2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国II卷)理科数学(word2007版含答案)


2018 年普通高等学校招生全国统一考试·全国 II 卷

理科数学
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。

1 ? 2i ?( ) 1 ? 2i 4 3 4 3 3 4 3 4 A. ? ? i B. ? ? i C. ? ? i D. ? ? i 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2.已知集合 A ? ?? x, y ? | x ? y ? 3, x ? Z , y ? Z ? ,则 A 中元素的个数为(
1. A.9 3.函数 f ? x ? ?
x



B.8

C.5 的图象大致为( )

D.4

e ?e x2

?x

4.已知向量 a, b 满足 a ? 1, a ? b ? ?1 ,则 a ? 2a ? b ? ( A.4
2 2

?

?



B.3

C.2

D.0

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( ) 2 a b 2 3 x x A. y ? ? 2x B. y ? ? 3x C. y ? ? D. y ? ? 2 2 C 5 , BC ? 1, AC ? 5, 则 AB ? ( ) 6.在△ ABC 中, cos ? 2 5
5.双曲线 B. 30 C. 29 D. 2 5 1 1 1 1 1 ? 7.为计算 S ? 1 ? ? ? ? ... ? ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( 2 3 4 99 100 A. 4 2



A. i ? i ? 1

B. i ? i ? 2

C. i ? i ? 3

D. i ? i ? 4

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶 数可以表示为两个素数的和” ,如 30=7+23.。在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于

30 的概率是( A.

) B.

1 12

1 14

C.

1 15

D.

1 18


AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 9.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? BC ? 1, AA ( 1 ? 3, 则异面直线
5 5 2 C. D. 2 6 5 10.若 f ? x ? ? cos x ? sin x 在 ? ?a, a ? 是减函数,则 a 的最大值是(
A. B. A.

1 5



11. 已 知 f ? x ? 是 定 义 域 为 ? ??, ?? ? 的 奇 函 数 , 满 足 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 。 若 f ?1? ? 2 , 则

π 4

B.

π 2

C.

3π 4

D. π

f ?1? ? f? 2 3 ? . .? . ?f ?? f ? ?
A. ?50 B.0
2

0 ? ? 5(

) D.50

C.2
2

3 x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点, A 是 C 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为 2 a b 6 的直线上,△ PF1F2 为等腰三角形, ?F1F2 P ? 120?, 则 C 的离心率为( ) 2 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 3 3
12.已知 F1 , F2 是椭圆 C : 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 y ? 2ln ? x ?1? 在点 ? 0,0 ? 处的切线方程为_________

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为________ ?x ? 5 ? 0 ?
15.已知 sin ? ? cos ? ? 1,cos ? ? sin ? ? 0 ,则 sin ?? ? ? ? ? _______ 16.已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA, SB 所成角的余弦值为 面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为________ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 记 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? ?7, S3 ? ?15 。 (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求 Sn ,并求 Sn 的最小值。 18.(12 分) 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图。

7 。 SA 与圆锥底面所成角为 45 ? 。若△ SAB 的 8

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与 t 时间变量的两个线性回归模型,根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,…,17)建立模型①: y ? ?30.4 ? 13.5t ;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,…,7)建立模型②: y ? 99 ? 17.5t 。 (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。 19.(12 分) 设抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k ? k ? 0? 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, AB ? 8 (1)求 l 的方程; (2)求过点 A, B 且与 C 的准线相切的圆的方程。 20.(12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 2 2, PA ? PB ? PC ? AC ? 4, O 为 AC 的中点。

(1)证明: PO ? 平面 ABC ; (2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M ? PA ? C 为 30 ? ,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值。 21.(12 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? ax2 。

(1)若 a ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ;

(2)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 只有一个零点,求 a 。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ?

? ? x ? 2 cos ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 4 sin

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数) 。 ? ? y ? 2 ? t sin ?

(1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 ?1,2 ? ,求 l 的斜率。 22.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 设函数 f ? x ? ? 5 ? x ? a ? x ? 2 。

(1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 0 的解集; (2)若 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。


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