唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案

唐山市 2013—2014 学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CABAA B 卷:DBBAA 二、填空题: (13)0.0228 BBDCD BADCD (14) 1 3 (2 , ) 2 CD DC (15) 1 4 (16) 3 4

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d.由已知得 ?a1+2d+a1+9d=15, ? 2 ?(a1+4d) =(a1+d)(a1+10d). 注意到 d≠0,解得 a1=2,d=1. 所以 an=n+1. ?4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 1 1 1 1 1 1 bn= + +?+ ,bn+1= + +?+ , 2n n+1 n+2 n+2 n+3 2n+2 1 1 1 1 1 因为 bn+1-bn= + - = - >0, 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 所以数列{bn}单调递增. ?8 分 1 bn≥b1= . ?9 分 2 1 1 1 1 1 1 n 又 bn= + +?+ ≤ + +?+ = <1, 2n n+1 n+1 n+1 n+2 n+1 n+1 1 因此 ≤bn<1. ?12 分 2 (18)解: (Ⅰ)记事件“甲、乙二人共命中一次”为 A,则 1 P (A)=C2 0.8×0.2×0.5+0.22×0.5=0.18. ?4 分 (Ⅱ)X 的可能取值为 0,5,10,15,20. P (X=0)=0.22×0.5=0.02,P (X=5)=C1 20.8×0.2×0.5=0.16, P (X=10)=0.82×0.5+0.22×0.5=0.34,P (X=15)=C1 20.8×0.2×0.5=0.16, P (X=20)=0.82×0.5=0.32. X 的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 0.02 0.16 0.34 0.16 0.32 ?10 分 X 的期望为 E (X)=0×0.02+5×0.16+10×0.34+15×0.16+20×0.32=13. ?12 分

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(19)解: (Ⅰ)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 又 BD⊥PC,所以 BD⊥平面 PAC, 因为 BD?平面 EBD,所以平面 PAC⊥平面 EBD.
P E A x B O C z

?4 分

D y

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,BD⊥AC,所以 ABCD 是菱形,BC=AB=2. 设 AC∩BD=O,建立如图所示的坐标系 O-xyz,设 OB=b,OC=c, 则 P (0,-c,2),B (b,0,0),E (0,-c,1),C (0,c,0).

?5 分

→ PB =(b,c,-2),→ OB =(b,0,0),→ OE =(0,-c,1).
设 n=(x,y,z)是面 EBD 的一个法向量,则 n·→ OB =n·→ OE =0, ?bx=0, 即? 取 n=(0,1,c). ?8 分 ?-cy+z=0, 依题意,BC= b2+c2=2. ① 记直线 PB 与平面 EBD 所成的角为 θ,由已知条件 |n·→ PB | __________ c 1 sin θ= = 2 2 2 2 =4. |n|·|→ PB | (1+c )(b +c +2 ) 解得 b= 3,c=1. 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 1 1 4 3 V= ×2OB·OC·PA= ×2 3×1×2= . 3 3 3 (20)解: p (Ⅰ)由已知得 M - ,0 ,C (2,0). 2 ② ?10 分 ?12 分

(

)

2 2 设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|= . 3 1 于是|CR|= |AC|2-|AR|2= , 3 |AC| |AC| p 所以|CM|= = =3,即 2+ =3,p=2. 2 sin ∠AMC sin ∠CAR 故抛物线 E 的方程为 y2=4x.

?5 分

高三理科数学答案第 2 页(共 4 页)

y

y N

A

P
M O R C B x

Q C x

O

(Ⅱ)设 N (s,t). P,Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点. 2 2 s+2 2 t 2 (s-2) +t 圆 D 方程为 x- + y- = , 2 2 4 2 2 即 x +y -(s+2)x-ty+2s=0. ① 又圆 C 方程为 x2+y2-4x+3=0. ② ②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0. ③ ?9 分 P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程. 3 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0,s= . 2 3 3 故点 N 坐标为 , 6 或 ,- 6 . ?12 分 2 2 (21)解: ln x (Ⅰ)当 x∈(0,+∞)时,f (x)<0 等价于 x- <a. x 2 x - 1 + ln x ln x 令 g (x)=x- ,则 g ?(x)= . x x2 当 x∈(0,1)时,g ?(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g ?(x)>0. g (x)有最小值 g (1)=1. ?4 分 故 a 的取值范围是(1,+∞). ?5 分 (Ⅱ)因 f (x)=x,即 x2-ln x=(a+1)x 有两个不同的实数解 u,v. 故 u2-ln u=(a+1)u,v2-ln v=(a+1)v. 于是(u+v)(u-v)-(ln u-ln v)=(a+1)(u-v). ?7 分 ln u-ln v 由 u-v<0 解得 a=u+v- -1. u-v 1 又 f ?(x)=2x- -a,所以 x u+v ln u-ln v ln u-ln v 2 2 f? =(u+v)- -(u+v)+ +1= - +1. ?9 分 2 u+v u-v u-v u+v 2(u-v) (u-v)2 设 h (u)=ln u-ln v- ,则当 u∈(0,v)时,h ?(u)= >0, u+v u(u+v)2 h (u)在(0,v)单调递增,h (u)<h (v)=0,

(

) (

)

(

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)

(

)

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ln u-ln v u+v 2 从而 - >0,因此 f ? >1. 2 u-v u+v (22)解: (Ⅰ)由切割线定理得 FG2=FA·FD. EF FD 又 EF=FG,所以 EF2=FA·FD,即 = . FA EF 因为∠EFA=∠DFE,所以△FED∽△EAF.

(

)

12 分

?6 分

C

O A G

E D

B

F

(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠FED=∠FAE. 因为∠FAE=∠DAB=∠DCB, 所以∠FED=∠BCD,所以 EF∥CB. ?10 分 (23)解: (Ⅰ)设 P (x,y),由题设可知, 2 1 则 x= |AB|cos(?-α)=-2cos α,y= |AB|sin(?-α)=sin α, 3 3 ?x=-2cos α, 所以曲线 C 的参数方程为? (α 为参数,90?<α<180?) . ?5 分 ?y=sin α (Ⅱ)由(Ⅰ)得 |PD|2=(-2cos α)2+(sin α+2)2=4cos2α+sin2α+4sin α+4 2 2 28 =-3sin2α+4sin α+8=-3 sin α- + . 3 3 2 2 21 当 sin α= 时,|PD|取最大值 . ?10 分 3 3 (24)解: (Ⅰ)当 a=-1 时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1. 当 x≤-3 时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 5 当-3<x<-1 时,不等式化为-(x+1)-(x+3)≤1,解得- ≤x<-1; 2 当 x≥-1 时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立. 5 综上,不等式的解集为 - ,+∞ . ?5 分 2 (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f (x)≤4 即|x-a|≤x+7, 由此得 a≥-7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[-7,7]. ?10 分

(

)

[

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