【数学】2.2.1 函数概念 课件(北师大版必修1)_图文

第二章 函



2.1 函数概念

?
设在一个变化过程中有两个变量 x与y, 如果对于x的每一个值, y都有 唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x 的函数.
x叫做自变量,y叫做因变量

? 几百年来随着数学的发展人们对函 数概念的描述越来越清晰了。如何 利用集合的观点来描述函数呢? ? 下列各组变量之间的关系是函数吗?

A 乘2 B 1 1 2 3 2 4 5 3 6

A 平方B 1 1 -1 2 4 -2 3 9 -3

求倒数 A B

1
2 3

4

1 1 2 1 3 1 4

(1)

(2)

(3)

近代定义
给定两个非空数集A和B,如果按 照某个对应关系f ,对于A中的任何一 个数x, 在集合B中都存在唯一确定的 数 f (x) 与之对应, 那么就把这个对应 f 叫做从A到B的一个函数. 通常记作: f:A→B 或 y= f (x) x∈A. 其中,x叫做自变量, y 叫做函数值.

习惯上我们仍称y是x的函数 集合A叫做函数的定义域
全体 y值的集合 {f(x)|x∈A}叫函数的值域.

⑴ 定义域,值域,对应关系f 称为函 数的三要素. 值域由定义域和 对应关系f 确定. ⑵ 两个函数相同必须是它们的定 义域和对应关系分别完全相同. ⑶ A,B都是非空数集. ⑷A中每个数在B中都有对应且唯一.

⑸ 不要求B中的数都有对应即可以有 “剩余”,故值域{f( {f(x)|x∈A } B. ⑹ 有时给出的函数没有明确说定 义域, 这时它的定义域就是使函数 有意义的自变量的取值范围.

?

⑺常用f(a)表示函数y=f(x)当x=a时 的函数值.

下面函数中,哪个与函数 y = x 是同一个函数?

(1) y ? ( x ) (3) y ?
3

2

x

3

(4) y ?

(2) y ? x x

2
2

x

分析:只需看其定义域和对应关系是否一致. (1)定义域不合题意:{x|x≥ 0};
(2)定义域不合题意:{x|x≠0};

(3)y = x 定义域为R,满足题意;
(4)对应法则不合题意: y = |x|.

区间
数集

设a, b ? R, 且a ? b a与b叫做区间的端点.
图形 名称 区间表示

{x a ? x ? b}

a

b

闭区间

[ a, b]

? x a ? x ? b?

a

b

开区间 (a,b)

? x a ? x ? b?
? x a ? x ? b?
{x x ? a}

a

b

半开半 闭区间

[ a, b)

a

b

(a , b ]
[a, ??) (??, a)

a

闭区间
a

{x x ? a}

开区间

R

数轴上所有点 开区间 (??,??)

例1. 某山海拔7500m, 海平面温 0 度为25 C,气温是高度的函数, 而 且高度每升高100m, 气温下降 0 0.6 C.请你用解析表达式表示出 气温T随高度x变化的函数,并指 出其定义域和值域.

解: 气温T(x),高度为x,函数解析式为
0.6x 3 T?x ? ? 25 ? ? 25 ? x 100 500

函数的定义域:[0,7500] 7500m 值域为:[-20,25]

例2.已知函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2, 求f(3),f(a),f(a-1) 解:f (3) ? 3? 32 ? 5 ? 3 ? 2 ? 14
2

f (a) ? 3a ? 5a ? 2
2

f (a ?1) ? 3(a ?1) ? 5(a ?1) ? 2 ? 3a ? a
2 2

例3.求下列函数的定义域: 2 (1) y ? x ? x ? 1 定义域为 R
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R;

(2) y ?

1 x ?1

定义域为{x|x≠-1}

②若f(x)是分式,函数的分母不为零;

(3) y ? x ? 3 x ? 2.
2

x ? 3x ? 2≥ 0
2

? { x | x ≤ 1, x ≥ 2}

③偶次根式的被开方数非负;
(4) f (x )= x ? 1 ? 1 ? x ? 2

? x ? 1 ≥ 0, ? { x | ?1 ≤ x ≤ 1} ? ?1 ? x ≥ 0,

④组合型函数的定义域是各个函数定 义域的交集.

(5) y ? x ? 2 ?

? 解:由? 2 ? x ? 3 x ? 2 ? 0,

1 2 x ? 3x ? 2 x+ 2 ≥ 0,

x ≥ ?2, 且x ? 1, 且x ? 2. 故函数的定义域为 { x | x ≥ ?2, 且x ? 1, 且x ? 2} (6) y ? 5 ? x ? x ? 5.
?5 ? x ≥ 0, ? x ? 5. ? ? x ? 5 ≥ 0,

-2

1

2

定义域为 {5}.

求函数f(x)的定义域
(1)f(x)是整式时,则函数的定义域为R ; (2)f(x)是分式时,则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合; (3)若f(x)是偶次根式,则函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数集合; (4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的 实数集合.

例4.求下列函数的值域: R (1) y ? 1 ? 2x; 值域为 ________

(2) y ?| x | ?1, x ?{?2, ?1,0,1,2};
(3) y ?
(4) y ?

2 ; x?2 (-∞,0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ____________________________;
[0, + ∞ ) x ? 2 值域为 ____________.

{-1, 0, 1 } 值域为 ____________

直接法:由函数解析式直接看出.

求函数的值域,常用以下方法: ①利用观察法; ②分离常数法;
③利用配方法; ④换元法; ⑤数形结合法。

1.用集合的观点描述函数的定义;

2.函数定义域、值域的概念;
3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.

4.区间的表示。


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