(2)设利润为 W,则

W=

W= x +14,对称轴是直线 x=0,当 x>0 时,W 随 x 的增大而增大,

2

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www.jyeoo.com ∴ 当 x=5 时,W 最大=
2

+14=17.125(元)

W= (x﹣8) +18,对称轴是直线 x=8,当 x>8 时,W 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x=11 时,W 最大= ×9+18=19 =19.125(元) 综上可知:在第 11 周进货并售出后,所获利润最大且为每件 19.125 元. 点评: 本题考查的是二次函数的实际应用.利用配方法求出最大值. 22. (12 分) (2009?江津区)如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(﹣3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△ QAC 的周长最小?若存在, 求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△ PBC 的面积最大?若存在,求出点 P 的坐标及△ PBC 的面积最大值;若没有,请说明理由.
2

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题;开放型. 分析: (1)根据题意可知,将点 A、B 代入函数解析式,列得方程组即可求得 b、c 的值,求得函数解析式; (2)根据题意可知,边 AC 的长是定值,要想△ QAC 的周长最小,即是 AQ+CQ 最小,所以此题的关键是 确定点 Q 的位置,找到点 A 的对称点 B,求得直线 BC 的解析式,求得与对称轴的交点即是所求; (3)存在,设得点 P 的坐标,将△ BCP 的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点 P 的 坐标. 2 解答: 解: (1)将 A(1,0) ,B(﹣3,0)代 y=﹣x +bx+c 中得
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(2 分)



(3 分)
2

∴ 抛物线解析式为:y=﹣x ﹣2x+3; (4 分) (2)存在(5 分) 理由如下:由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 x=﹣1 对称 ∴ 直线 BC 与 x=﹣1 的交点即为 Q 点,此时△ AQC 周长最小 2 ∵ y=﹣x ﹣2x+3 ∴ C 的坐标为: (0,3) 直线 BC 解析式为:y=x+3(6 分) Q 点坐标即为

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www.jyeoo.com 解得 ∴ Q(﹣1,2) ; (7 分) (3)存在. (8 分) 理由如下:设 P 点(x,﹣x ﹣2x+3) (﹣3<x<0) ∵ S△BPC=S 四边形 BPCO﹣S△BOC=S 四边形 BPCO﹣ 若 S 四边形 BPCO 有最大值,则 S△BPC 就最大, ∴ S 四边形 BPCO=S△BPE+S 直角梯形 PEOC(9 分) = BE?PE+ OE(PE+OC) = (x+3) (﹣x ﹣2x+3)+ (﹣x) (﹣x ﹣2x+3+3) = 当 x=﹣ 时,S 四边形 BPCO 最大值= ∴ S△BPC 最大= 当 x=﹣ 时,﹣x ﹣2x+3= ∴ 点 P 坐标为(﹣ , ) . (11 分)
2 2 2 2

(10 分)

点评: 此题考查了二次函数的综合应用,要注意距离最短问题的求解关键是点的确定,还要注意面积的求解可以 借助于图形的分割与拼凑,特别是要注意数形结合思想的应用.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:HJJ;zhehe;心若在;zhjh;zcx;gbl210;117173;疯跑的蜗牛;hbxglhl;蓝月 梦;zhqd;Linaliu;CJX;HLing;星期八;张超。 ;lf2-9;zhangCF;MMCH;lanyan;自由人;xiu;csiya(排名 不分先后)
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