高中数学必修1全程复习资料[1] 2


数学必修 1 函数概念及性质(知识点总结)
(一)函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函 数的值域. 2 注意:○如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这 3 个式子有意义的实数的集合;○ 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必 须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指 数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对 应关系决定的, 所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等 (或 为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变 量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本 21 页相关例 2)

值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是 求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方 法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只 有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐 标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

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发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定 的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系 一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集 合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是 同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6. 常用的函数表示法及各自的优点: 1 ○ 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图 2 3 形是否是函数图象的依据;○ 解析法:必须注明函数的定义域;○ 图象法:描点法作图要 4 注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○ 列表法:选取的自变 量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变 量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同 的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函
数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值 域是各段值域的并集.

补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如:

y=2sinX

y=2cos(X2+1)

7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单 调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 1 注意:○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . (2) 图象的特点
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如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 2 3 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 作差 f(x1)-f(x2);○ 变形(通常是因式分解和配方) 4 ;○ 定号 (即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ 下结论 ;5 (指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 1 注意:○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一 个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 1 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域 是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(- ○ ○ 若 x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意啊: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否 关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难, 可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析 式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意 元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解 方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页)
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1 2 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○ 利用图象求函数的最大(小) 3 值○ 利用函数单调性的判断函数的最大 (小) 值: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b] 上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

11.解答数学应用题的关键有两点: 一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象、概 括,将实际问题归纳为相应的数学问题; 二是要合理选取参变数,设定变元后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表 示问题中的关系,建立相应的函数、方程、不等式等数学模型;最终求解数学模型使实际问 题获解. 函数的性质与函数图象的特点 函数性质 函数的图象 定义 图像特点 一般为一条连续曲线,也可能是由 若干条曲线或离散点组成. 图像左右存在的范围 图像上下存在的范围 图像关于原点对称 图像关于 y 轴对称 在区间[a,b]内, 图像从左到右上升

C ? ?P(x, y) | y ? f(x), x ? M?
自变量 x 的取值范围 函数值 y 的取值范围 对任意的 x ? M 都有 f(-x)=-f(x) 对任意的 x ? M 都有 f(-x)=f(x) 对任意的 x 1、x 2 ? ?a, b? ? M 当 x 1 < x 2 时,都有 f( x 1 )<f( x 2 )

定义域 M 值域 N 奇 偶 性 奇函数 偶函数 增函数 (递增区间)

单 调 性

减函数 (递减区间)

对任意的 x 1、x 2 ? ?a, b? ? M , 当 x 1 < x 2 时,都有 f( x 1 )>f( x 2 )

在区间[a,b]内, 图像从左到右下降

周期性 零点 正值区间 负值区间 在 y 轴上的截距 过定点

对任意的 x ? M ,如果有非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x) f(x)=0 时 x 的值 f(x)>0 时 x 的取值范围 f(x)<0 时 x 的取值范围 f(0)的值 与参数无关的( x 0 , y 0 )

自变量增加 T 时,图像重复出现 图像与 x 轴的交点的横坐标 图像位于 x 轴上方时,x 所在的区 间 图像位于 x 轴下方时,x 所在的区 间 图像与 y 轴的交点的纵坐标 图像上与参数无关的点

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