陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 反证法名师点拨课件 北师大版选修1-2_图文

1 .间接证明不是从正面论证命题的真实性,而 是通过证明它的等价命题,间接地达到证明的目的, 最常见的间接证明是反证法. 2.间接论证的应用,有一定困难.因为在间接 证明过程中,不得不暂时离开所讨论的论题,引进许 多补充的材料(如结论的反面等),致使全部过程复杂 化.但这种方法我们务必学会,因为在学习中,时常 会遇到这样的命题,当时并无直接证明它的论据,必 须用间接法来证明它的真实性. 1.反证法的原理 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律.排中律的 一般表现形式是:或者是A,或者是非A,即在同一讨 论过程中,A和非A有一个且仅有一个是对的.不能有 第三种情形出现. 2.反证法证题的一般步骤 (1)假设:假设所要证明的结论不成立,即假设结 论的反面成立; (2)归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾, 这是反证法的核心,在推理论证的过程中要有意识地 制造矛盾和发现矛盾. 用反证法证明问题时一般叙述过程是: ①否定结论?A?B?C; ?与课本公理抵触 ? ?与已学定理不相容 ?与本题题设冲突 ②而 C 不合理? ?与临时假定违背 ?自相矛盾 ? ?与事实矛盾 ③因为结论不能与事实矛盾,故结论成立. 反证法可以证明的命题范围相当广泛.如:唯一 性问题,无限性问题,肯定性问题,否定性问题, 存在性问题,不等式问题,等式问题,函数问题, 整除问题,几何问题等.常见的基本题型是: (1)一些基本定理; (2)“否定性”命题; (3)“唯一性”命题; (4)“必然性”命题; (5)“至少”、“至多”命题. 常见的“结论词”与“反设词”归纳如下: 至少有n个 原结 至少有一个 至多有一个 论词 至多有n个 至多有(n- 至少有(n 反设 一个也没有 +1)个 至少有两个) 1)个 词 (不存在 原结论词 反设词 只有一个 对任意x成立 存在某个x不成立 对任意x不成立 存在某个x成立 没有或至 少有两个 原结论词 反设词 都是 不都是 一定是 不一定是 p或 q 綈p且綈q p且 q 綈p或綈q 1.如果待证命题的相反判断有多种不同情况,需 对各种不同情况一一导出矛盾,加以否定,才能使原 判断得到充分肯定. 2.有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况, 但在证明过程中有必要进行分类,首先要求分类必须 详尽无遗漏,并且就各类一一导出矛盾. 3.有些待证命题的相反判断是断言一个对象在 某一范围内恒有某种属性,对此只要我们能够在该 范围内举一特例导出矛盾,即可予以否定,从而达 到证明的目的. 4.用直接法证明几何问题时,所画的图形应力 求准确,但反证法恰好相反,我们往往故意画出不 正确的甚至不可能存在的图形,才便于探索导出矛 盾的途径. 5.有些命题在证明过程中,可以连续运用反证 法,即反证法中套反证法. ◎已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明: 关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根. 【错解】 证明:假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 由已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 1 解得-2<p<- ,而关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 的 2 根的判别式 Δ=4(p2-4). 1 1 2 ∵-2<p<- ,∴ <p <4,∴Δ<0, 2 4 即关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实根. 【错因】 利用反证法进行证明时,首先对所要 证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归 谬,得到矛盾,则原命题成立.即反证法必须严格按 照“反设→归谬→存真”的步骤进行.错解在解题的 过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法. 【正解】 证明:假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 则该方程根的判别式 Δ=4-4(5-p2)≥0, 解得 p≥2 或 p≤-2, 而由已知条件实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 1 解得-2<p<- ,二者无公共部分,所以假设不成立, 2 故关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实根.

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