黑龙江省大庆市2015届高三第二次教学质量检测(二模)数学(文)_图文

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大庆市高三年级第二次教学质量检测文科数学参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 C 9 B 10 D 11 C 16. 2014 12 A 答案 D B A A C B B 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 i ? 2 2

14. ?

3 2

15. 3 ? 2 2

三.解答题(本题共 6 大题,共 70 分) 17(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ ) 由等差数列 {an } 满足 S7 ? 77 知, 7 a4 ? 77 ,所以 a1 ? 3d ? 11 . ①
2 因为 a1 , a3 , a11 成等比数列,所以 a3 ? a1a11 ,整理得 2d 2 ? 3a1d ,











{an }

公 ①





为 ②

0





以 解

2d ? 3a1

. 得 以

② ……………………2 分 联 立 a1 ? 2, d ? 3 . 所

……………………4 分 ……………………6 分

an ? 3n ? 1 .
(Ⅱ )因为 bn ? 2 ,所以
an

bn ? 23n ?1 ?

1 n ?8 , 2

……………………8 分

所以数列 {bn } 是以 4 为首项, 8 为公比的等比数 列,
……………………10 分

由等比数列前 n 项和公式得,

Tn ?

4(1 ? 8n ) 23n ? 2 ? 4 ? . 1? 8 7

……………………12 分

18.(本小题满分 12 分) 解: ( I ) 因 为 a 2 ? b 2 ? 6ab cos C , 由 余 弦 定 理 知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C , 所 以

cos C ?
2

c2 ,…1 分 4ab
又 因 为

sin 2 C ? 2 sin A sin B
……………………2 分















得 以

c ? 2ab ,


c o C? s
分 因

c 2ab 1 ? ? , 4ab 4ab 2
)

2

……………………4 为 ……………………5 以

C ?( 0 ? , ,
分 所

-5-

C?
分 (

?
3

.

……………………6



) ……………

f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 2sin(? x ? ) , 3
………8 分 由 已 知

?

T?

2?

? ? 2,
则 f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

??





?
3

……………………9 分

) ,

因为 sin 2 C ? 2sin A sin B , C ?
所以 2sin A ? sin( 因 为

?
3



2? 3 ? 1 ? A) ? ,整理得 sin(2 A ? ) ? . 3 4 6 4 2? ? ? 7? , 所 以 0? A? ? ? 2A ? ? 3 6 6 6







? 15 .……………………10 分 cos(2 A ? ) ? ? 6 4
? 3 ? 1 ? ? ? ? cos(2 A ? ) ? ] f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 2sin(2 A ? ? ) ? 2[sin(2 A ? ) ? 6 2 6 2 3 6 6
① f ( A) ? 2( ?

1 3 15 1 3 ? 15 , ? ? )? 4 2 4 2 4
1 3 15 1 3 ? 15 , ? ? )? 4 2 4 2 4
的 取 值 范 围 是

② f ( A) ? 2( ? 故

f ( A)

{

3 ? 15 3 ? 15 , }. 4 4

……………………12 分

19(本小题满分 12 分) ( I )证明:因为四边形

ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,又因为 A1O ? 平面 ABCD ,所以 A1O ? BD . 因 为 AC ? A1O ? O , 所 以 BD ? 平 面 A1 AC , 所 以 ………………………2 分 BD ? A1C .
? 2 , AC ? 2 2 ,又 AO ? OC , A1O ? AC ,所以 A1C ? A1 A ? 2 ,
2 2 2

由已知 AA1 因

所以 A1 A ? A1C ? AC ,所以 A1C 为

? A1 A , B1 B∥A1 A







-6-

A1C ? B1 B , 因为 BD ? B1 B ? B ,
所 以

………………………4 分

A1C ?

平 ………………………6 分



BB1 D1 D .
(Ⅱ)连接 A1C1 ,因为 AA1∥CC1 且 AA1 所

? CC1 ,所以四边形 ACC1 A1 是平行四边形,
以 ………………………8

A1C1∥AC ,
分 所 以
ACD


ACD





A ? C1CD







VA? C1 C D ? V C 1?

1 ……………10 分 S ? A C? DA 1 O 3 1 1 1 2 ? ? ? AC ? BD ? A1O ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? . 3 4 12 3 ? V 1A ? ?

………………

………12 分

20(本小题满分 12 分)

?c 1 ?a ? 2 ? ?1 (I)由已知得 ? ? 2a ? b ? 3 ,解得 a ? 2, b ? 3 , ?2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

………………………………………4 分

(II)由(I)可知, A1 (?2, 0), A2 (2, 0), 设 P ( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 ,于是直线 A1 P 的 方程为 y ?

(2 2 ? 2) y0 y0 ,所以 ( x ? 2) .令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2 y0 x0 ? 2
. …7 分

DE ? (2 2 ? 2)

又直线 A2 P 的方程为 y ? 即

(2 2 ? 2) y0 y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2

DF ? (2 2 ? 2)
…9 分

y0 x0 ? 2

.

……………………………………

-7-

2 2 y0 y0 4 y0 4 y0 所以 DE ? DF ? (2 2 ? 2) , ? (2 2 ? 2) ? 2 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0

又 P ( x0 , y0 ) 在

x2 y 2 2 2 ? ? 1 上,所以 3 x0 ? 4 y0 ? 12 ,即 4 3
…………………11 分
2 3(4 ? x0 ) ? 3 ,所以 DE ? DF 为定值 2 4 ? x0

2 2 , 4 y0 ? 12 ? 3 x0

代入上式,得 DE ? DF ?

3 . ……………………………12 分
21(本小题满分 12 分) 解 (Ⅰ) f '( x) ? ae ? (ax ? 2)e ? (ax ? a ? 2)e ,
x x x


……………………………

1分

由已知得 f '(1) ? 0 ,即 (2a ? 2)e ? 0 ,解得
x

a ? 1.


……………………………3 分

a ?1



,

f ( x)



x ?1













,





a ? 1.

……………………………4 分

(II) f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? e x ? ( x ? 2)e x ? ( x ? 1)e x , 令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 , 所 以 函 数 增,

f ( x) 在 (??,1) 上 单 调 递 减 , 在 (1, ?? ) 上 单 调 递

…………………………5 分

m ①当 m ? 1 时, f ( x) 在 [m, m ? 1] 上单调递增, f ( x) min ? f (m) ? (m ? 2)e ;

②当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? m ? 1 , f ( x) 在 [m,1] 上单调递减,在 [1, m ? 1] 上单调递增,

f ( x) min ? f (1) ? ?e ;
③当 m ? 0 时,m ? 1 ? 1 , f ( x) 在 [m, m ? 1] 上单调递减, f ( x) min ? f (m ? 1) ? ( m ? 1)e
综 上 ,
m ?1

.

f ( x)



[m, m ? 1]











f ( x) min

?(m ? 2)e m m ? 1 ? ? ? ?e 0 ? m ?1 ?(m ? 1)e m ?1 m ? 0 ?

…………………… 8 分

-8-

x (III)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? 2 ? e , f '( x) ? ( x ? 1)e .

x

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 f (0) ? ?2, f (1) ? ?e, f (2) ? 0 , 所 以 ,

x ? [0, 2]
……………………… 10 分





f ( x)m a x ? 0 , f (x ) ? ? .e min
所 以 , 对 任



x1 , x2 ? [0, 2]

,





| f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? | f (x ) e …………………12 分 ma x ? f (x ) mi n ? .
(22) (本小题满分 10 分) BAE= ACB . 解: (Ⅰ)因为 AE 与圆相切于点 A ,所以 行 ABC= ACB ,所以 行 ABC= BAE , 因为 AB=AC ,所以 行 所



A ∥ E

B . C
因 为

……………………… 3 分

BD∥ AC













ACBE











形.

………………………5 分
2

(Ⅱ)因为 AE 与圆相切于点 A ,所以 AE = EB ?( EB 即

BD) ,
解 得

62 = EB ?( EB

5)



BE = 4 ,

………………………7 分

根据(Ⅰ)有 AC = BE = 4, BC = AE = 6 , 设 CF ? x , 由 BD∥AC , 得

AC CF 4 x 8 ,即 = ,解得 x ? ,即 = BD BF 5 6- x 3

8 CF ? .…10 分 3
(23) (本小题满分 10 分) 解 : ( Ⅰ ) 曲 线

? ? x ? 2 cos? C :? ? ? y ? 3 sin?







x2 y 2 ? ? 1, 4 3
其 轨 迹 为

………………………2 分













F1 (?1, 0), F2 (1, 0) .

………………………3 分

-9-

经 过

A(0, 3) 和

F2 (1, 0)

的 直 线 方 程 为

x y ? ?1 , 即 1 3

3x ? y ? 3 ? 0 .

………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 AF2 的斜率为 ? 3 ,因为 l ? AF2 ,所以 l 的斜率为 角为 30? ,

3 ,倾斜 3





l













? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ? ?y ? 1 t ? ? 2
方 程



t





数) , 代 入

………………………7 分





C









13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0 .
因 为

………………………8 分

M,N





F1













MF1 ? NF1 ? t 1 ? t 2 ?

12 3 . ………………………10 分 13

(24) (本小题满分 10 分) ( Ⅰ ) 因 为

g ( x) ? ? x ? 3 ? m ? 0 , 所 以

x?3 ? m , 所 以

?m ? 3 ? x ? m ? 3 , ……………3 分
由 题 意 知

? ? m ? 3 ? ?5 ? ?m ? 3 ? ?1







m?2.

………………………5 分

(Ⅱ)因为 f ( x) 图象总在 g ( x) 图象上方,所以 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 即 立,

x?2 ? x?3 ? m
………………………7 分





因为 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 , 当且仅当 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 时等式成 立,…9 分 所 以

m













(??,5) .

………………………10 分

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