山东省临沂市2013届高三5月高考模拟 理科数学

山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟 理科数学
2013.5

第Ⅰ 卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.复数

i3 (i 是虚数单位)的实部是 1 ? 2i
2 5
(B) ?

(A)

2 5

(C)

1 5

(D) ?

1 5

2.集合 M ? ?2,log3 a? , N ? ?a, b?, 若 M ? N ? ?1? ,则 M∪N= (A) ?0,1, 2? (B) ?0,1,3? (C) ?0,2,3?

(D) ?1, 2,3?
开始

3.某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关 关系,根据一组样本数据 ( xi , yi )(i ? 1, 2,…,n) ,用最小二乘

? 法建立的回归方程为 y ? ?10 x ? 200, 则下列结论正确的是 (A)y 与 x 具有正的线性相关关系 (B)若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,则 r ? ?10 (C)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 (D)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右
4. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a ? (2,0), b ? 1, 则 a ? 2b ? (A) 3 (B) 2 3 (C)4 5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 (A)11 (B)12 (C)13 6.函数 y ? esin x (? ≤x≤π) 的大致图象为 π (D)12 (D)14

x ? 0, y ? 1, z ? 2

z ? x? y

y?z x? y

z≤10 否 输出 z



第 5 题图 结束

(A)

(B)

(C)

(D)
2 6 4 正视图 4 第 7 题图 5 俯视图 侧视图

7.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆) , 则该几何体的表面积为 π π (A) 92 ? 14 (B) 82 ? 14 92 ? 24 π 82 ? 24 π (C) (D) π π 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的最小正周期为 4 ,则 6 (A)函数 f ( x ) 的图象关于点( , 0 )对称

π 3

π (B)函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 对称 3

-1-

(C)函数 f ( x ) 的图象向右平移

π 个单位后,图象关于原点对称 3

(D)函数 f ( x ) 在区间 (0,π ) 内单调递增 9.双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p>0) 相交于 A,B 两点, a 2 b2
(B) 1 ? 2 (C) 2 2 (D) 2 ? 2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为 (A) 2
2 10.若集合 A ? x x ? 5 x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 , 则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的

?

?

?

?

(A)充分不必要条件 (C)充要条件 11.若函数 f ( x) ? ?

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 ax e (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,则 a ? b 的最大值是 b (A)4 (B) 2 2 (C)2 (D) 2 12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当 ?1≤x<1 时, f ( x) ? x3 ,
若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则 a 取值范围是

1 5 1 1 ( , ] ? 5, 7) ( (C) 7 5

( ( (A) 0, ]? 5, ??)

1 5 1 1 ( , ) [5, 7) ? (D) 7 5

( ? (B) 0, ) [5, ??)

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅱ 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. π 13.若 tan( ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? ? . 14.某地政府调查了工薪阶层 1000 人 频率/组距 入,并把调查结果画成如图所示的频率分布 了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度, 0.05 样方法从调查的 1000 人中抽出 100 人作电 0.04 (30,35] ( 百 元 ) 月 工 资 收 入 段 应 抽 出
0.02 -20.01 10 15 20 25 30 35 40 月工资(百元) 第 14 题图

的月工资收 直方图,为 要用分层抽 话询访,则 人.

15.已知奇函数 f ( x) ? ? 则 g (?2) 的值为

?3x ? a( x≥0), ? g ( x)( x<0),
.
2 2

16.在区间 [?1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 有两不相等实根的概率 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A ? (Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.

π π π , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

18. (本小题满分 12 分) 某校 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表: 答对题目 个数 人数 0 5 1 10 2 20 3 15

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随机变量 X 的分 布列及数学期望 EX. 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求 p 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ? 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an?1 ? an ? p ? 3n ( n ?N* , p 为常数) a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列. ,

4 n2 ,证明: bn ≤ . 9 an

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 的中点,沿 AO 将三角形 AOD 折起,使 DB= 3 . D (Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
D O C O C

21. (本小题满分 12 分)
2 2

A

B

A

B

x y 第 20 e ? 3 ,且椭圆 C 上一点 N 到 ? 2 ? 1(a>b≥1) 的离心率题图 2 2 a b 点 Q(0,3)的距离最大值为 4,过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于点 A、B.
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,当 AB < 3 时,求实数 t 的取值范
-3-

围.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ln x, g ( x) ? ln x ? x ? 1, h( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) 的极大值. (Ⅱ)求证:存在 x0 ? (1, ??) ,使 g ( x0 ) ? g ( ) ; (Ⅲ)对于函数 f ( x ) 与 h( x) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x)≤kx ? b 和 h( x)≥kx ? b 都 成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x ) 与 h( x) 的分界线.试探究函数 f ( x ) 与 h( x) 是否存在“分界线”?若 存在,请给予证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请说明理由.

1 2 x . 2

1 2

2013 年高考模拟试题

数学试题(理)参考答案及评分标准

2013.5

说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参 照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的 错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(A) 8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. ?

4 5

14. 15

15.-8

16.

1 4

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)由 b sin( ? C) ? c sin(

π 4

π ? B) ? a, 用正弦定理得 4

-4-

π π sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A. ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 4 4
∴ sin B sin(

分 )

2 2 2 2 2 cos C ? sin C ) ? sin C ( cos B ? sin B) ? , 2 2 2 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 )

即 sin B cos C ? cos B sin C ? 1, ∴ sin( B ? C ) ? 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 ) ∵ 0<B, C< π , ∴ ? π <B ? C< π , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 )

3 4

3 4

3 4

π .??????????????????????(5 2 π 3 又 A ? ,∴ B ? C ? π , 4 4 5 π 解 得 B ? π, C ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 8 8 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ? ,由正弦定理, 8 8 5 2 2 ? sin π a sin B 8 ? 4sin 5π. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 得 b? ? π sin A 8 sin 4 1 1 5 π ∴ △ A B C 的 面 积 S ? ab sin C ? ? 2 2 ? 4sin π sin ? ? ? ? ? ( 9 2 2 8 8 5 π π π ?4 2 sin π s i? n 4 2 cos sin 8 8 8 8 π ? 2 2 sin ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 2 4
∴ B?C ? 18.解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则

分)

分)

分 )

分 )

分 )

P( A) ?
?

2 1 1 1 1 C20 ? C10C15 ? C20C15 ? ????? ???? ???? ?( 3 分) 2 C50

190 ? 150 ? 300 128 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 ) 25 ? 49 245 128 即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 ????????(6 分) 245
(Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 则 P( X ? 0) ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 350 2 ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) 2 C50 1225 7

P( X ? 1) ?

1 1 C5C 1 0 C 11 0 1? C C 2 01 550 22 ? C 20 1 ? 15 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 2 C50 1225 49

分 )

-5-

P( X ? 2) ?

1 1 C5C 2 0 C 11 0 1 1 5250 10 ? C ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 2 C50 1225 49 1 1 C5C15 75 3 ? ? . ????????????????(10 分) 2 C50 1225 49

P( X ? 3) ?

从而 X 的分布列为: X P 0 1 2 3 ????(11 分) 22 10 3 49 49 49 2 22 10 3 51 ? 2 ? ? 3? ? . ? ? ? ? ? ( 1 2 分 ) X 的 数 学 期 望 EX ? 0 ? ? 1? 7 49 49 49 49

2 7

19.解: (Ⅰ)由 a1 ? 3, an?1 ? an ? p ? 3n , 得 a2 ? 3 ? 3 p, a3 ? a2 ? 9 p ? 3 ? 12 p. ∵ a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列, ∴ a1 ? a3 ? 2(a2 ? 6), 即 3 ? 3 ? 12 p ? 2(3 ? 3 p ? 6), 得 p ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) 依题意知, an ?1 ? an ? 2 ? 3n , 当 n≥2 时, a2 ? a1 ? 2 ? 31,

a3 ? a2 ? 2 ? 32 ,
?

an ? an?1 ? 2 ? 3n?1.
相加得 an ? a1 ? 2(31 ? 32 ? …? 3n?1 ), ∴ an ? a1 ? 2 ?

3 ? (1 ? 3n?1 ) ? 3n ? 3, 1? 3

∴ an ? 3n (n≥2). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 又 a1 ? 3 适 合 上 式 , ?????????????????????(5 分)

故 an ? 3n. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 ) (Ⅱ)证明:∵ an ? 3n , ∴ bn ?

n2 . 3n
? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 )

(n ? 1)2 n2 ?2n2 ? 2n ? 1 ? n ? (n ? N* ). ∵ bn ?1 ? bn ? n ?1 n ?1 3 3 3
若 ?2n ? 2n ? 1 0, 则 n> <
2

1? 3 , 2

即 当 n≥2 时 , 有 bn?1<bn . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 0 分 )
-6-

又 因 为 b1 ?

1 4 , b2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 ) 3 9

故 bn ≤ . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 ) (Ⅱ)法二:要证 bn ?
n

4 9

n2 4 ≤ , 3n 9
2

只 要 证 4 ? 3 ≥9n . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当 n?2 时,左边=36,右边=36,不等式成立.??????????(8 分)

9 ② 假 设 当 n ? k (k ?N*且k≥2) 时 , 4 ? 3≥ k 成 立 .
k 2

? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 )

则当 n ? k ? 1 时,左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2, 2 要证 3×9k2≥9(k+1), 2 只要正 3k2≥(k+1), 即证 2k2-2k-1≥0.??????????????????????(10 分) 而 当 k﹥

1? 3 , 即 k ? N* 且 k≥2 时 , 上 述 不 等 式 成 立 . ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 ) 2
*

由 ① ② 可 知 , 对 任 意 n?N , 所 证 不 等 式 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 ) 20. (Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点, ∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴∠AOB=90?,即 OB⊥OA.??????????????????(1 分) 取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH= 在 Rt△BOH 中,BH2=BO2+OH2=

2 , 2

5 , 2

在△BHD 中,DH2+BH2= (

2 2 5 ) ? ? 3, 又 DB2=3, 2 2
分) 分) 分) 分) 分)

∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.????????????????(2 又 DH⊥OA, OA∩BH=H ?????????????????(3 ∴D H ⊥ 面 A B C O , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 而 DH∈平面 AOD,???????????????????(5 ∴平面 AOD⊥平面 ABCO. ????????????????(6

(Ⅱ) 分别以直线 OA, 为 x 轴和 y 轴, 为坐标原点, 解: OB O 建立如图所示的空间直角坐标系, B(0, 2,0) , 则

A( 2,0,0) , D(

2 2 2 2 , , 0) . , 0, ) , C (? 2 2 2 2
? ? ( 7 分 )



??? ? ???? ? 2 2 ??? 2 2 AB ? (? 2, 2,0), AD ? (? ,0, ), BC ? (? ,? ,0). 2 2 2 2
-7-

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

z D

??? ? ? ?n ? AB ? 0, ?? 2 x ? 2 y ? 0, ? 由 ? ???? 得? 2 2 x? z ? 0, ?n ? AD ? 0, ?? ? ? 2 2
即 x ? y , x ? z , 令 x ? 1, 则 y ? z ? 1 ,
x A

O H

C

B

y

取 n ? (1,1,1). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 设 ? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,

??? ? BC ? n 2 6 则 sin ? ? ??? ? ? . ? 3 3 BC ? n

???????????????( 11 分)

即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为

6 . ?????????(12 分) 3
2

21.解: Ⅰ)∵ e ? (
2

c 2 a 2? b 2 3 ? ? , a2 a2 4

∴ a ? 4b , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 )
2

x2 y 2 2 2 2 则椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 即 x ? 4 y ? 4b . 4b b
设 N ( x, y ), 则
2 N Q ? ( x? 0 2) ? ( y ? 3 ) ? 2 2 4 ? 4 ? y ? 2?) ? ? ? ? ? ? ? ( 2 b y ( 3

分 )

? ?3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12
当 y ? ?1 时 , NQ 有 最 大 值 为
2
2

4b2 ? 12 ? 4, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 )

x2 ? y2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 解 得 b ? 1, ∴ a ? 4 , 椭 圆 方 程 是 4
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y ? k ( x ? 3),

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4
整 理 得 (1 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 4 ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 )
2 2 2 2 2 4 2 2 由 ? ? 24k k ?16(9k ?1)(1 ? 4k )>0 ,得 k < .
2

1 5

x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? . ???????????????(6 分) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
-8-

∴ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y), 则 x ? ( x1 ? x2 ) ?

??? ??? ? ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )
分 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 t t t (1 ? 4k 2 )

(24k 2 )2 144k 2 由点 P 在椭圆上,得 2 ? ? 4, t (1 ? 4k 2 )2 t 2 (1 ? 4k 2 )2
化 简 得 3 6 2 ? t 2 (? k 1 又由 AB ? 1 ? k
2

k 2 ①) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) 4

x1 ? x2 < 3,

2 2 即 (1 ? k ) ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? <3, 将 x1 ? x2 , x1 x2 代入得 ? ?

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k ) ? ? <3, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k ) ?
2

化简,得 (8k 2 ? 1)(16k 2 ? 13)>0, 则 8k ? 1>0, k >
2 2

1 ,?????????????????????(10 分) 8

∴ <k < ②
2

1 8

1 5

由①,得 t ?
2

36k 2 9 ? 9? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

联 立 ② , 解 得 3<t <4, ∴ ?2<t<? 3 或 2 2 . 解 :( Ⅰ ) g ?( x) ?

3<t<2. ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 )

1 1? x ?1 ? ( x>0). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) x x

1; 令 g ?( x)>0, 解得 0<x<
令 g ?( x)<0, 解 得 x>1 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) ∴ 函 数 g ( x) 在 ( 0 , 1 ) 内 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 上 单 调 递 减 . ? ? ? ? ? ( 3 分 ) 所 以 g ( x) 的 极 大 值 为 g (1) ? ?2. ????????????????(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 令 ? ( x) ? g ( x) ? g ( )

1 2

-9-

∴ ? (1) ? g (1) ? g ( )>0, 取 x? ? e> 则 1,

1 2

??????????????????(5 分)

? (e) ? g (e) ? g ( ) ? ln e ? (e ? 1) ? ln ? ( ? 1)
3 ? ?e ? ln 2 ? <0. 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 )

1 2

1 2

1 2

故存在 x0 ? (1,e), 使 ? ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (1, ??), 使 g ( x0 ) ? g ( ). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) (说明: x? 的取法不唯一,只要满足 x?>1, 且 ? ( x?)<0 即可) (Ⅱ)设 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? 则 F ?( x) ? x ?

1 2

1 2 x ? e ln x( x>0) 2

e x 2 ? e ( x ? e)( x ? e) ? ? x x x

则当 0<x< e 时, F ?( x)<0 ,函数 F ( x) 单调递减; 当 x> e 时, F ?( x)>0 ,函数 F ( x) 单调递增. ∴x?

e 是函数 F ( x) 的极小值点,也是最小值点,
1 e, e ) . ? ? ? ( 9 分 ) 2

∴ F ( x)min ? F ( e ) ? 0. ∴ 函 数 f ( x ) 与 h( x ) 的 图 象 在 x ?

e 处有公共点(
1 e ? k ( x ? e) , 2

设 f ( x ) 与 h( x) 存在“分界线”且方程为 y ? 令函数 u ( x ) ? kx ?

1 e?k e 2 1 2 1 ①由 h( x) ≥ u ( x) ,得 x ≥kx ? e ? k e 在 x ? R 上恒成立, 2 2
即 x ? 2kx ? e ? 2k e≥0 在 x ? R 上恒成立,
2

∴ ?=4k 2 ? 4(?e ? 2k e)≤0 , 即 4(k ? e)2≤0 , ∴ k?

e , 故 u ( x)?

e? x

1 2

e.??????????????(11 分) ?

②下面说明: f ( x)≤u ( x) ,

1 e( x>0) 恒成立. 2 1 设 V ( x) ? e ln x ? e x ? e 2
即 e ln x≤ e x ? 则 V ?( x) ?

e e ? ex ? e? x x
- 10 -

∵当 0<x< e 时, V ?( x)>0 ,函数 V ( x) 单调递增, 当 x> e 时, V ?( x)<0 ,函数 V ( x) 单调递减, ∴当 x ?

e 时, V ( x) 取得最大值 0, V ( x)≤V ( x)max ? 0 . 1 ∴ e ln x≤ e x ? e( x>0) 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 3 分 ) 2 1 1 综合①②知 h( x)≥ e x ? e, 且 f ( x)≤ e x ? e, 2 2 1 故函数 f ( x ) 与 h( x) 存在“分界线” y ? e x ? e , 2 1 b e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 4 分 ) . 此 时 k ? e , ?? 2

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