北京二中通州分校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016 学年北京二中通州分校高二(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知 a∥α,b?α,则直线 a 与直线 b 的位置关系是( ) A.平行 B.相交或异面 C.异面 D.平行或异面 2.已知直线 l 的方程为 y= x+1,则该直线 l 的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135° )

3.直线 l1 与 l2 方程分别为 y=x,2x﹣y﹣3=0.则两直线交点坐标为( A. (1,1) B. (2,2) C. (1,3) D. (3,3)

)

4.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.相交不垂直 D.不确定 5.若直线 a 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内与直线 a 垂直的直线( A.只有一条 B.无数条 C.是平面 α 内的所有直线 D.不存在 6.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则体积等于( )

)

)

A.4

B.

C.4

D.2

7.不同直线 m,n 和不同平面 α,β,给出下列命题: ① ,② ,③ ,

④ ) 其中假命题有:( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

8. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 并且保持 AP⊥BD1, ) 则动点 P 的轨迹为( A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 D.BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)俯视图侧(左)视图主(正)视图 9.点 M(2,1)到直线 的距离是__________. 10.过点 A(a,4)和 B(﹣2,a)的直线的倾斜角等于 45°,则 a 的值是__________. 11.圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a,a 的矩形,则圆柱的体积为__________. 12.直线 l 过点(0,﹣1) ,且与直线 3x﹣y+2=0 平行,则直线 l 方程为__________. 13.一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于__________;表面积等于__________.

14.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1﹣ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件__________时, 有 A1C⊥B1D1. (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形. )

三、计算题(15、16、17、18 每题 13 分,19、20 每题 14 分,共 80 分)解答应写出文字说 明,演算步骤或证明过程.

15. (13 分)如图,在正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中, (1)在正方体的 12 条棱中,与棱 AA1 是异面直线的有几条(只要写出结果) (2)证明:AC∥平面 A1BC1; (3)证明:AC⊥平面 BDD1B1.

16. (13 分)如图,已知正四棱锥 V﹣ABCD 中,AC 与 BD 交于点 M,VM 是棱锥的高,若 AC=2 ,VC= . (1)求正四棱锥 V﹣ABCD 的体积. (2)求正四棱锥 V﹣ABCD 的表面积.

17. (13 分)已知在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1 的中点.求证: (1)EF∥平面 ABCD; (2)平面 AMN∥平面 EFDB.

18. (13 分)已知△ ABC 三个顶点是 A(3,3) ,B(﹣3,1) ,C(2,0) . (1)求 AB 边中线 CD 所在直线方程; (2)求 AB 边的垂直平分线的方程; (3)求△ ABC 的面积.

19. M、 N 分别为 AB、 PC 的中点, ∠PDA=45°, (14 分) 如图, 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面, AB=2,AD=1. (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:平面 PMC⊥平面 PCD; (Ⅲ)求三棱锥 M﹣PCD 的体积.

20. (14 分)如图,已知 AF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角梯形, ∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 A﹣CDE 的体积; (Ⅲ)线段 EF 上是否存在一点 M,使得 BM⊥CE?若存在,确定 M 点的位置;若不存在, 请说明理由.

2015-2016 学年北京二中通州分校高二(上)期中数学试 卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知 a∥α,b?α,则直线 a 与直线 b 的位置关系是( ) A.平行 B.相交或异面 C.异面 D.平行或异面 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】由直线 a∥平面 α,直线 b 在平面 α 内,知 a∥b,或 a 与 b 异面. 【解答】解:∵直线 a∥平面 α,直线 b 在平面 α 内, ∴a∥b,或 a 与 b 异面, 故答案为:平行或异面, 【点评】本题考查平面的基本性质及其推论,解题时要认真审题,仔细解答. 2.已知直线 l 的方程为 y= x+1,则该直线 l 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.135° 【考点】直线的倾斜角. 【专题】转化思想;分析法;直线与圆. 【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出. 【解答】解:设此直线的倾斜角为 θ,θ∈[0°,180°) . ∵直线的斜截式方程是 y= x+1, ∴tanθ= , ∴θ=60°. 故选:C. 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题. 3.直线 l1 与 l2 方程分别为 y=x,2x﹣y﹣3=0.则两直线交点坐标为( A. (1,1) B. (2,2) C. (1,3) D. (3,3) )

【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】把两直线方程联立方程组,这个方程组的解就是两直线的交点坐标. 【解答】解:∵直线 l1 与 l2 方程分别为 y=x,2x﹣y﹣3=0, 解方程组 ,

得 x=3,y=3, ∴两直线交点坐标为(3,3) . 故选:D.

【点评】本题考查两直线的交点坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二元一次 方程组的性质的合理运用. 4.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.相交不垂直 D.不确定 )

【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 【专题】证明题. 【分析】根据直线与平面的判定定理可知,直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面, 再根据线面垂直的性质可知,该直线垂直与平面内任意直线,从而得到结论. 【解答】解:一条直线和三角形的两边同时垂直, 根据直线与平面的判定定理可知,该直线垂直与三角形所在平面. 直线与平面垂直,根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直. 故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直. 故选 A 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及线面垂直的性质,同时考查了空间想 象能力,属于基础题. 5.若直线 a 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内与直线 a 垂直的直线( A.只有一条 B.无数条 C.是平面 α 内的所有直线 D.不存在 )

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】若直线 a 与平面 α 不垂直,有三种情况:直线 a∥平面 α,直线 a?平面 α,直线 a 与 平面 α 相交但不垂直,分别研究这三种况下,在平面 α 内与直线 a 垂直的直线的条数,能够 得到结果. 【解答】解:若直线 a 与平面 α 不垂直, 当直线 a∥平面 α 时,在平面 α 内有无数条直线与直线 a 是异面垂直直线; 当直线 a?平面 α 时,在平面 α 内有无数条平行直线与直线 a 相交且垂直; 直线 a 与平面 α 相交但不垂直,在平面 α 内有无数条平行直线与直线 a 垂直. ∴若直线 a 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内与直线 a 垂直的直线有无数条. 故选 B. 【点评】本题考查在平面 α 内与直线 a 垂直的直线条数的求法,解题时要认真审题,仔细解 答,注意空间思维能力的培养. 6.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则体积等于( )

A.4

B.

C.4

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;函数思想;空间位置关系与距离. 【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱,可得棱柱的底面边长和高,计算出几何体的体 积. 【解答】解:由已知中底面是正三角形的三棱柱, 可得棱柱的底面边长为 2, 棱柱的高为 4, 故棱柱的底面面积为: = ,

故棱柱的体积为:= . 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. 7.不同直线 m,n 和不同平面 α,β,给出下列命题: ① ,② ,③ ,

④ ) 其中假命题有:( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】证明题;综合题. 【分析】不同直线 m,n 和不同平面 α,β,结合平行与垂直的位置关系,分析和举出反例判 定①②③④,即可得到结果. 【解答】解:① ② ,m 与平面 β 没有公共点,所以是正确的. ,直线 n 可能在 β 内,所以不正确.



,可能两条直线相交,所以不正确.



,m 与平面 β 可能平行,不正确.

故选 D. 【点评】本题考查空间直线与直线,直线与平面的位置关系,考查空间想象能力,逻辑思维 能力,是基础题. 8. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 并且保持 AP⊥BD1, ) 则动点 P 的轨迹为( A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 D.BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题. 【分析】如图,BD1⊥面 ACB1,又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,故点 P 的轨迹为面 ACB1 与面 BCC1B1 的交线段 CB1. 【解答】解:如图,连接 AC,AB1,B1C,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 有 BD1⊥面 ACB1,又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, ∴故点 P 的轨迹为面 ACB1 与面 BCC1B1 的交线段 CB1. 故选 A.

【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征,对依据图象进行正确分析判断线面 的位置关系的能力要求较高.其主要功能就是提高答题者对正方体特征的掌握与空间几何体 的立体感. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)俯视图侧(左)视图主(正)视图 9.点 M(2,1)到直线 的距离是 .

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案. 【解答】解:设点 M(2,1)到直线 l: x﹣y﹣2 由点到直线的距离公式得:d=

=0 的距离为 d, = .

故答案为:



【点评】本题考查点到直线的距离公式,属于基础题. 10.过点 A(a,4)和 B(﹣2,a)的直线的倾斜角等于 45°,则 a 的值是 1. 【考点】直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】利用斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系即可得出. 【解答】解:∵过点 A(a,4)和 B(﹣2,a)的直线的倾斜角等于 45°, ∴tan45°= 解得 a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系,属于基础题. =1,

11.圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a,a 的矩形,则圆柱的体积为





【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】有两种形式的圆柱的展开图,分别求出底面半径和高,分别求出体积. 【解答】解:圆柱的侧面展开图是边长为 2a 与 a 的矩形, 当母线为 a 时,圆柱的底面半径是 当母线为 2a 时,圆柱的底面半径是 综上所求圆柱的体积是: 故答案为: 或 ; 或 . ,此时圆柱体积是 π×( )2×a= ; ,

,此时圆柱的体积是 π×(

)2×2a=

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图,圆柱的体积,容易疏忽一种情况,导致错误. 12.直线 l 过点(0,﹣1) ,且与直线 3x﹣y+2=0 平行,则直线 l 方程为 3x﹣y﹣1=0. 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】方程思想;待定系数法;直线与圆. 【分析】设与直线 3x﹣y+2=0 平行的直线方程是 3x﹣y+m=0,把点(0,﹣1)代入解得 m 即 可得出. 【解答】解:设与直线 3x﹣y+2=0 平行的直线方程是 3x﹣y+m=0, 把点(0,﹣1)代入可得:0﹣(﹣1)+m=0,解得 m=﹣1. ∴要求的直线方程为:3x﹣y﹣1=0. 故答案为:3x﹣y﹣1=0. 【点评】本题考查了相互平行的直线的斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

13.一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于 ;表面积等于 4+



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;分割补形法;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体长方体的一个角,画出图形,结合图形求出它 的体积与表面积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是三棱锥,是长宽高分别为 2、1、2 的长方体的一个角, 如图所示, 则其体积为 V= × ×1×2×2= ; 表面积为 S=S△ ABD+S△ ABC+S△ ACD+S△ BCD = ×2×2+ ×2×1+ ×2×1+ ×2 =4+ . . ×

故答案为: ,4+

【点评】本题考查了利用三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题,是基础题目. 14.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1﹣ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 AC⊥BD 时, 有 A1C⊥B1D1. (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形. )

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】压轴题;开放型. 【分析】 根据题意, 由 A1C⊥B1D1, 结合直棱柱的性质, 分析底面四边形 ABCD 得到 BD⊥AC, 进而验证即可得答案. 【解答】解:∵四棱柱 A1B1C1D1﹣ABCD 是直棱柱, ∴B1D1⊥A1A,若 A1C⊥B1D1 则 B1D1⊥平面 A1AC1C ∴B1D1⊥AC, 又由 B1D1∥BD, 则有 BD⊥AC, 反之,由 BD⊥AC 亦可得到 A1C⊥B1D1 故答案为:BD⊥AC. 【点评】本题主要通过开放的形式来考查线线,线面,面面垂直关系的转化与应用. 三、计算题(15、16、17、18 每题 13 分,19、20 每题 14 分,共 80 分)解答应写出文字说 明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)如图,在正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中, (1)在正方体的 12 条棱中,与棱 AA1 是异面直线的有几条(只要写出结果) (2)证明:AC∥平面 A1BC1; (3)证明:AC⊥平面 BDD1B1.

【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)画出正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,根据异面直线的概念即可找出与棱 AA1 异面的 棱. (2)连接 AC,A1C1,则 A1C1∥AC,利用线面平行的判定定理即可证明; (3)由 DD1⊥面 AC,知 DD1⊥AC,由 DD1⊥BD,能够证明 AC⊥平面 BDD1B1. 【解答】解: (1)与棱 AA1 异面的棱为:CD,C1D1,BC,B1C1,共 4 条.

(2)证明:连接 AC,A1C1,则 A1C1∥AC, ∵AC?平面 A1BC1,A1C1?平面 A1BC1, ∴AC∥平面 A1BC1; (3)证明:∵DD1⊥面 AC,AC?平面 AC,∴DD1⊥AC, ∵AC⊥BD,DD1∩BD=D,BD?平面 BDD1B1,DD1?平面 BDD1B1 ∴AC⊥平面 BDD1B1.

【点评】考查异面直线的概念,直线与平面垂直的证明,直线与平面平行的判定,解题时要 认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,属于中档题. 16. (13 分)如图,已知正四棱锥 V﹣ABCD 中,AC 与 BD 交于点 M,VM 是棱锥的高,若 AC=2 ,VC= . (1)求正四棱锥 V﹣ABCD 的体积. (2)求正四棱锥 V﹣ABCD 的表面积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】综合题;方程思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积. (2)求出斜高,即可求正四棱锥 V﹣ABCD 的表面积. ∵正四棱锥 V﹣ABCD 中, 【解答】 解: (1) 底面 ABCD 是正方形, 且对角线 AC=2 VM 是棱锥的高 ∴AB=2,VM=1 ∴正四棱锥 V﹣ABCD 的体积为 V= ×SABCD×VM= ×2×2×1= ; (2)斜高= = , =4+4 .

VC= ,



∴正四棱锥 V﹣ABCD 的表面积 2×2+

【点评】本题考查求正四棱锥 V﹣ABCD 的表面积、体积.关键是求底面积和高,属于中档 题.

17. (13 分)已知在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1 的中点.求证: (1)EF∥平面 ABCD; (2)平面 AMN∥平面 EFDB.

【考点】平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;数形结合;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)由已知得 EF∥B1D1,BD∥B1D1,从而 EF∥BD,由此能证明 EF∥平面 ABCD. (2)由已知得 EF∥MN,MF AD,从而四边形 ADFM 是平行四边形,进而 AM∥DF,由

此能证明平面 AMN∥平面 EFDB. 【解答】证明: (1)∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、 C1D1、D1A1 的中点, ∴EF∥B1D1, ∵BD∥B1D1, ∴EF∥BD, ∵EF?平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. (2)∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的 中点, ∴EF∥B1D1,MN∥B1D1,MF ∴EF∥MN,MF AD, A1D1,A1D1 AD,

∴四边形 ADFM 是平行四边形,∴AM∥DF, ∵AM∩MN=M,DF∩EF=F, ∴平面 AMN∥平面 EFDB.

【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

18. (13 分)已知△ ABC 三个顶点是 A(3,3) ,B(﹣3,1) ,C(2,0) . (1)求 AB 边中线 CD 所在直线方程; (2)求 AB 边的垂直平分线的方程; (3)求△ ABC 的面积. 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;三角形的面积公式. 【专题】计算题;方程思想;数形结合法;直线与圆. 【分析】 (1)线段 AB 的中点 D(0,2) .利用截距式即可得出. (2)设 P(x,y)为 AB 边的垂直平分线上的任意一点,则|PA|=|PB|, = ,化简即可得出.

(3)利用点斜式可得直线 AC 的方程为:3x﹣y﹣9=0,点 B 到直线 AC 的距离 d.利用两点 之间的距离公式可得|AC|.即可得出△ ABC 的面积 S= 【解答】解: (1)线段 AB 的中点 D ∴直线 CD 的方程为: =1,即 x+y﹣2=0. d. ,即 D(0,2) .

∴AB 边中线 CD 所在直线方程为 x+y﹣2=0. (2)设 P(x,y)为 AB 边的垂直平分线上的任意一点,则|PA|=|PB|, = (3)直线 AC 的方程为:y﹣0= ,化为:3x+y﹣2=0. (x﹣3) ,化为 3x﹣y﹣9=0,

点 B 到直线 AC 的距离 d=

=



|AC|= ∴△ABC 的面积 S=

= d=

. .

【点评】本题考查了点斜式方程、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式、点 到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. M、 N 分别为 AB、 PC 的中点, ∠PDA=45°, (14 分) 如图, 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面, AB=2,AD=1. (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:平面 PMC⊥平面 PCD; (Ⅲ)求三棱锥 M﹣PCD 的体积.

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. EN, 【分析】 (1) 取 PD 的中点 E, 连结 AE、 证明四边形 AMNE 是平行四边形, 可得 MN∥AE, 利用线面平行的判定,即可得出结论; (2)证明 CD⊥平面 PAD,可得 CD⊥AE,利用∠PDA=45°,E 为 PD 中点,证明 AE⊥PD, 从而 AE⊥平面 PCD,利用 MN∥AE,可得 MN⊥平面 PCD,从而平面 PMC⊥平面 PCD; (3)VM﹣PCD=VP﹣MCD= S△ MCD?PA. 【解答】 (1)证明:如图,取 PD 的中点 E,连结 AE、EN 则有 EN∥CD∥AM,且 EN= CD= AB=MA. ∴四边形 AMNE 是平行四边形. ∴MN∥AE. ∵AE?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD; (2)证明:∵PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,CD,AD?矩形 ABCD 所在的平面, ∴PA⊥CD,PA⊥AD, ∵CD⊥AD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, 又∵AE?平面 PAD, ∴CD⊥AE, ∵∠PDA=45°,E 为 PD 中点 ∴AE⊥PD, 又∵PD∩CD=D, ∴AE⊥平面 PCD, ∵MN∥AE, ∴MN⊥平面 PCD, 又∵MN?平面 PMC, ∴平面 PMC⊥平面 PCD; (3)解:VM﹣PCD=VP﹣MCD= S△ MCD?PA= = .

【点评】本题考查线面平行,面面垂直,考查三棱锥 M﹣PCD 的体积,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 20. (14 分)如图,已知 AF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角梯形, ∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 A﹣CDE 的体积; (Ⅲ)线段 EF 上是否存在一点 M,使得 BM⊥CE?若存在,确定 M 点的位置;若不存在, 请说明理由.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (I)如图所示,取 AB 的中点 N,连接 CN,可得四边形 ADCN 是正方形,可得 NA=NB=NC,可得 AC⊥CB,利用 AF⊥平面 ABCD,AF∥BE,可得 BE⊥平面 ABCD,即可 证明. (II)利用 V 三棱锥 A﹣CDE=V 三棱锥 E﹣ACD= 即可得出.

(III)线段 EF 上存在一点 M 为线段 EF 的中点,使得 BM⊥CE.连接 MN,BM,EN,则四 边形 BEMN 为正方形,可得 BM⊥EN,利用线面面面垂直的判定与性质定理可得: CN⊥平面 ABEF,可得 CN⊥BM,又 BM⊥CE.即可证明 BM⊥平面 CEN. 【解答】 (I)证明:如图所示,取 AB 的中点 N,连接 CN, 则四边形 ADCN 是正方形,可得 NA=NB=NC, ∴AC⊥CB, ∵AF⊥平面 ABCD,AF∥BE, ∴BE⊥平面 ABCD, ∴BE⊥AC, 又 BE∩BC=B, ∴AC⊥平面 BCE.

(II)解:V 三棱锥 A﹣CDE=V 三棱锥 E﹣ACD=

=

= .

(III)解:线段 EF 上存在一点 M 为线段 EF 的中点,使得 BM⊥CE. 连接 MN,BM,EN,则四边形 BEMN 为正方形, ∴BM⊥EN, ∵CN⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, ∴CN⊥平面 ABEF, ∴CN⊥BM, 又 CN∩EN=N, ∴BM⊥平面 CEN, ∴BM⊥CE.

【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形的判定与性质定理、三棱锥的 体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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