江苏省2015高考理科数学二轮专题整合:7-2计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列(必做部分)

第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量 及其分布列 1.(2010· 江苏卷)已知△ABC 的三边长都是有理数. (1)求证:cos A 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cos nA 是有理数. 证明 b2+c2-a2 (1)设三边长分别为 a,b,c,cos A= , 2bc ∵a,b,c 是有理数, b2+c2-a2 是有理数,分母 2bc 为正有理数,又有理数集对于除法具有封闭性, b2+c2-a2 ∴ 2bc 必为有理数,∴cos A 是有理数. (2)①当 n=1 时,显然 cos A 是有理数; 当 n=2 时,∵cos 2A=2cos2A-1,因为 cos A 是有理数, ∴cos 2A 也是有理数; ②假设当 n≤k(k≥2)时,结论成立,即 cos kA、cos(k-1)A 均是有理数. 当 n=k+1 时,cos(k+1)A=cos kAcos A-sin kAsin A 1 =cos kAcos A-2[cos(kA-A)-cos(kA+A)] 1 1 =cos kAcos A-2cos(k-1)A+2cos(k+1)A 解得:cos(k+1)A=2cos kAcos A-cos(k-1)A ∵cos A,cos kA,cos(k-1)A 均是有理数, ∴2cos kAcos A-cos(k-1)A 是有理数, ∴cos(k+1)A 是有理数. 即当 n=k+1 时,结论成立. 综上所述,对于任意正整数 n,cos nA 是有理数. x ?? x? ? x? ? 2.记?1+2??1+22???1+2n?的展开式中,x 的系数为 an,x2 的系数为 bn,其中 n ? ?? ? ? ? ∈N*. (1)求 an; p ?? q? 1? (2)是否存在常数 p, q(p<q), 使 bn=3?1+2n??1+2n?, 对 n∈N*, n≥2 恒成立? ? ?? ? 证明你的结论. 解 (1)根据多项式乘法运算法则,得 1 1 1 1 an=2+22+?+2n=1-2n. 1 7 (2)计算得 b2=8,b3=32. p ?? q? 1? 代入 bn=3?1+2n??1+2n?,解得 p=-2,q=-1. ? ?? ? 1 ?? 1? 1 1 2 1 1? 下面用数学归纳法证明 bn=3?1-2n-1??1-2n?=3-2n+3×4n(n≥2 且 n∈N*) ? ? ? ? 1 ①当 n=2 时,b2=8,结论成立. 1 1 2 1 ②设 n=k 时成立,即 bk=3-2k+3×4k, 则当 n=k+1 时, bk+1=bk+ ak 1 1 2 1 1 1 k+1= - k+ × k+ k+1- 2k+1 3 2 3 4 2 2 2 1 1 2 1 =3- k+1+3× k+1. 2 4 由①②可得存在常数 p=-2,q=-1 使结论对 n∈N*,n≥2 成立. 1 1 1 1 3.(2014· 泰州中学调研)已知多项式 f(n)=5n5+2n4+3n3-30n. (1)求 f(-1)及 f(2)的值; (2)试探求对一切整数 n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论. 解 (1)f(-1)=0,f(2)=17. (2)先用数学归纳法证明,对一切正整数 n,f(n)是整数. ①当 n=1 时,f(1)=1,结论成立. 1 1 1 1 ②假设当 n=k(k≥1, k∈N)时, 结论成立, 即 f(k)=5k5+2k4+3k3-30k 是整数, 1 1 1 1 则当 n=k+1 时,f(k+1)=5(k+1)5+2(k+1)4+3(k+1)3-30(k+1) 5 1 4 2 3 3 2 4 5 C0 5k +C5k +C5k +C5k +C5k+C5 = + 5 4 1 3 2 2 1 4 0 3 2 2 3 C0 C3 k +C1 4k +C4k +C4k +C4k+C4 3k +C3k+C3 + - 2 3 1 4 3 2 30(k+1)=f(k)+k +4k +6k +4k+1. 根据假设 f(k)是整数,而 k4+4k3+6k2+4k+1 显然是整数. ∴f(k+1)是整数,从而当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对一切正整数 n,f(n)是整数. (i)当 n=0 时,f(0)=0 是整数 (ii)当 n 为负整数时,令 n=-m,则 m 是正整数,由(i)知 f(m)是整数, 1 1 1 1 1 1 1 所以 f(n)=f(-m)=5(-m)5+2(-m)4+3(-m)3-30(-m)=-5m5+2m4-3m3 1 +30m=-f(m)+m4 是整数. 综上,对一切整数 n,f(n)一定是整数. 4.(2012· 江苏卷)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当 两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条 棱异面时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 解 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1 个顶点 12 2 8×3 4 8C3 恰有 3 条棱,所以共有 8C2 3对相交棱,因此 P(ξ=0)= 2 = C 66 =11. (2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对,故 P(ξ = 2)= 6 1 2 = , C12 11 4 1 6 于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1-11-11=11, 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ P(ξ) 0 4 11 1 6 11 2 1 11 6 1 6+ 2 因此 E(ξ)=1×11+ 2×11= 11 . 5.(2014· 无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知 会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中既会唱 7 歌又会跳舞

相关文档

2015高考数学(江苏专用,理科)二轮专题整合:1-7-2计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列(必做部分)
2017江苏高考二轮复习专题七(必做)第2讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列
2016高考数学二轮复习专题七第2讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列提升训练理(必做部分)
电脑版