高三一轮复习:第二章 函数与基本初等函数(Ⅰ)第四节 函数的奇偶性与周期性

第2章

第四节 函数的奇偶性与周期性

一、选择题(6×5 分=30 分) 1.已知函数f(x)=ax3+bx2+c是奇函数,则( A.b=c=0 C.b=0,a≠0 )

B.a=0 D.c=0

解析:由 f(-x)=-f(x),得-ax3+bx2+c=-ax3-bx2-c,∴b=c=0. 答案:A 2.(2009· f?x2?-f?x1? 西)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 解析:对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), 有 f?x2?-f?x1? <0,则 x2-x1 与 f(x2)-f(x1)异号, x2-x1 B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 陕 )

因此函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数. 又 f(x)在 R 上是偶函数,故 f(-2)=f(2), 由于 3>2>1,故有 f(3)<f(-2)<f(1). 答案:A 3.(2011· 杭 州 模

拟 )若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) B.(-2,2) D.(2,+∞)

解析:由已知 f(x)在(0,+∞)上为增函数. 又 f(2)=0,f(x)=f(|x|), ∴f(x)<0?f(|x|)<f(2). ∴|x|<2.得-2<x<2. 答案:B 4.(2010· 湖 南 示 范 性 高 中 一

模 )函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任意x,有f(x)+f 2f?x? (-x)=0,g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)= +f(x)( g?x?-1 A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数
1

)

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 1 解析:由条件知 f(-x)=-f(x),g(-x)= , g?x? 2f?-x? -2f?x? ∴F(-x)= +f(-x)= -f(x) 1 g?-x?-1 -1 g?x? = -f?x?· g?x?-f?x? f?x?g?x?+f?x? = =F(x). 1-g?x? g?x?-1

答案:B 5.(2011· 泰 安 模

拟 )f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个 数至少是( A.1 C.3 解析:由已知 f(-4)=f(-4+3)=f(-1) =f(-1+3)=f(2)=f(2+3)=f(5)=0. 又 f(-4)=f(-1)=f(1)=f(4)=0, ∴在(0,6)内的解至少有 x=1,2,4,5,故选 B. 答案:B 6.(2011· 拟 丽 水 模 1 2 ) B.4 D.2

)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)< ) B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

的解集是(

A.(-∞,-1) C.(1,+∞)

1 - 解析:当 x>0 时,1-2 x=1- x>0 与题意不符, 2 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=1-2x, 又∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=1-2x,∴f(x)=2x-1, 1 1 ∴f(x)=2x-1<- ,∴2x< ,∴x<-1, 2 2 1 ∴不等式 f(x)<- 的解集是(-∞,-1). 2 答案:A 二、填空题(3×5 分=15 分) 7.(2011· 天
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拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(2)等于________. 解析:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)且 f(0)=0. 又 f(x+2)=-f(x),∴f(x+2)=f(-x), 令 x=0 得 f(2)=f(0)=0. 答案:0 8.(2011· 韶 关 模

拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)· f(x)=-1,f(-1)=2,则f(2 011)=________. 1 解析:由已知 f(x+3)=- , f?x? 1 ∴f(x+6)=- =f(x),∴f(x)的周期为 6. f?x+3? ∴f(2 011)=f(335×6+1)=f(1)=-f(-1)=-2. 答案:-2 9.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关 于f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线x=1对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确判断的序号为____________(写出所有正确判断的序号). 解析:由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确, f(x)关于直线 x=1 对称,②正确, f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数, f(2)=f(0),因此③,④错误,⑤正确. 综上,①②⑤正确. 答案:①②⑤ 三、解答题(共 37 分) 10.(12分)(2011· 杭州模拟)设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3), (1)证明f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象;

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(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. (1)证明:∵x∈[-3,3], ∴f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)解析:当 x≥0 时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1 =(x+1)2-2,
??x-1?2-2 ? 即 f(x)=? 2 ? ??x+1? -2

?0≤x≤3?. ?-3≤x<0?.

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图.

(3)解析:函数 f(x)的单调区间为 [-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[-3,-1]和[0,1)上为减函数, 在[-1,0),[1,3]上为增函数. (4)解析:当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2.故函数 f(x)的值域 为[-2,2]. 11.(12分)(1)(2010· 广 州 模

拟)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,求f(x)的解析式; ex a (2)设a>0,f(x)= + x是R上的偶函数,求实数a的值; a e (3)已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1 -m )<0的实数m的取值范围. 解析:(1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,当 x<0 时,-x>0, 由已知 f(-x)=(-x)2-(-x)-1 =x2+x-1=-f(x). ∴f(x)=-x2-x+1.
2

4

?x -x-1 ?x>0?. ? ∴f(x)=?0 ?x=0?. ?-x2-x+1 ?x<0?. ?
2

(2)法一:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立. e x a ex a 即 + -x= + x, a e a e (a2-1)e2x+1-a2=0 对任意的 x 恒成立,
? 2 ?a -1=0, ∴? 解得 a=1. ? ?a>0,


法二:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-1)=f(1), 11 e a ∴ ·+ae= + , ae a e 1 11 ∴(a- )e+ ( -a)=0, a ea 1 ∴(a- )(e2-1)=0, a 1 ∴a- =0.又 a>0,∴a=1. a 经验证当 a=1 时,有 f(-x)=f(x). ∴a=1. (3)∵f(x)的定义域为[-2,2],
?-2≤1-m≤2, ? ∴? 2 ? ?-2≤1-m ≤2,

解得-1≤m≤ 3① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1) ?1-m>m2-1, 即-2<m<1② 综合①②可知,-1≤m<1. -2x+b 12.(13分)已知定义域为R的函数f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求a、b的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 解析:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,
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-1+b -2x+1 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a

1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1),知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a 故 a=2,b=1. -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 1 从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3

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