瑞安中学20122013学年第二学期期末考试高一

瑞安中学 2012-2013 学年第二学期期末考试高一数学(理)试卷 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
1. 直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. ) C.

2. 若 a ? b ? c ,则下列不等式中正确的是( A. a c ? b c B. ab ? ac

? 4

B.

? 3

2? 3
) C.

D.

3? 4
D. a ? c ? b ? c )

1 1 1 ? ? a b c
2

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? ac ,且 c ? 2a ,则 cos B 等于(

A.

1 4

B.

3 4

C.

2 3

D.

2 4

[来源:学科网 ZXXK]

4. 在数列 {a n }中, 若a1 ? 2, a n ? A. ? 1

1 (n ? 2, n ? N * ),则a2011 a2012 a2013 等于( 1 ? an?1
C.



B.1

1 2

D.2

5.已知点 A(1,0)到直线 l 的距离为 2,点 B?? 4,0? 到直线 l 的距离为 3,则直线 l 的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 )

6. 在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn, yn), 若数列{xn}是等差数列, 数列{yn}是等比数列, 则函数 y=f(x)的解析式可能为(
源:Zxxk.Com]

[来

A.f(x)=2x+1

B.f(x)=4x2

C.f(x)=log3x

3?x D.f(x)=? ?4?

7.过圆 x2 ? y 2 ? 4 外一点 P(4, 2) 作圆的两条切线,切点分别为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆方程是( ) A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 D. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

8. 设 M 是 ?ABC 内一点,且 S ?ABC 的面积为 2,定义 f ?M ? ? ?m, n, p ? ,其中 m, n, p 分 别是 Δ MBC,Δ MCA,Δ MAB 的面 积,若 ?ABC 内一动点 P 满足 f ?P? ? ?1, x, y ? ,则 A.1 B.4 C.9

1 4 ? 的最小值是( x y
D.12



9.有一道解三角形的题,因为纸张破损,在划横线地方有一个已知条件看 不清.具体如下:在 ?ABC 中角 A, B, C 所对的 ....... 边长分别为 a, b, c ,已知角 B ? 45? , a ? 3 , 件才能解得,请你选出一个符合要求的已知条件. ( A. C ? 75
o

▲ )

,求角 A .若已知正确答案为 A ? 60? ,且必须使用所有已知条

B. b ?

2

C. b cos A ? a cos B

D. S ?ABC ?

3? 3 4

?x ? y ? 4 ? 10.已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 14 相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为 ?x ? 1 ?
( ) A.2 B.4 C. 2 6 D. 4 3

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)
1 1. 不等式 3x ? 2 x ? 2 ? 0 的解集是
2

.

[来源:Zxxk.Com]

12. 等差数列 ?an ? 中, S 5 ? 25 ,则 a3 的值是

. ___.. . .

13. 若直线(m–1)x+3y+m=0 与直线 x+(m+1)y+2=0 平行,则实数 m=_____ 14.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

[来源:学.科.网]

15.直线 l : m x ? y ? 2 ? m ? 0 与圆 C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 的位置关系是

16.已知 x, y ? (0, ??),

1 2 ? ? 2, 则2 x ? y 的最小值为 x y ?1



17. 等比数列 {an } 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件

a1 ? 1 , a9 a10 ? 1 ? 0 ,

a9 a10 ? a9 ? a10 ? 1 ? 0 。给出下列结论:① 0 ? q ? 1 ;② T10 的值是 Tn 中最大的;③使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 18。
其中正确结论的序号是 。

三、解答题:

18.(本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P?3,0? .

(1)若直线 l 平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求直线 l 的方程; (2)若点 O?0,0? 和点 M ?6,6? 到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程.

19. (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边 a, b, c ,且 a cos C ?

1 c ? b. 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 b ? c 的最大值并判断这时三角形的形状.

20. (本题满分 14 分)己知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 2 ,当 n ≥ 2 时, S n?1 ? 1 , an , S n ? 1 成等差数列. (1) 求数列 {an } 的通项公式;
[来源:学科网 ZXXK]

m 2 ? 3n ? (2)设 bn ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的 最小正整数 m . 20 S n ? S n?1

21. (本小题满分 14 分) 过点 O?0,0? 的圆 C 与直线 y ? 2 x ? 8 相切于点 P?4,0? .
(1)求圆 C 的方程;
[来源:Zxxk.Com]

(2)已知点 B 的坐标为 (0, 2) ,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的最小值. (3)在圆 C 上是否存在两 点 M , N 关于直线 y ? kx ? 1 对称,且以 MN 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 MN 的方 程;若不存在,说明理由.
[来源:学科网]

数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)

所以 ?b ? c? ? 4 , 所以 b ? c 的最大值为 2, 当且仅当 a ? b ? c ? 1时有最大值, 这时 ?ABC 为正三角形………………………
2

12 分。 20. (本题满分 14 分)己知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 2 ,当 n ≥ 2 时, S n?1 ? 1 , an , S n ? 1 成等差数列. (1) 求数列 {an } 的通项公式;

m 2 ? 3n ? (2)设 bn ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m . 20 S n ? S n?1

解. (1)当 n ≥ 2 时,2 an = S n?1 ? 1 ? S n ? 1 … … ① 所 以 2 a n ?1 = S n ? 1 ? S n?1 ? 1 … … ② ② - ① 化 简 得 an?1 ? 3an , n ? 2 , 又 a1 ? 2 ,求得 a 2 ? 6 用该公式表示, 所以数列 {an } 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列,求得 an ? 2 ? 3n?1 ……………7 分

1 1 1 2 ? 3n 1 1 ? , (2)求得 S n ? 3 ? 1,所以 bn ? ,所以 Tn ? ? n ?1 ? n ? n?1 2 3 ?1 2 S n ? S n?1 3 ? 1 3 ? 1
n

m 1 ? 恒成立,所以最小正整数 m 的值为 10………………………14 分. 20 2

21 . (本小题满分 14 分) 过点 O?0,0? 的圆 C 与直线 y ? 2 x ? 8 相 切于点 P?4,0? .
(1)求圆 C 的方程; (2)已知点 B 的坐标为 (0, 2) ,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和 圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的 最小值. (3)在圆 C 上是否存在两点 M , N 关于直线 y ? kx ? 1 对称,且以 MN 为 直径的圆经过原点?若存在,写出直线 MN 的方 程;若不存在,说明理由. 解 . (1)由已知得圆心经过点 P?4,0? ,且与 y ? 2 x ? 8 垂直的直线 y ? ? 它又在线段 OP 的中垂线 x ? 2 上,所以求得圆心 C ?2,1? ,半径为 5 , 所以圆 C 的方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5 ………………………4 分
2 2

1 x ? 2 上, 2

(2)求得点 B (0, 2) 关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点 G?? 4,?2? , 所以 PB ? PQ ? PG ? PQ ? GQ ? GC ? 5 ? 2 5 , 所以 PB ? PQ 的最小值是 2 5 。……………9 分 (3)假设存在两点 M , N 关于直线 y ? kx ? 1 对称,则 y ? kx ? 1 通过圆心 C ?2,1? , 求得 k ? 1 ,
2 2 所以设直线 MN 为 y ? ? x ? b ,代入圆的方程得 2x ? ?2b ? 2?x ? b ? 2b ? 0 ,

设 A?x1 ,? x1 ? b?, B?x2 ,? x2 ? b? ,又 OA ? OB ? 2x1 x2 ? b?x1 ? x2 ? ? b 2 ? b 2 ? 3b ? 0 , 解得 b ? 0或b ? 3 ,这时 ? ? 0 ,符合, 所以存在直线 MN 为 y ? ? x 或 y ? ? x ? 3 符合条件。………………………14 分

[来源:Z&xx&k.Com]


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