云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考(四)数学(文)试题(扫描版)_图文

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(四) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
∴M ? N ? (0, 2] ,故选 C. 1. M ? [?2,2],N ? (0,2],

1 C

2 D

3 B

4 B

5 A

6 D

7 B

8 C

9 A

10 C

11 D

12 A

2.

a ? i (a ? i)(2 ? i) (2a ? 1) ? (a ? 2)i 1 是纯虚数,∴2a ? 1 ? 0 ,∴a ? ,故选 D. ? ? 2?i 5 5 2

50 由系统抽样的特点, 可得所抽编号成等差数列, 由等差数列性质知 a7 ? a3 ? 4 ? 5 ? 33 , 故选 B. ?5, 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? a ?b 1 π 4.由题意知, a ?(a ? b) ? a ? a ?b ? 0 ,所以 a ?b ? 1 ,设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ? ? ? , ∴? ? ,故选 B. 2 3 |a| ?| b |
3. 抽样间隔为
π? T 3π 1 ? | x1 ? x2 | 的最小值为 ? 5.因为 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ?, ,所以 T ? 6 π ,所以 ? ? ,故选 A. 3? 4 2 3 ?
1) 时, 6.作出可行域如图 1 中阴影部分,目标函数过点 (0,

最小值为 1,故选 D. 7.由程序框图知,输出的结果为 s ? log 2 3 ? log3 4 ? …? log k (k ? 1)
? log2 (k ? 1) ,当 k ? 7 时, s ? 3 ,故选 B.
图1

1 8.抛物线的焦点为 F (1,0) ,准线 l: x ? ?1 ,设点 P ( x,y ) ,则 x ? 1 ? 5 ,∴x ? 4 , y ? ?4 ,∴S△PFO ? ? 4 ? 1 ? 2 , 2
故选 C. 9.该几何体为一个正方体截去三棱台 AEF ? A1 B1 D1 ,如图 2 所示, 截面图形为等腰梯形 B1 D1 FE , EF ? 2, B1D1 ? 2 2, B1E ? 5 , 梯形的高 h ? 5 ?
1 3 2 9 1 3 2 ? , ? ,所以 S梯形B1D1FE ? ? ( 2 ? 2 2) ? 2 2 2 2 2
图2

所以该几何体的表面积为 20,故选 A. 10 .∵数列 {an } 的前 n 项和有最大值,∴数列 {an } 为递减数列,又

a9 ? ?1 , ∴a8 ? 0,a9 ? 0 且 a8 ? a9 ? 0 ,又 a8

S15 ?

15(a1 ? a15 ) 16( a1 ? a 16 ) ? 15a8 ? 0, S 16 ? ? 8(a 8 ? a 9 )? 0,故当 n ? 15 时, Sn 取得最小正值,故选 C. 2 2

11.圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,圆心 (1,0) ,半径 r ? 2 ,因为圆心到直线的距离是 3,所以圆上到直线距离小于 2 的点 构成的弧所对弦的弦心距是 1,设此弧所对圆心角为 ? ,则 cos

?
2

?

1 2

?

2 ? π π ,所以 ? ,即 ? ? ,? 所对的 2 2 4 2

2π π 2 1 2 π ,所以所求概率为 弧长为 ? 2 ? ? ,故选 D. 2 2 2π ? 2 4

12. 当直线 y ? ax 与曲线 y ? ln x 相切时, 设切点为 ( x0,ln x0 ) , 切线斜率为 k ? 切线过点 (0,0) ,∴? ln x0 ? ?1,x0 ? e > 2 ,此时 a ?
? ln 2 1 ? a?? , ? ,故选 A. ? 2 e?

1 1 , 则切线方程为 y ? ln x0 ? ( x ? x0 ) , x0 x0

1 ln 2 ;当直线 y ? ax 过点 (2,ln 2) 时, a ? .结合图象知 e 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
3 ?5? ?5 ? ? 1? ?1? 1 13. f ? ? ? f ? ? 3 ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? 1 ? . 2 ?2? ?2 ? ? 2? ? 2? 2

13

14
3 3 或3 3 2

15

16
(1,2]

3 2

8 17

14.若正三棱柱的高为 6 时,底面边长为 1, V ?
V? 1 3 ? 2? 2? ?3 ? 3 3 . 2 2

1 3 3 3 ?1?1? ?6 ? ;若正三棱柱的高为 3 时,底面边长为 2, 2 2 2

15.由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 , ∴b2 ? c2 ? a2 ? 2bc cos A , 2bc

1 ∵S ? (b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? a2 ? 2bc ? 2bc(cos A ? 1) ,又 S ? bc sin A , 2 1 1 ∴2bc(cos A ? 1) ? bc sin A ,∴cos A ? 1 ? sin A , 2 4
1 8 ?1 ? ∴sin 2 A ? ? sin A ? 1? ? 1, ∴sin A ? . 即 cos A ? sin A ? 1, 4 17 ?4 ?
2

16 . 设 左 焦 点 为 F1 , 则 | P F ? 2 |OM?| 1 |

c c | |F | , ∵| PF2 | ? | PF1 |? 2a , ∴| PF2 |? ? 2a , 又 | P F 1 |? | P F 2 ≥ 1 F 2 , 2 2

c ∴c ? 2a≥2c, ∴2a≥c, ∴e ? ≤2 ,∴e ? (1,2] . a
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得

? ? ?x π? ? f ( x) ? a ?b ? 3 ? 6cos 2 ? 3 sin ? x ? 3 ? 3cos ? x ? 3 sin ? x ? 2 3 sin ? ? x ? ? , 2 3? ?

由正三角形 ABC 的高为 2 3 ,可得 BC ? 4 , 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8 ,即 得? ?



?

?8,

π , 4

????????????????????????????(4 分)
π? ?, 3?

? πx 故 f ( x) ? 2 3 sin ? ? ? 4

所以函数 f ( x) 的值域为 [?2 3, 2 3] . (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?
8 3 , 5

????????????????(6 分)

π? π? 4 ? πx ? πx 由(Ⅰ)有 f ( x0 ) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ,即 sin ? 0 ? ? ? , 4 3 4 3? 5 ? ? ? πx π ? π π? ? 10 2 ? 由 x0 ? ? ? , ? ,得 0 ? ? ? ? , ? , 3 3 4 3 ? 2 2? ? ?

3 ? πx π ? ? 4? 所以 cos ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? , 4 3 5 5 ? ? ? ?
?? πx π π? π ? π? ? πx 故 f ( x0 ? 1) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ? ? 2 3 sin ?? 0 ? ? ? ? 4 3? 3 ? 4? ? 4 ?? 4 ? 2 3? 2 ? ? πx0 π ? π ?? ? πx sin ? ? ? ? cos ? 0 ? ? ? 2 ? 4 3 4 3 ?? ? ? ? ?

2

? 4 3? 7 6 ? 6 ?? ? ? ? . 5 ?5 5?

??????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 赞同 高一 高二 高三 4 3 1 不赞同 2 2 1 合计 6 5 2

??????????????????????????????(3 分)

4 3 1 (Ⅱ) ?126 ? ? 105 ? ? 42 ? 168 (人) . 6 5 2

?????????????(6 分)

(Ⅲ)设高二学生中“赞同”的三名学生的编号为 1,2,3, “不赞同”的两名学生的编号为 4,5,选出两人有
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) ,共 10 种结果, (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) ,共 6 种结果满足题意, 其中恰好有一人“赞同” ,一人“不赞同”的有 (1,4),

且每种结果出现的可能性相等,

所以恰好有一人“赞同”的概率为 19. (本小题满分 12 分)

6 3 ? . 10 5

?????????????(12 分)

(Ⅰ)证明:如图 3,连接 BD 交 AC 于点 E,连接 EF, ∵ABCD 是菱形,∴EB ? ED ,
∴EF∥SB ,

? EF ? 平面FAC, 又? ? SB ? 平面FAC,

图3

∴ SB∥平面FAC .?????????????(6 分) (Ⅱ)解:如图 4,取 AB 的中点 O,连接 SO,OD, 过 F 作 FG∥SO 交 OD 于点 G,
∵SO ? 平面ABCD , ∴FG ? 平面ACD ,

且 FG ?

1 3 SO ? , 2 2

S△ACD ?

1 ?2 ?2sin120? ? 3 , 2

图4

∴三棱锥 S?FAC 的体积 V三棱锥S ? FAC ? V三棱锥S ? ACD ? V三棱锥F ? ACD

1 1 1 1 ? V三棱锥S ? ACD ? ? ? 3 ? 3 ? . 2 2 3 2
20. (本小题满分 12 分)

?????????????????(12 分)

1 ( x ? 1) ? ln x a 1 ? x ? 2? 解: (Ⅰ) g ?( x) ? f ?( x) ? , 2 ( x ? 1) 2x 2 x 2 x 1

依题意, g ?(1) ? 0 ,据此,
1 ? (1 ? 1) ? ln1 a 1 1 ? ? ? 0 ,解得 a ? 2 . 2 2 (1 ? 1) 2 ?1 2 1

?????????????(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? 于是 n ?

ln x 1 n ln x 1 n ? ,由 f ( x) ? ,得 ? ? , x ?1 x x x ?1 x x

x ln x ? 1 对 x ? 0 恒成立, x ?1 ln x ? x ? 1 x ln x 令 h( x) ? , ? 1 ,则 h?( x ) ? ( x ? 1) 2 x ?1
记 t ( x) ? ln x ? x ? 1 ,求导得 t ?( x) ? 可知 t ( x ) 在区间 (0,? ?) 上递增,

1 ?1 ? 0 , x

1 1 ?1? ?1? 由 t ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? 1 ? 0,t ? ? ? ?1 ? ? 1 ? 0 , e e ?e ? ?e? ? 1 1? 可知 ?x0 ? ? 2 , ? 使得 t ( x0 ) ? 0 ,即 h?( x0 ) ? 0 , ?e e?

当 x ? (0,x0 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减;
? ?) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增, 当 x ? ( x0,

所以 h( x) min ? h( x0 ) ?

x0 ln x0 ?1. x0 ? 1

∵t ( x0 ) ? ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 , ∴ln x0 ? ? x0 ? 1 ,

∴h( x)min ?

x0 ln x0 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? x0 ? ?1 ? , 1? 2 ? , x0 ? 1 e e ? ?

故当 n ? h( x) 恒成立时,只需 n ? (??,0] ,又 n 为整数, 所以,n 的最大值是 0. 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 2 ,点 ( 2, 1) 在椭圆上, 所以 ?????????????????????(12 分)

2 1 ? ? 1 ,解得 a ? 2 , a 2 b2

所以椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

????????????????(4 分)

???? ? ???? ???? ? ??? ? (Ⅱ)当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,设 B(0,y0 )( y0 ? 1) ;
当直线 l 垂直于 x 轴时, M (0, 2),N(0, ? 2) ,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | AM | ???? ???? ? 若使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,则 , | BN | | AN |



| y0 ? 2 | | y0 ? 2 |

?

2 ?1 2 ?1

,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 .

所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是 (0,2) . ??????????????????????????????(6 分)
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | AM | 下面证明:对任意直线 l,都有 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,即 ???? ? ???? . | BN | | AN |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立; 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 .

设 M,N 的坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1 ?

其判别式 ? ? (4k )2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 ,

4k 2 , ,x1 x2 ? ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 1 1 x ? x2 ? 2k . 因此, ? ? 1 x1 x2 x1 x2
所以, x1 ? x2 ? ? 易知点 N 关于 y 轴对称的点 N ? 的坐标为 (? x2,y2 ), 又 k BM ?
k BN ? ? y1 ? 2 kx1 ? 1 1 ? ?k? , x1 x1 x1

y2 ? 2 kx2 ? 1 1 1 ? ? ?k ? ?k? , ? x2 ? x2 x2 x1

所以 k BM ? k BN ? ,即 B,M,N ? 三点共线,
???? ? ???? ? ???? ? | BM | | BM | | x1 | | AM | ? ? ? ???? . 所以 ???? ? ???? | BN | | BN ? | | x2 | | AN |

???? ? ???? ???? ? ??? ? 故存在与点 A 不同的定点 B (0,2) ,使得 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | .
????????????????????????????(12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠DAE=∠DAC+∠EAC, 而∠ABD=∠EAC,∠BAD=∠DAC,∴∠ADE=∠DAE,

∴EA ? ED .

??????????????????????????(5 分)

??ABE ? ?CAE, (Ⅱ)∵? ??AEB ? ?CEA,
∴△ABE∽△CAE , ∵?ABE ? ?CAE ,

∴ ∴

AB BE AB DB ,又∵ , ? ? AC AE AC DC DB BE ,即 DB ? AE ? DC ? BE , ? DC AE

由(Ⅰ)知 EA ? ED ,
∴DB ? DE ? DC ? BE .

??????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】

? x ? ?5 ? 2 cos t, ? 解: (Ⅰ)由 ? ? ? y ? 3 ? 2 sin t, ? ? x ? 5 ? 2 cos t, 得? ? ? y ? 3 ? 2 sin t,
消去参数 t,得 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 , 所以圆 C 的普通方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 .
π? ? 由 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 , 4? ?



2 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 2 , 2 2

即 ? cos? ? ? sin ? ? ?2 , 换成直角坐标系为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ??????????????(5 分)

? π? 0) 在直线 l 上, (Ⅱ)∵A ? 2, ?,B (2,π) 化为直角坐标为 A(0,2),B(?2, ? 2?

并且 | AB |? 2 2 , 设 P 点的坐标为 (?5 ? 2 cos t, 3 ? 2 sin t ) ,

? π? ?6 ? 2cos ? t ? ? | ?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 | ? 4? 则 P 点到直线 l 的距离为 d ? , ? 2 2 4 ∴dmin ? ?2 2, 2 1 所以 △PAB 面积的最小值是 S ? ?2 2 ?2 2 ? 4 . ??????????(10 分) 2 | ?5 ? 3 ? 2 | (说明:用几何法和点到直线的距离公式求 d ? ) ? 2 ? 2 2 也可参照给分. 2
24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (Ⅰ)解: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ,即 | x ? 1| ? | x |? 4 ,

3 ①当 x≤0 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 x ? ? , 2 ∴? 3 ? x≤0 是不等式的解; 2

②当 0 ? x≤1 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 1 ? 4 恒成立,
∴0 ? x≤1 是不等式的解;

③当 x ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 4 ,即 x ?

5 , 2

∴1 ? x ?

5 是不等式的解. 2

? 3 5? 综上所述,不等式的解集为 ? ? , ? . ? 2 2?

????????????????(5 分)

(Ⅱ)证明:∵a ? 2 ,
∴f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 2 | ?a | x ? 2 | ?| ax ? 2 | ? | ax ? 2a | ?| ax ? 2 | ? | 2a ? ax | ≥ | ax ? 2 ? 2a ? ax |?| 2a ? 2 |? 2 , ∴?x ? R,f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

????????????????(10 分)


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