北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学试题

北师特学校 2012—2013 年度第一学期第四次月考 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1、已知集合 M ? { y | y ? x 2 } , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N =( A、 {(1, 1), (?1, 1)} 【答案】D
2 【 解 析 】 M ? {y | y ? x } ? {y y ? 0} , N ? { y | x ? y ? 2} ? { y ? 2 ? y ?
2 2



B、 {1}

C、 [0, 1]

D、 [0,

2]

2} , 所 以

M ? N ? { y 0 ? y ? 2} ,选 D.
2、已知复数

1? z ? i ,则 z 的虚部为( 1? z
B、 ? 1 C、 i

) D、 ? i

A、1 【答案】A

1? z ?i 【解析】由 1 ? z 得,设,则,所以,解得,所以虚部为 1,选 A.
3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为1 ,等腰三 角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是 A. ( ) D.

4? 3

B. 2?

C.

8? 3

10? 3

【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一个圆锥,下部分是个半球,球半径为 1,圆锥的高 为h ?

1 2 2 ( 5) 2 ? 1 ? 4 ? 2 ,所以圆锥的体积为 ? ? ? 2 ? ? ,半球的体积为 ? ,所以几何 3 3 3

2? 2? 4? ? ? ,选 A. 3 3 3 4、方程 x2 ? xy ? x 的曲线是
体的总体积为 A.一个点 【答案】C B.一条直线 C.两条直线





D.一个点和一条直线

【解析】由 x2 ? xy ? x 得 x( x ? y ? 1) ? 0 ,即 x ? 0或x ? y ? 1 ? 0 ,为两条直线,选 C. 5、已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 2an 2 ? an?12 ? an?12 (n ? 2) ,则 a6 等于 (A)16 【答案】D 【解析】由 2an 2 ? an?12 ? an?1 2 (n ? 2) 可知数列 (B)8 (C) 2 2 (D)4

{an 2 } 是等差数列,且以 a12 ? 1 为首项,公差

d ? a22 ? a12 ? 4 ?1 ? 3 , 所 以 数 列 的 通 项 公 式 为 an2 ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 , 所 以 a62 ? 3? 6 ? 2=16 ,即 a6 ? 4 。选 D.
6、 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , 过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两 a 2 b2

点, O 为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为 (A) 【答案】D 【解析】由题意知三角形 OMN 为等腰直角三角形,所以 MF ? OF ? c ,所以点 M (c, c) ,代

?1 ? 3 2

(B)

1? 3 2

(C)

?1 ? 5 2

(D)

1? 5 2

c2 c2 c2 y 2 b2 b2 ? c ,的 入双曲线方程 2 ? 2 ? 1 ,当 x ? c 时, 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? ,所以由 y ? a b a b a a
b2 ? ac ,即 c2 ? a2 ? ac, c2 ? ac ? a2 ? 0 ,所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得离心率 e ?

1? 5 ,选 D. 2

7、△ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ?AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等 于 (A) 【答案】C 【 解 析 】 由 2OA ? AB ? AC ? 0 得 OA ? AB ? OA ? AC ? OB ? OC ? 0 , 所 以

?? ?? ?? ? ? ?? ? ?

??? ?

??? ?

?? ?? ? ? ? ?

3 2

(B) 3

(C) 3

(D) 2 3

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

?

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? O B ? O C ,即 O 时 BC 的中点,所以 BC 为外接圆的直径, BC ? 2 。则 ?BAC ? 90? , ? ? C O ??? ? ??? ? OA ? AB ,所以 ?ABO 为正三角形,所以 ?ABO ? 60? , ?ACB ? 30? ,且 AC ? 3 , 因为
CB 所以 CA? ? CA ?CB cos30 ? 2 ? 3 ?
?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

3 ? 3 ,选 C. 2
,则 f (x) 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ( x1 , y1 ) 、

? 1 ? 8、定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ?1 ?

( x ? 2) ( x ? 2)

( x2 , y 2 ) 、 ( x3 , y3 ) 且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法错误的是(
2 2 2 A、 x1 ? x2 ? x3 ? 14



B、 1 ? x2 ? x 3 ? 0

C、 x1 ? x3 ? 4

D、 x1 ? x3 ? 2x2

【答案】D 【解析】由

1 ?1 x?2
,得

x ? 2 ?1
,解得

x ?1


x?3
,当

x?2


y ? 1 。又 x1 ? x2 ? x3 ,

所以

x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3 ,所以 x1 ? x3 ? 4 ? 2 x2 ,所以 D 错误,选 D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

9 、 已 知 点 P(2, t ) 在 不 等 式 组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点 P(2, t ) 到 直 线 ?x ? y ? 3 ? 0

3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值为____________.
【答案】4 【解析】因为点 P(2, t ) 可行域内,所以做出可行域,由图象可知当当点 P 位于直线 x ? y ? 3 ? 0 时,即 P(2,1) ,此时点 P 到直线的距离最大为 d ?

3 ? 2 ? 4 ?1 ? 10 32 ? 42

?

20 ? 4。 5

10、在△ ABC 中,若 ?B ? 【答案】 7?

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4



12
a b 1 a 2a ? ? , 即 , 解得 sin A ? , 因为 b ? 2a ? a , sin A sin B 2 n A n ? s i s i 4
7? 。 12
; PB ? PC ?

【解析】 根据正弦定理可得

所以 A ? B ,所以 A ?

?
6

,所以 C ? ? ? A ? B ?

11、如图, BC 是半径为 2 的圆 O 的直径,点 P 在 BC 的延长线上, PA 是圆 O 的切线,点 A 在 直径 BC 上的射影是 OC 的中点,则 ?ABP =
A



B

O

C

P

【答案】 ? ,12

6

【解析】点 A 在直径 BC 上的射影 E 是 OC 的中点,可得 ?AOP ? 60 ,所以 ?ABP ? 30 ,在
? ?

Rt ?AOP 中, AP ? 2 3 ,所以由切割线定理可得 PB?PC ? AP2 ? (2 3)2 ? 12 。

?x ? 0 ? (k为常数)若 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k=_____ , 12、已知 x, y满足 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
【答案】 ?6 【解析】做出错误!不能通过编辑域代码创建对象。的图象。因为 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,所 以此时错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ,说明此时直线经过区域内截距做大的点,

,即直线错误!不能通过编辑域代码创建对象。也经过点错误!不能 通过编辑域代码创建对象。 。由错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ,解得错误!不能通过编辑 域代码创建对象。 ,即错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ,代入直线错误!不能通过编辑域代 码创建对象。得,错误!不能通过编辑域代码创建对象。 。 13、 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~ 9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1 , a2 ,则

a1 , a2 的大小关系是_____________(填 a1 ? a2 , a2 ? a1 , a1 ? a2 )

. 【答案】 a2 ? a1 【解析】去掉一个最高分和一个最低分后,甲乙都有 5 组数据,此时甲乙的平均数为

1? 4 ? 5? 3 6 ? 7 ? 4?3 ? 80 ? 84 , a2 ? ? 80 ? 85 ,所以 a2 ? a1 。 5 5 1 2 14、对任意 x ? R ,函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? [ f ( x)] ? ,设 an ? [ f (n)]2 ? f (n) , 2 31 数列 {an } 的前 15 项的和为 ? ,则 f (15) ? . 16 a1 ?

【答案】 3

4
f ( x ? 1) ? f ( x ) ? [ f ( x )]2 ?

【解析】因为

1 1 f ( x ? 1) ? ? 2 2 ,所以

f ( x ) ? [ f ( x )]2 ? 0
, ,即

f ( x ? 1) ?

1 2 。两边平方得 ,即 ,即 ,即 ,即数列 的任意两项之和为 ,所以 ,即 。所以 ,

解得 或 (舍去) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共 13 分)已知 sin( A ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 16、 (本小题共 13 分) 如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂 直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: BD1 // 平面A1 DE (Ⅱ) 求证: D1 E ? A1 D ( Ⅲ ) 在 线 段 AB 上 是 否 存 在 点 M , 使 二 面 角
A E B D1

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

5 sin A sin x 的值域. 2

A1 D C

D1 ? MC ? D 的大小为
存在,请说明理由。

? ?若存在,求出 AM 的长;若不 6

17、 (本小题共 13 分)数列{ an }中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 (1)求数列的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 Sn . 18、 (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3 ( a ? 0 ). (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)函数 y ? f (x) 的图像在 x ? 2 处的切线的斜率为 , 若函数 g ( x) ?

3 2

1 3 x ? x 2 [ f ' ( x ) ? m] , 3

在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围。

19、 本小题共 14 分) ( 已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 左焦点 F (? 3,0) , 且离心率 e ? 2 2 a b

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ( M , N 不是左、右顶点) , 且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

* 20、 (本小题共 14 分) 在单调递增数列 {an } 中,a1 ? 2 , 不等式 (n ? 1)an ? na2 n 对任意 n ? N 都

成立. (Ⅰ)求 a2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {an } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn ? (1 ? 1)(1 ? )? (1 ? 求证:对任意的 n ? N ,
*

1 2

1 1 ) , c n ? 6(1 ? n ) , n 2 2

bn ? cn ? 0. an ? 12

参考答案: 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1 D 2 A 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 D

二、填空题(每题 5 分,共 30 分)

9、 ___4_________; ___ 7? ____; _ ? ,12 __; ____ ?6 ___; _________ a2 ? a1 _____; 10、 11、 12、 13、

12

6

14、____ 3 ______;

4

三、解答题 15、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为

π π π 7 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? , 4 2 4 10 π π 3π π 2 ? A? ? , cos( A ? ) ? ? . 2 4 4 4 10

所以

因为 cos A ? cos[( A ?

π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

??
所以 cos A ?

2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
……………………6 分

3 . 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ?

4 . 5 5 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin A sin x 2
? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2 1 3 因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

……………………13 分

O 16、 (Ⅰ) 四边形ADD A1为正方形, 是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点,连接 OE 。 1
? EO为?ABD 的中位线 ? EO // BD1 ……2 分 1
又? BD1 ? 平面A1 DE, OE ? 平面A1 DE

? BD1 // 平面A1 DE
(II) 正方形 ADD1 A1 中, A1 D ? AD1

……4 分

由已知可得: AB ? 平面ADD1 A1 , A1 D ? 平面ADD A1 …….6 分 1

? AB ? A1D , AB ? AD1 ? A
? A1 D ? 平面A1DE,D1E ? 平面AD1E

…….7 分

? A1 D ? D1 E
…….8 分 (Ⅲ)由题意可得: D1 D ? 平面ABCD ,以点 D 为原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
A x E B A1 D1 z

o D C

D(0,0,0),C(0,2,0), A1 (1,0,1), D1 (0,0,1) ,

y

………9 分 设 M (1, y0 ,0)(0 ? y0 ? 2)

? MC ? (?1,2 ? y0 ,0), D1C ? (0,2,?1)
设平面 D1 MC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) 则?

……10 分

?n1 ? MC ? 0 ? ?n1 ? D1C ? 0 ?

得 ?

?? x ? y(2 ? y0 ) ? 0 ?2 y ? z ? 0

……11 分

取 y ? 1, 则n1 ? (2 ? y0 ,1,2) 是 平 面 D1 MC 的 一 个 法 向 量 , 而 平 面 MCD 的 一 个 法 向 量 为

n2 ? (0,0,1)
要使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 而 cos

……12 分

? 6

?
6

?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | 2 3 ? ? | n1 | ? | n2 | 2 (2 ? y0 ) 2 ? 12 ? 2 2

解得: y0 ? 2 ?

3 (0 ? y0 ? 2) 3

当 AM = 2 ?

? 3 时,二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 6 3

??? 13 分

17、解:(1) an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ∴ an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ∴ {an?1 ? an } 为常数列,∴{an}是以 a1 为首项的等差数列, 设 an ? a1 ? (n ?1)d , a4 ? a1 ? 3d ,∴ d ? (2)∵ an ? 10 ? 2n ,令 an ? 0 ,得 n ? 5 . 当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 . ∴当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ? a1 ? a2 ? ?? a5 ? (a6 ? a7 ? ?? an )

2?8 ? ?2 ,∴ an ? 10 ? 2n . 3

? T5 ? (Tn ? T5 ) ? 2T5 ? Tn , Tn ? a1 ? a2 ? ?? an .
当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ? a1 ? a2 ? ? ? an ? Tn . ∴ Sn ? ?

?9n ? n 2 , (n ? 5) ? 2 ?n ? 9n ? 40, (n ? 5). ?
a (1 ? 2 x) ( x ? 0) x
1 2 f‘ ( x ) ? 0即x ? 1 2
……2 分

' 18 解: (I) f ( x ) ?

当 a ? 0时, ( x) ? 0 即 0 ? x ? f'

1 1 ),单调递减区间为( , ? ?) ………4 分 2 2 1 1 ‘ ' 当 a ? 0时, f ( x ) ? 0即x ? , f ( x) ? 0 即 0 ? x ? 2 2 1 1 f(x)的单调递增区间为( , ? ?) ,单调递减区间为(0, ) ……6 分 2 2 3a 3 ' ? 得 a ? ?1 (II) f ( 2) ? ? ……8 分 2 2 1 1 g ( x) ? x 3 ? (? ? 2 ? m) x 2 ……9 分 f ( x) ? ? ln x ? 2 x +3 3 x

? f(x)的单调递增区间为(0,

? g ' ( x) ? x 2 ? (4 ? 2m) x ? 1

………10 分

? g ( x)在区间(, 1 3)上不是单调函数,且 ' (0) ? ?1 ……11 分 g
? ' ? g (1) ? 0 ?? ' ……12 分 ? g (3) ? 0 ?

?4 ? 2m ? 0 10 ? m ? ?2 即: ? ?? 3 ?20 ? 6m ? 0

……13 分

?c ? 3 ? c 3 ? 19 解: (Ⅰ)由题意可知: ?e ? ? a 2 ? 2 2 ?a ? b ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 1

……1 分

………2 分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程为: 4

……3 分

? x2 ? ? y2 ? 1 (II)证明:由方程组 ? 4 ? y ? kx ? m ?

得( ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 …4 分 1

? ? (8km) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 0
整理得 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 设 M ( x1 , x2 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ? ………..5 分

8km 4m 2 ? 4 , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…….6 分

由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0)

………7 分 ……… 8分

? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
即 (1 ? k ) x1 x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m ? 4 ? 0
2 2

也即 (1 ? k )) ?
2

4m 2 ? 4 ? 8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

…… 10 分

2 2 整理得: 5m ? 16mk ? 12k ? 0

……11 分 ……12 分

解得 m ? ?2k或m ? ? 当

6k 2 2 均满足 4k ? m ? 1 ? 0 5

m ? ?2k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13 分
6 6k 6 时,直线的 l 方程为 y ? k ( x ? ) ,过定点 ( ,0 ) 5 5 5

当m ? ?

故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( ,0 ) 20、 (共 14 分) (Ⅰ)解:因为 {an } 是单调递增数列, 所以 a 2 ? a1 , a 2 ? 2 . 令 n ? 1 , 2a1 ? a2 , a 2 ? 4 , 所以 a2 ? ?2, 4? . (Ⅱ)证明:数列 {an } 不能为等比数列. 用反证法证明: 假设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? 2 ? 0 , an ? 2q n?1 . 因为 {an } 单调递增,所以 q ? 1 . 因为 n ? N , (n ? 1)an ? na2 n 都成立.
*

6 5

…….14 分

………………4 分

所以 n ? N , 1 ?
*

1 ? qn n
*


n

因为 q ? 1 ,所以 ?n 0 ? N ,使得当 n ? n0 时, q ? 2 . 因为 1 ?

1 ? 2 (n?N* ) . n

n * 所以 ?n 0 ? N ,当 n ? n0 时, q ? 1 ?

1 ,与①矛盾,故假设不成立.………9 分 n 15 9 135 21 b ? c2 ? , 3 ? b ? c3 ? (Ⅲ) 证明: 观察: b1 ? c1 ? 3 , 2 ? , 猜想: n ? cn . …, b 4 2 32 4

用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 3 ? c1 ? 3 成立; (2)假设当 n ? k 时, bk ? ck 成立; 当 n ? k ? 1 时,

bk ?1 ? bk (1 ?

1 ) 2 2 2k 1 1 1 1 1 1 ? 6(1 ? k ?1 ? k ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ) 2 2 2 2 2 2
k ?1

1

)

? c k (1 ?

1

k ?1

)

? 6(1 ?

(1 ?

1 2 k ?1

)

所以 bk ?1 ? ck ?1 .

根据(1) (2)可知,对任意 n ? N* ,都有 bn ? cn ,即 bn ? cn ? 0 . 由已知得, a 2 n ? (1 ? 所以 a
2n

1 )a n . n

1 1 1 )a n ?1 ? ? ? (1 ? n ?1 ) ? (1 ? )(1 ? 1)a1 . n ?1 2 2 2 2 1 所以当 n ? 2 时, a n ? 2bn?1 ? 2cn ?1 ? 12 (1 ? n ?1 ) ? 12 . 2 2 ? (1 ?
因为 a 2 ? a 4 ? 12 . 所以对任意 n ? N* , a
2n

? 12.

对任意 n ? N* ,存在 m ? N* ,使得 n ? 2 m , 因为数列{ an }单调递增, 所以 a n ? a
2m

? 12, an ? 12 ? 0 .

因为 bn ? cn ? 0 , 所以

bn ? cn ? 0. an ? 12

………………14 分

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