【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第五章 第一节 数列的概念与简单表示演练知能检测 文

第一节

数列的概念与简单表示

[全盘巩固] 2 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 2 2 解析:选 A a8=S8-S7=8 -7 =64-49=15. 2 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( A.9 B.8 C.7 D.6 ?S1 n= , ? 解析:选 B 由 an=? ?Sn-Sn-1 n ?
? n= , ?- =? ?2n- n , ?

)

得 an=2n-10.
*

由 5<2k-10<8,得 7.5<k<9,由于 k∈N ,所以 k=8. * 3.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn+Sn+1=an+1(n∈N ),则此数列是( A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动 数列 解析:选 C ∵Sn+Sn+1=an+1, ∴当 n≥2 时,Sn-1 +Sn=an. 两式相减,得 an+an+1=an+1-an, ∴an=0(n≥2). 当 n=1 时,a1+(a1+a2) =a2,∴a1=0, * ∴an=0(n∈N ). * 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N ),则 a5=( ) A.-16 B.16 C.31 D.32 解析:选 B 当 n=1 时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1, 又 Sn-1=2an-1-1(n≥2),∴Sn-Sn-1=an=2(an-an-1).

)

an n-1 4 =2.∴an=1×2 ,∴a5=2 =16. an-1 an- 3 * 5.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= (n∈N ),则 a20=( 3an+1
∴ A.0 B.- 3 C. 3 2 D. 3

)

解析:选 B 利用 a1=0 和递推公式可求得 a2=- 3,a3= 3,a4=0,a5=- 3,以 此类推,数列{an}的项周期性出现,其周期为 3.所以 a20=a2=- 3. 1 6.在数列{xn}中,若 x1=1,xn+1= -1,则 x2 013=( ) xn+1 1 1 A.-1 B.- C. D.1 2 2 1 1 1 解析:选 D 将 x1=1 代入 xn+1= -1,得 x2=- ,再将 x2 代入 xn+1= -1, xn+1 2 xn+1 得 x3=1,所以数列{xn}的周期为 2,故 x2 013=x1=1. 7.根据下图 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有________个点.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


1

解析: 观察图中 5 个图形点的个数分别为 1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第 n 个图中点的个数为(n-1)×n+1=n2-n+1. 2 答案:n -n+1 2 8.数列{an}的通项公式 an=-n +10n+11,则该数列前________项的和最大. 解析:易知 a1=20>0,显然要想使和最大,则应把所有的非负项求和即可,这样只需求 2 数列{an}的最后一个非负项.令 an≥0,则-n +10n+11≥0,∴-1≤n≤11,可见,当 n= 11 时,a11= 0,故 a10 是最后一个正项,a11=0,故前 10 或 11 项和最大. 答案:10 或 11 * 9. 已知数列{an}满足 a1=1, 且 an=n(an+1-an)(n∈N ), 则 a2=________, an=________. an+1 n+1 解析:由 an=n(an+1-an),可得 = ,

an

则 an=

an an-1 an-2 a2 n-1 n-2 2 · · ·…· ·a1= × × ×…× ×1=n,故 a2=2,an an-1 an-2 an-3 a1 n-1 n-2 n-3 1

n n

=n. 答案:2 n 10.已知数列{an}. 2 (1)若 an=n -5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 2 * (2)若 an=n +kn+4,且对于 n∈N ,都有 an+1>an 成立.求实数 k 的取值范围. 2 解:(1)①由 n -5n+4<0,解得 1<n<4. * ∵n∈N ,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3. 5 ? 5?2 9 2 ②∵an=n -5n+4=?n- ? - 的对称轴方程为 n= . 2 2 ? ? 4 * 又 n∈N ,∴n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. 2 (2)由 an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n +kn+4,可以看成是 k 3 k 3 * 关于 n 的二次函数,又考虑到 n∈N ,当- = 时 a1=a2,所以- < ,即得 k>-3. 2 2 2 2 故实 数 k 的取值范围是(-3,+∞). 1 2 1 * 11.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn= an+ an(n∈N ). 2 2 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 1 * 解:(1)由 Sn= an+ an(n∈N ),可得 2 2 1 1 a1= a2 1+ a1,解得 a1=1; 2 2 1 1 S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2; 2 2 同理,a3=3,a4=4. 1 2 1 (2)Sn= an+ an,① 2 2 1 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ an-1,② 2 2 ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0, 所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n.
2

12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a,an+1=Sn+3 ,n∈N . n (1)记 bn=Sn-3 ,求数列{bn}的通项公式; * (2)若 an+1≥an,n∈N ,求 a 的取值范围. n 解:(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3 , n 即 Sn+1=2Sn+3 , n+1 n 由此得 Sn+1-3 =2(Sn-3 ),即 bn+1=2bn, ∴数列{bn}是首项 b1=a-3,公比为 2 的等比数列. n n-1 * 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3 =(a-3)×2 ,n∈N . n n-1 * (2)由(1)知,Sn=3 +(a-3)×2 ,n∈N , n n-1 n-1 n-2 n-1 于是,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 +(a-3)×2 -3 -(a-3)×2 =2×3 +(a n-2 -3)2 , ?3? an+1-an=4×3n-1+(a-3)×2n-2=2n-2×12×? ?n-2+a-3, ?2? ?3?n-2 ∵an+1≥an,∴12 ×? ? +a-3≥0,∴a≥-9. ?2? 又 a2=a1+3>a1, 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞). [冲击名校] 1.(2014·衢州模拟)将石子摆成如图的梯形形状,称数列 5,9,14,20,…为梯形数, 根据图形的构成,此数列的第 2 014 项与 5 的差即 a2 014-5=( )

n

*

A.2 020×2 012 B.2 020×2 013 C.1 010×2 012 D.1 010 ×2 013 解析:选 D 结合图形可知,该数列的第 n 项 an=2+3+4+…+(n+2).所以 a2 014-5 =4+5+…+2 016=2 013×1 010.

2.数列{an}满足 an+1

?0≤a <1?, ? ? ?2a ? 2? ? =? ?1≤a <1?, ? ? ?2a -1 ? ?2 ?
n n n n

6 若 a1= ,则 a2 013=________. 7

6 ?1 ? 解析:因为 a1= ∈? ,1?, 7 ?2 ? 6 5 所以 a2=2a1-1=2× -1= . 7 7 5 ?1 ? 因为 a2= ∈? ,1?, 7 ?2 ? 5 3 所以 a3=2a2-1= 2× -1= . 7 7 1 3 ? 3 6 ? 因为 a3= ∈?0, ?,所以 a4=2a3=2× = . 2? 7 ? 7 7 显然 a4=a1,根据递推关系,逐步代入,得 a5=a2,a6=a3,…故该数列的项呈周期性 6 5 3 出现,其周期为 3,根据上述求解结果,可得 a3k+1= ,a3k+2= ,a3k+3= (k∈N). 7 7 7 3 所以 a2 013=a3= . 7 3 答案: 7

3


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