高三数学一轮复习 同角三角函数基本关系式及诱导公式提分训练题

同角三角函数基本关系式及诱导公式
一、选择题

? 20π ?=( 1. cos?- ? 3 ? ?
1 A. 2 B. 3 2

)

1 3 C.- D.- 2 2 ? 20π ?=cos?6π +2π ?=cos2π =cos?π -π ?=-cosπ =-1,故选 C. 解析 cos?- ? ? 3 ? 3 ? 3? 3 3 2 ? ? ? ? ? ? 答案 C 2. 若 tan=3,则 A.2 解析 因为 答案 D 3.若 cos(2π -α )= A.- 5 3 5 ? π ? 且 α ∈?- ,0?,则 sin(π -α )=( 3 ? 2 ? 1 C.- 3 5 ? π ? ,又 α ∈?- ,0?, 3 ? 2 ? 1-? 2 ? 5?2 ? =-3. 3 ? ? 2 D.± 3 ).

sin 2? 的值等于( cos 2 a
B.3

) C.4 D.6

sin 2? 2sin ? cos ? = = 2 tan ? ? 6 ,所以选 D. cos 2 a cos 2 a

2 B.- 3

解析 cos(2π -α )=cos α =
2

∴sin α =- 1-cos α =- 2 ∴sin(π -α )=sin α =- . 3 答案 B

4.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 A.-2 B.2

sin α 1-sin α
2



1-cos α 的值等于( cos α D.0

2

).

C.-2 或 2

sin α |sin α | 解析 原式= + , 由题意知角 α 的终边在第二、 四象限, sin α 与 cos α |cos α | cos α 的符号相反,所以原式=0. 答案 D 24 ? π ? 5.已知 sin 2α =- ,α ∈?- ,0?,则 sin α +cos α = ( 25 ? 4 ? 1 A.- 5 1 B. 5 )

7 C.- 5

7 D. 5

1 2 解析:(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α =1+sin 2α = , 25

? π ? 又 α ∈?- ,0?,sin α +cos α >0, ? 4 ?
1 所以 sin α +cos α = . 5 答案:B 6.已知 f(cos x)=cos 3x,则 f(sin 30°)的值为( A.0 B.1 C.-1 ). D. 3 2

解析 ∵f(cos x)=cos 3x, ∴f(sin 30°)=f(cos 60°)=cos 180°=-1. 答案 C 7.若 sin θ ,cos θ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根,则 m 的值为 ( A.1+ 5 C.1± 5 B.1- 5 D.-1- 5 ).
2

解析 由题意知:sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 2 4 又(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ , ∴ =1+ , 4 2 解得:m=1± 5,又 Δ =4m -16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 答案 B 二、填空题 1 ?π ? 8.若 sin(π +α )=- ,α ∈? ,π ?,则 cos α =________. 2 ?2 ? 1 ?π ? 解析 ∵sin(π +α )=-sin α ,∴sin α = ,又 α ∈? ,π ?, 2 ?2 ? ∴cos α =- 1-sin α =- 答案 - 3 2
2 2 2

m

m

m2

m

3 . 2

5 9.已知 cosα =- ,且 α 是第二象限的角,则 tan(2π -α )=________. 13 12 sinα 12 2 解析 由 α 是第二象限的角, 得 sinα = 1-cos α = , tanα = =- , 则 tan(2π 13 cosα 5 12 -α )=-tanα = . 5 12 答案 5 10.已知 α 为第二象限角,则 cos α
2

1+tan α +sin α cos α 1+ 2 sin α
2

2

1 1+ 2 =________. tan α

解析:原式=cos α =cos α 答案:0

sin α 1+ 2 +sin α cos α

1 +sin α 2 cos α

1 1 1 =cos α +sin α =0. 2 sin α -cos α sin α

1 π π 11.已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值是________. 8 4 2 3 2 解析 (sin α -cos α ) =1-2sin α cos α = , 4 π π 3 又∵ <α < ,sin α >cos α .∴cos α -sin α =- . 4 2 2 答案 - 3 2

1 cos 2α ? π? 12.已知 sin α = +cos α ,且 α ∈?0, ?,则 的值为________. 2? 2 π? ? ? sin?α - ? 4? ? 1 2 2 解析 依题意得 sin α -cos α = ,又(sin α +cos α ) +(sin α -cos α ) =2,即(sin 2 7 ?1?2 ? π? 2 2 α +cos α ) +? ? =2,故(sin α +cos α ) = ;又 α ∈?0, ?,因此有 sin α +cos α 2? 4 ?2? ? = 7 cos 2α cos α -sin α ,所以 = 2 π? 2 ? sin?α - ? 4 ? ? 2 sin α -cos α 14 2
2 2

=- 2(sin α +cos α )=-

14 . 2

答案 -

三、解答题

?5π +α ? sin? ? 2 5 ? 2 ? 13.已知 sinα = ,求 tan(α +π )+ 的值. 5 5 π ? -α ? cos? ? ? 2 ?
2 5 解析 ∵sinα = >0,∴α 为第一或第二象限角. 5 当 α 是第一象限角时,cosα = 1-sin α =
2

5 , 5

? 5π ? sin? +α ? cosα ? 2 ? tan(α +π )+ =tanα + sinα ? 5π ? cos? -α ? ? 2 ? sinα cosα 1 5 = + = = . cosα sinα sinα cosα 2
当 α 是第二象限角时,cosα =- 1-sin α =- 1 5 原式= =- . sinα cosα 2 1+tan π +α 14.已知 1+tan 2π -α 求 cos (π -α )+sin ?
2 2

5 , 5

=3+2 2,

?3π +α ? 2

?·cos ? ?

?π +α ?2 ?

?+2sin2(α -π )的值. ? ?

1+tan α 解析:由已知得 =3+2 2, 1-tan α 2+2 2 1+ 2 2 ∴tan α = = = . 4+2 2 2+ 2 2

? 3π ? ?π ? 2 2 ∴cos (π -α )+sin ? +α ?cos ? +α ?+2sin (α -π ) ? 2 ? ?2 ?
=cos α +(-cos α )(-sin α )+2sin α =cos α +sin α cos α +2sin α cos α +sin α cos α +2sin α = 2 2 sin α +cos α 1+tan α +2tan α = 2 1+tan α 2 1+ +1 2 4+ 2 = = . 1 3 1+ 2 15.化简:
2 2 2 2 2 2 2

kπ -α k+ π +α

k-

kπ +α

π -α ] (k∈Z).

解析 当 k=2n(n∈Z)时,

原式= = -α

nπ -α n+ π +α
π +α -π -α α

n-

π -α ] nπ +α =-1;

-sin α -cos α = -sin α ·cos α

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= = π -α sin α

n+ π -α n+1+ π +α
α π +α =

n+1- n+

π -α ] π +α ] =-1.

sin α ·cos α sin α -cos α

综上,原式=-1. 16.已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ ,θ ∈(0,2π ),求: sin θ cos θ (1) + 的值; sin θ -cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. sin θ cos θ 解析 (1)原式= + sin θ -cos θ sin θ 1- cos θ = = sin θ cos θ + sin θ -cos θ cos θ -sin θ sin θ -cos θ =sin θ +cos θ . sin θ -cos θ 3+1 , 2
2 2 2 2 2 2 2

由条件知 sin θ +cos θ =
2



sin θ cos θ 3+1 + = . sin θ -cos θ 1-tan θ 2
2 2

(2)由 sin θ +2sin θ cos θ +cos θ =1+2sin θ cos θ =(sin θ +cos θ ) ,得 1+m=?
2

3 ? 3+1?2 ? ,即 m= 2 . 2 ? ? 3 ? ?sin θ = 2 , ? 1 ? ?cos θ =2

(3)



3+1 ? sin θ +cos θ = , ? 2 ? 3 ? ?sin θ ·cos θ = 4





1 sin θ = , ? 2 ? ? 3 ? ?cos θ = 2 .

π π 又 θ ∈(0,2π ),故 θ = 或 θ = . 6 3


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