山东省淄博市2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


淄博市 2016—2017 学年度高三模拟考试试题 理科数学
本试卷,分第 I 卷和第 II 卷两部分.共 5 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

2 1.已知集合 A ? x x ? 4 , B ? ?0,1, 2,3? , 则A ? B ?

?

?

A. ? 2.已知 A. 2 ? i

B.

?0?

C.

?0,1?

D.

?0,1, 2?

x ? 1 ? yi ,其中 x, y 是实数,i 是虚数单位,则 x ? yi 的共轭复数为 1? i
B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

3.下列命题为真命题的是 A.若 x ? y ? 0,则ln x ? ln y ? 0 B.“ ? ?

?
2

”是“函数 y ? sin ? 2x ? ? ? 为偶函数”的充要条件
x x

C. ?x0 ? ? ??,0? ,使 3 0 ? 4 0 成立 D. 已知两个平面 ? , ? ,若两条异面直线 m, n 满足 m ? ? , n ? ? 且m / / ? , n / /? , 则? / / ?
-1-

4.设随机变量 ? 服从正态分布 N ?3,4? , 若P ?? ? 2a ? 3? ? P ?? ? a ? 2?,则a 的值为 A.

5 3

B.
2

7 3
2

C.3

D.5

5.已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? 2 ? ? 4 ? a ? 0 ? , 若倾斜角为 45°的直线 l 过抛物线 y 2 ? ?12 x 的 焦点,且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,则 a 等于 A.

2 ?1

B.

2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1

6.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?1, 2 ? 上是减函数的为 A. y ? log 1 x
2

B. y ? x 2

1

C. y ?

2? x 2 x ? 2? x D. y ? 1g 2? x 2

7.设向量 OA ? ?1, ?2? , OB ? ? a, ?1? , OC ? ? ?b, 0? ,其中 O 为坐标原点, a ? 0, b ? 0 ,若 A,B,C 三点共线,则 A.4 B. 6

??? ?

??? ?

????

1 2 ? 的最小值为 a b
C.8 D.9

? x ? 0, ? y ? 0, ? 8.已知 x , y 满足不等式组 ? 当 3 ? m ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化 ? x ? y ? m, ? ? y ? 2 x ? 4.
范围是 A.

?7,8?

B.

?7,15?

C.

?6,8?

D. ?6,15?

9.已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小 球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的 (小球完全浮在水面上方) ,则小球的表面积等于 A.

7 时,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切 8

7? 6

B.

4? 3

C.

2? 3
2

D.

? 2

10.如图所示,由直线 x ? a, x ? a ?1? a ? 0? , y ? x 及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小 矩形与大矩形的面积之间,即 a ?
2

?

a ?1

a

x 2 dx ? ? a ? 1? . 类比之,若对 ?n ? N ? ,不等式
2

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?A ? ? ? ??? ? 恒成立,则实数 A 等于 n ?1 n ? 2 2n n n? 1 2 n? 1

-2-

A. ln

5 2

B. ln 2

C.

1 ln 2 2

D.

1 ln 5 2

第 II 卷(共 100 分) 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是________. 12.函数 f ? x ? ?

A ?? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的部分图 sin ?? x ? ? ? ? 2?
?? ? ? ? __________. ?4?

象如图所示,则 f ?

13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时,需要固定六个位置上 的螺丝,首先随意拧紧一个螺丝,接着拧紧距离它最远的第二个螺丝, 再随意拧紧第三个螺丝,接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝, 第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有__________种. 14.已知 A 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右顶点, B1, B2 分别为虚轴的两个端点,F a 2 b2

为右焦点.若 B2 F ? AB1 ,则双曲线 C 的离心率是_________. 15.在研究函数 f ? x ? ?

x 2 ? 4 ? x 2 ? 12 x ? 40 的性质时,某同学受两点间距离分工启发,

-3-

将 f ? x ? 变形为 f ? x ? ? 以下五个描述:

? x ? 0? ? ? 0 ? 2?
2

2

?

? x ? 6? ?? 0 ? 2?
2

2

,并给出关于函数 f ? x ?

①函数 f ? x ? 的图象是中心对称图形;②函数 f ? x ? 的图象是轴对称图形; ③函数 f ? x ? 在 ?0,6? 上是增函数;④函数 f ? x ? 没有最大值也没有最小值; ⑤无论 m 为何实数,关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 都有实数根. 其中描述正确的是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ? 1?? ? 0 ? 相邻两条对称 轴之间的距离为

? . 2

(I)求 ? 的值及函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 中角 A, B, C 的对边,且满足 a ? 3, f ? A? ? 1, 求?ABC 面 积 S 的最大值. 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,
?

BC ? 2 AD, ?PAB与PAD 都是边长为 2 的等边三角
是 BC 的中点. (I)证明:AE//平面 PCD; (II)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小.

形,E

18. (本题满分 12 分)为弘扬传统文化,某校举行诗词大赛,经过层层选拔,最终甲乙两人 进入决赛,争夺冠亚军.决赛规则如下: ①比赛共设有五道题;②双方轮流答题,每次回答一道,两人答题的选后顺序通过抽签决定; ③若答对,自己得 1 分;若答错,则对方得 1 分;④选得 3 分者获胜,已知甲、乙答对每道 题的概率分别为

2 3 和 ,且每次答题的结果相互独立. 3 4

(I)若乙先答题,求甲 3:0 获胜的概率; (II)若甲选答题,记乙所得分数为 X,求 X 的分布列和数学期望 EX .

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19. (本题满分 12 分)数列 ?an ? 是公差为正数的等差数列,a2和a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0
2

的两实数根,数列 ?bn ? 满足 3n?1 bn ? nan?1 ? ? n ?1? an . (I)求 an与bn ; (II)设 Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Tn ,并求 Tn ? 7时n 的最大值. 20. (本题满分 13 分)设 f ? x ? ? x ln x ? ax2 ? ? 2a ?1? x, a ? R . (I)令 g ? x ? ? f ? ? x ?,求g ? x ? 的单调区间; ( II ) 当 a ? 0 时 , 直 线 y ? t ? ?1 ? t ? 0? 与f ? x ? 的 图 像 有 两 个 交 点 A? x1, t ? ,

B ? x2 , t ? , 且x1 ? x2,求证:x1 ? x2 ? 2 .
21. (本题满分 14 分)已知椭圆 C :

? 3? x2 y 2 3 1, ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 ? ,离心率为 , ? 2 ? ? 2 a b 2 ? ?

点 A 为椭圆 C 的右顶点,直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)当 AP ? AQ ? 0 时,求 ?OPQ 面积的最大值; (III)若直线 l 的斜率为 2,求证: ?APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点.

??? ? ????

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