甘肃省兰州一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


甘肃兰州一中 2013—2014 学年度下学期期末考试

高一数学试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 100 分,考试 时间 100 分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。21 教育网

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中只有一个 选项 .... 符合题意) 1.若 ? 为第三象限,则 A.3 2. sin 7 A. ? 3. 已知

cos? 1 ? sin 2 ?

?

2 sin ? 1 ? cos2 ?
C.1

的值为 D.-1





B.-3

cos37 ? sin83 cos53 的值为
1 2
B.





1 2

C.

3 2

D.-

3 2
( )

a ? 6, b ? 3, a ? b ? ?12, 则向量 a 在 b 方向上的投影为
?
3
B. 4 C. ? 2 D. 2

A. ? 4 4. y ? 2 sin( A. [k?

? 2 x) 单调增区间为

( B. [k? ?



?

?
12
?
3

, k? ?

5 ? ] , (k ? Z ) 12
] , (k ? Z )

5 11 ? , k? ? ? ] , (k ? Z ) 12 12

C. [ k? ?

, k? ?

?
6

D. [k?

?

?

2 , k? ? ? ] , (k ? Z ) 6 3
( )

5.在△ABC 中,已知 | AB |? 4, | AC |? 1, S ?ABC ? A.-2 B.2 C.± 4

3, 则AB ? AC 的值为
D .± 2

6. 由函数 f ( x) ? sin 2 x的图象得到 g ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

)的图象 , 需要将 f ( x) 的图象(



? 个单位 3 ? C.向右平移 个单位 3
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

7.函数 f ( x) ? x ? tan(
2

?
6

? ? ) ? x ? 1在 [

3 , ??) 上单调递增,则 ? 的取值范围是( 2
B. (k?



A. [k?

?

?

2 , k? ? ? ) , (k ? Z ) 6 3

2 ? ? ? , k? ? ] , (k ? Z ) 3 6 ? ] , (k ? Z ) 6
( )

C. ( ?

2 ? , ??) , (k ? Z ) 3

D. ( ??, k?

?

8.已知 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) 为奇函数,则 ? 的一个取值为 A.0 B.π C.

? 2

D.

? 4
( )

9.已知 sin(

7? 2? 4 3 ) 的值是 ,则 sin(? ? ? ? ) ? sin ? ? 6 3 5

A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

10.已知函数 f ( x) ? sin

2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ,( ? ? 0 )的最小正周期为 π , 2
?
( )

? ?

π?

则 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的值域为 3 A. [0, ]

? 2π ? ? ?

3 2

B. [ ? , ]

1 3 2 2

1] C. [ ? ,

1 2

D. [ ? , ]

3 1 2 2

11. 设向量 e1 、 e2 满足: e1 ? 2, e2 ? 1 , e2 ? 1 , e1 , e2 的夹角是 60 , 若 2te1 ? 7e2 与 e1 ? te2 的夹角为钝角,则 t 的范围是 ( )

1 A. ( ?7, ? ) 2
C. [?7, ? 14 ) (? 14 , ? 1 ]
2 2 2

B. (?7, ? 14 ) (? 14 , ? 1 )
2 2 2

1 D. (??, ?7) (? , ??) 2

12.给出下列命题 ① ?ABC 中, sin A ?

5 3 16 , cos B ? ,则 cos C ? ? ; 13 5 65 3 ; 5

② 角 ? 终边上一点 P(?3a,4a) ,且 a ? 0 ,那么 cos ? ? ? ③ 若函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) 对于任意的 x 都有 f (

?

? x) ? ? f ( ? x) , 6 6

?

则 f( )?0;

?

6

④ 已知 f ( x) ? sin(?x ? 2) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,则 ? ? 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个

?
2



第Ⅱ 卷(非选择题) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知向量 a, b 的夹角为

r r r r r r ? , | a |? 2,| b |? 1, 则 | a ? b | ? | a ? b |? 3




7π 14. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如下图所示,则 f( )= 12

15.在边长为 1 的正 ?ABC 中,设 BC ? 2BD, CA ? 3CE ,则 AD ? BE = ___________; 16.已知 sin x ? sin y

2 2 ? ? ,cos x ? cos y ? ,且 x, y 为锐角,则 tan( x ? y) ? ______. 3 3

三.解答题(本大题共 4 大题,共 36 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 8 分) 已知 ? ? ? 0,

33 5 ? ?? ?? ? ? , ? ? ? , ? ? 且 sin(? ? ? ) ? 65 , cos ? ? ? 13 ,求 sin ? . ? 2? ?2 ?

18. (本小题 8 分) 已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴ 若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵ 若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2

19.(本小题 8 分)

如图所示,在△ ABO 中, OC ? 点 M,

uuu r 1 uur uuu r 1 uu u r OA, OD ? OB , AD 4 2

与 BC 相交于

设 OA = a , OB = b .试用 a 和 b 表示向量 OM .

uur r

uu u r r

r

r

uuur

20.(本小题 12 分) 已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)

题号 答案

1
B

2
A

3
A

4
B

5
D

6
B

7
A

8
D

9
C

10
A

11
B

12
B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13. 21 ;

14. 0 ;

15. ?

1 ; 4

16. ?

2 14 5

三.解答题(本大题共 4 大题,共 36 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 8 分) 已知 ? ? ? 0, 解
?

33 5 ? ?? ?? ? ? , ? ? ? , ? ? 且 sin(? ? ? ) ? 65 , cos ? ? ? 13 ,求 sin ? . ? 2? ?2 ?
?
5 12 ,∴ sin ? = . ..............................2 分 13 13

? ∵? ∈? ? , ? ? ,cos ? =?2

又∵ 0< ? <

? ? ? 3? , < ? < ? ,∴ < ? + ? < , 2 2 2 2
33 , 65

又 sin( ? + ? )=
? 2

∴ < ? + ? < ? ,cos( ? + ? )=- 1 ? sin 2 (? ? ? )
? =- 1 ? ?
56 33 ? , ? =65 ? 65 ?
2

...............................4 分

∴ sin ? =sin[( ? + ? )- ? ] =sin( ? + ? )cos ? -cos( ? + ? )sin ? =
33 ? 5 ? ? 56 ? 12 3 · ? ? ? - ?? ? · = . 65 ? 13 ? ? 65 ? 13 5

...............................8 分 21 世纪教育网版权所有

18. (本小题 8 分)

已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴ 若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵ 若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2

解:⑴ 设 c ? ( x, y),

r

u r Q| c | ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 20

r r r Q c / / a, a ? (1, 2),? 2 x ? y ? 0,? y ? 2 x
由?

? y ? 2x ? x ? y ? 20
2 2

∴?

?x ? 2 ? x ? ?2 或 ? ?y ? 4 ? y ? ?4
...............................4 分

∴c ? (2,4),或c ? (?2,?4)

⑵Q (a ? 2b) ? (2a ? b),? (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

r

r

r

r

r

r

r

r

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0 ……(※ )

2

2

r r 5 5 Q| a |2 ? 5,| b |2 ? ( ) 2 ? , 代入(※)中, 2 4

r r r r 5 5 ?2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? ? 0? a ? b ? ? 4 2

r r r r 5 a ?b Q| a |? 5,| b |? ,? cos? ? r r ? 2 | a |?| b |
Q? ?[0,? ]?? ? ?

?

5 2

5 5? 2

? ?1,

...............................8 分

19.(本小题 8 分)

r 1 uuu r uur uuu OA , OD ? OB ,AD 与 BC 相交于点 M, 2 uur r uu u r r r r uuur 设 OA = a , OB = b .试用 a 和 b 表示向量 OM .
如图所示,在△ ABO 中, OC =

uuu r

1 4

解 设 OM =ma+nb,

则 AM = OM - OA =ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD = OD - OA =

1 1 OB - OA =-a+ b. 2 2

又∵ A、M、D 三点共线,∴AM 与 AD 共线. ∴ 存在实数 t,使得 AM =t AD , (m-1)a+nb=t(-a+ b).
1 2 1 2

...............................2 分

∴ (m-1)a+nb=-ta+ tb.

? m ? 1 ? ?t ? ,消去 t 得:m-1=-2n. ∴ ?n ? t ? 2 ?

即 m+2n=1. ...............................4 分 又∵CM = OM - OC =ma+nb- a=(m- )a+nb.
CB = OB - OC =b-


1 4 1 4

1 1 a=- a+b. 4 4

又∵ C、M、B 三点共线,∴CM 与 CB 共线. ∴ 存在实数 t1,使得 CM =t1 CB , ∴ (m- )a+nb=t1(- a+b) ∴?
1 1 ? ? m ? ? ? t1 4 4 , ? n ? t1 ?

1 4

1 4

消去 t1 得,4m+n=1 ...............................6 分 由① ② 得 m= ,n= ,
1 7 3 7



uuur 1 3 ? OM = a+ b.
7 7

...............................8 分

注:本题解法较多,只要正确合理均可酌情给分. 20.(本小题 12 分) 已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
解:(1)∵| a ? b |?
2 2

2
2

∴| a ? b |

2

? 2 即 a ? b ? a ? 2ab ? b ? 2 ,
2

?

?

2

2

2

又∵a ?| a | ? cos ∴2 ? 2ab ? 2 ∴ab

? ? sin 2 ? ? 1, b ?| b | 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1
...............................4 分

? 0 ∴a ? b .

(2)∵a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ∴?

? sin ? ) ? (0,1)

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
∴sin ? ?

两边分别平方再相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ∵0 ? ? ? ? ? ? ∴? ?

1 2

∴sin ? ?

1 2

5 1 ? , ? ? ? . ...............................12 分 6 6


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