立体几何大题练习题答案_图文

立体几何大题专练
1、如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别为 AB、PC 的中点; (1)求证:MN//平面 PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD

2(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, E , F 分别为 AC , BC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAB ; (2)若平面 PAC ? 平面 ABC ,且 PA ? PC , ?ABC ? 90? , 求证:平面 PEF ? 平面 PBC . P

E A B F

C

(1)证明:连结 EF ,

? E 、 F 分别为 AC 、 BC 的中点,
……………………2 分

? EF // AB .

又 EF ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,

?

EF∥平面 PAB. ……………………5 分 (2)? PA ? PC , E 为 AC 的中点, ? PE ? AC ……………………6 分 又? 平面 PAC ? 平面 ABC ? PE ? 面 ABC ……………………8 分 ? PE ? BC ……………………9 分 又因为 F 为 BC 的中点,

? EF // AB

? ?ABC ? 900 ,? BC ? EF ……………………10 分
? EF ? PE ? E ? BC ? 面 PEF ……………………11 分 又? BC ? 面 PBC ?面 PBC ? 面 PEF ……………………12 分
3. 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。 (1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。

4.已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1) 求证:EF∥平面 PAD; (2) 求证:EF⊥CD; (3) 若∠PDA=45°,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小.

5. (本小题满分 12 分)

M 如图, PA ? 矩形ABCD所在的平面, 、N分别是AB、PC 的中点.
(1)求证: MN // 平面PAD ; (2)求证: MN ? CD ;
P

N

D

C

A

M

B

6.如图, 正方形 ABCD 所在的平面与三角形ADE所在平面互相垂直,△AEB是等腰直角 三角形,且AE=ED 证: (1) FM ∥ 平面ECD ; (2)求二面角E-BD—A的正切值. 设线段 BC、 AE 的中点分别为 F、 M ,求

(1)证明:取 AD 的中点 N,连结 FN,MN,则 MN∥ED, FN∥CD ∴平面 FMN∥平面 ECD. ∵ MF 在平面 FMN 内, ∴ FM∥平面 ECD ......5 分 (2)连接 EN, ∵AE=ED,N 为 AD 的中点, ∴ EN⊥AD. 又∵面 ADE⊥面 ABCD,∴EN⊥面 ABCD. 作 NP⊥BD,连接 EP,则 EP⊥BD, ∴∠EPN 即二面角 E-BD-A 的平面角, 设 AD=a,∵ABCD 为 正 方 形 , ⊿ADE 为 等 腰 三 角 形 , ∴EN=

1 2 a,NP= a. 2 4

∴tan∠EPN= 2 . ......10 分

7.如图,一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm,其中有一个高为 (1)试用 (2)当

x

cm 的内接圆柱.

x 表示圆柱的侧面积; x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

19.(1) 解:设所求的圆柱的底面半径为 r 则有

r 6?x x ? ,即 r ? 2 ? . 2 6 3 x 2? 2 x .......5 分 ∴ S圆柱侧 ? 2?rx ? 2? (2 ? ) x ? 4?x ? 3 3
(2)由(1)知当 x ? ?

4? ? 3 时,这个二次函数有最大值为 6 2? 2( ? ) 3

?

所以当圆柱的高为 3cm 时,它的侧面积最大为 8. (10 分)

6?cm2 ......10 分

如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ?. (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC ,求三棱锥 P ? ABC 体积.

解: (1)因为 ?PAB 是等边三角形, ?PAC ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC (2)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . ......5 分

因为

Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,

所以 AE ? PC , AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? . 因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB , 所以三角锥 P ? ABC 的体积 V ?

1 8 ? S ? PC ? 3 3

......10 分

9.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明 PB∥平面 ACM; (2)证明 AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

解析:

(1)证明:如图,连接 BD,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,

所以 O 为 BD 的中点.

又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO?平面 ACM,所以 PB∥ 平面 ACM. (2)证明:因为∠ADC=45° ,且 AD=AC=1,所以∠DAC=90° ,即 AD⊥AC.又 PO⊥ 平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC.

1 (3)如图, DO 中点 N, 取 连接 MN, AN.因为 M 为 PD 的中点, 所以 MN∥PO, MN= PO 且 2 =1,由 PO⊥平面 ABCD,得 MN⊥平面 ABCD,所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所 1 成的角.在 Rt△DAO 中,AD=1,AO= , 2 DO= MN 1 4 5 5 1 5 .从而 AN= DO= .在 Rt△ANM 中,tan∠MAN= AN = = , 2 2 4 5 5 4

4 5 即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 . 5 10(本小题满分 12 分) 如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA1 ? 4 ,点 D 是 AB
的中点. (Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (II)求证: AC1 // 平面 CDB1 ; (III)求三棱锥 A1 ? B1CD 的体积. 证明: (Ⅰ)在△ABC 中,∵ AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴△ABC 为直角三角形,∴ AC ? BC , 又∵ CC1 ? 平面 ABC,∴ CC1 ? AC , CC1 ? BC ? C , ∴ AC ? 平面 BCC1 ,∴ AC ? BC1 . (II)设 B1C 与 BC1 交于点 E,则 E 为 BC1 的中点,连结 DE, 则在△ ABC1 中, DE // AC1 ,又 DE ? 面CDB1 , ∴ AC1 // 平面 B1CD . ……………1 分 ……………2 分 ……………4 分 ……………5 分 ……………7 分 ……………8 分

(III)在△ABC 中,过 C 作 CF ? AB ,F 为垂足,∵平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC, ∴ CF ? 平面 ABB1 A ,而 CF ? 1 ∵

AC ? BC 3 ? 4 12 ? ? , AB 5 5

……………9 分

VA1 ?B1CD ? VC ? A1DB1 ,


……………10 分

S? DA1B1 ?

1 1 A1 B1 ?AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 , 2 2

……………11 分



1 12 VA1 ? B1CD ? ?10 ? ? 8 . 3 5
11.(本小题满分 12 分)

……………12 分

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、 AD 的中点 求下: (Ⅰ)直线 EF//平面 PCD; (Ⅱ)平面 BEF⊥平面 PAD.

12. (本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 侧 棱 PD ? 底 面 中

ABCD, PD ? CD, E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F。
(I)求证: PA // 平面 EDB ; (II)求证: PB ? 平面 EFD ; (III)求二面角 P ? BC ? D 的大小。

13. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? A B C D中 , 底 面 A B C D是 边 长 为 2 的 正 方 形 ,

PA ? PB ? PC ? PD ? 5
(1)求二面角 P ? AB ? C 的度数 (2)若 M 是侧棱 PC 的中点,求异面直线 PA 与 BM 所成角的正切值

P

M

D

C

A

B

14. (本小题满分 12 分) 若图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD ? 平面 ABCD,EC//PD,且 PD=2EC。 (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证:EN ? 平面 PDB;

(1) 证明:EC∥PD∴EC∥面 PAD;同理 BC∥面 PAD;∴面 BEC∥面 PAD;∴BE∥面 PAD (2) 证明:取 BD 的中点 O,连 NO、CO,易知,CO⊥BD;又∵CO⊥PD; ∴CO⊥面 PBD。 15. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDE 中,底面 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ?ACB ? 90? , 侧面 BCDE 是菱形,O 点是 BC 的中点,EO ? 平面 ABC。 (1)求异直线 AC 和 BE 所成角的大小; (2)求平面 ABE 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值。


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