高中数学配套同课异构2.1.2 离散型随机变量的分布列 课件(人教A版选修2-3)_图文

第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列

一、复习回顾:
定义1:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,
那么这样的变量叫做随机变量。

随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η表示。
定义2:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序 一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。

二、离散型随机变量的概率分布列
引例:抛掷一个骰子,设得到的点数为ξ,则 ξ的取值情况如何? ξ取各个值的概率分别是 什么?
解:
? 的取值有1、2、3、4、5、6

则 列 表:

1 6 1 P(? ? 4) ? 6

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

1 6 1 P(? ? 5) ? 6

1 6 1 P(? ? 6) ? 6

P(? ? 3) ?

?

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

⑴列出了随机变量? 的所有取值. ⑵求出了 ? 的每一个取值的概率.

离散型随机变量的概率分布列
一般地,设随机变量 ? 的所有可能的取值为 x1 , x2 , x3 , ???, xi , ???, xn ? 的每一个取值 x i (i ? 1, 2, ???, n) 的概率为 P(? ? xi ) ? pi,则称表格

?

x1
p1

x2
p2

· · ·
· · ·

xi
pi

· · ·
· · ·

P

为随机变量 ? 的概率分布列简称 ? 的分布列.

注: 1、分布列的构成
⑴列出了随机变量 ? 的所有取值. ⑵求出了 ? 的每一个取值的概率. 2、分布列的性质 ⑴ pi ? 0, i ? 1,2,? ? ? ⑵ p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1

有时为了表达简单,也用等式 P(? ? xi ) ? pi , i ? 1, 2,3,..., n
表示

?

的分布列

分布列的表示法
1)列表法: 2)用等式表示: P(? ? xi ) ? pi (i ? 1,2,3?? n)

3)用图象法表示:
P 1 函数用解析式、 表格法、图象法

0 x1 x2 x3 x4

xn X

离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:

(1)、pi ? 0, i ? 1 2,?n ,3,
(2)、p1 ? p2 ? p3 ? ?? pn ? 1

注: 这个两个性质是判断分布列是否正确的重要依据

三、沙场点兵 例1、某一射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ P 4
0.02

5
0.04

6
0.06

7
0.09

8
0.28

9
0.29

10
0.22

? 求此射手” ≥7”的概率.

分析: “ ? ≥7”的事件有哪些? 这些事件之间有 什么特点?

解: 根据射手射击所得环数ξ的分布列,有 P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28,

P(ξ=9)=0.29, P(ξ=10)=0.22, 所求的概率为 小结:一般地,离散型随机变量在某一范围内取 P(ξ≥7)=0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88 值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

例2、随机变量ξ的分布列为

ξ
p

-1 0.16

0 a/10

1 a2

2 a/5

3 0.3

1 1)求常数 a; 2)求p( ? x ? 4)
解:1)由离散型随机变量的分布列的性质有:

a a 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 10 5 3 9 (舍)或 解得: a ? ? a? 10 5

2) p (1 ? x ? 4) ? p ( x ? 2) ? p ( x ? 3)

1 3 ? ? ? 0.3 ? 0.12 ? 0.3 ? 0.42 5 5
例3、连续抛掷两个骰子,得到的点数之和为ξ, 则ξ取哪些值?各个值对应的概率分别是什么?
? 解: 的可能取值有:2、3、4、5、6、7、8、
9、10、11、12
由古典概型计算出各取值的概率得到分布列为:

?
p

2

3

4
3 36

5
4 36

6

7

8
5 36

9
4 10 3 36 36

1 2 36 36

5 6 36 36

11 12 2 1
36 36

求离散型随机变量的分布列步骤: S1:求出 ? 的所有可能取值 S2:求出 ? 取值各个值的概率 S3:列出分布列
说明:在写出ξ 的分布列后,要及时检查所有的概 率之和是否为1.

课堂练习:
1、下列A、B、C、D四个表,其中能成为随机变量 ? 的 分布列的是(B )

A

?
P

0
0.6

1
0.3

B

?
P

0
0.9025

1
0.095

2
0.0025

C

?

0 1 2 … n
1 1 4 8

D

?

0
1 3

1

2



n

P 1 2



1 2 n?1

P

1 2 1 ? 2 ?2 … 1 ? 2 ?n ? ?? ? 3 3 3 ?? 3 ? 3 ?3? ? ?
i

?1? 2、设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i ) ? a? ? , i ? 1,2,3 ? 3? 27 . 则 的值 13

a

例 4、在掷一枚图钉的随机试验中,令
?1, 针尖向上 X ?? ?0, 针尖向下
如果会尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p),于是, 随机变量X的分布列是:

X P 四、两点分布列

0 1—p

1 p

象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分 布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称p=P(X=1)为 成功概率。

例5:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求:
(1)取到的次品数X的分布列; (2)至少取到1件次品的概率.
解:(1)从100件产品中任取3件结果数为C100 ,
3

从100件产品中任取3件,其中恰有K件次品的结果为 k 3? C 5 ? C 95 k 那么从100件产品中任取3件, 其中恰 k 3 C5 ? C95?k 好有K件次品的概率为 p( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2, 3 3 C100

X

0
3 C50C95 3 C100
1 5

1
CC 3 C100
2 95
2 5

2
CC 3 C100
1 95

3
3 0 C5 C95 3 C100

P

五、超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n 件,其中恰有X件产品数,则事件{X=k}发生的概 率为 k n?k

CM ? C N ?M P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,? , m n CN

其中m ? min{ M , n}, 且n ? N , M ? N , n, M , N ? N *
称分布列为 超几何分布
X P 0 1




m
m n CM CN?m ?M n CN

1 n 0 n CM CN?0M CM CN?1M ? ? n n CN CN

则称随机变量 X 服从超几何分布. 记为:x ? H(n,M,N),

例6 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一 个口袋中装有大小相同的10个红球和20个白球,一次从中 摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率.

P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} ≈0.191
思考:若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右,应如何 设计中奖规则? 游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.


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