圆锥曲线高三文科教案


圆锥曲线考题分析

【知识梳理】
考点一、定状态问题、存在性问题(方程问题) 题目的设问都建立在给定状态的前提条件下,只需要设未知数进行求解即可。如:

【例 1】椭圆 C : x 2
a

2

?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 b2

F1,F2,点 P 在

椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2, | PF1 |? 4 , | PF2 |? 14 .
3 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.
【解析】 (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2 a ? |PF1|+|PF2|=6,a=3.
2 2 在 Rt△PF1F2 中, F1F2|= | PF2 | ? | PF1 | ? 2 5 , | 故椭圆的半焦距 c ?

5,

从而 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4, 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ). 已知圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ,所以圆心 M 的坐标为(-2,1) , 从而可设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 2) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程得
(4 ? 9k 2 ) x 2 ? (36k 2 ? 18k ) x ? 36k 2 ? 36k ? 27 ? 0.
因为 A,B 关于点 M 对称, 所以

x1 ? x2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2 , 2 4 ? 9k 2
8 , 9

解得 k ?

所以直线 l 的方程为 y ?

8 ( x ? 2) ? 1, 9

即 8x ? 9 y ? 25 ? 0. (经检验,所求直线方程符合题意.)

【例 2】在平面直角坐标系 xoy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在 点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在,说明理由。 【解析】 (I)因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐 标为 (1, ?1) .
设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

1 3

y ?1 y ?1 1 ? ?? x ?1 x ?1 3

x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) (II)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) , ( x ? 1) 直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 x0 ? 1 x0 ? 1

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1

于是 ?PMN 得面积

S ?PMN

x0 ? y0 (3 ? x0 ) 2 1 ? yM ? y N (3 ? x0 ) ? 2 2 x0 ? 1

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , | AB |? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ?

| x0 ? y0 | 2

.

于是 ?PAB 的面积

S ?PAB ?

1 AB ? d ? x0 ? y0 2

| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 当 S?PAB ? S?PMN 时,得 | x0 ? y0 |? | x0 2 ? 1|
又 | x0 ? y0 |? 0 , 所以 (3 ? x0 )2 = | x02 ?1| ,解得 | x0 ? 因为 x02 ? 3 y02 ? 4 ,所以 y0 ? ?

5 。 3

33 9 5 3 33 ). 9

故存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

【例 5】已知椭圆 G :

6 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 a b 3

( 2 2 ,0) ,斜率为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积.
【解析】 (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2,

c 6 ? . 解得 a ? 2 3. a 3
x2 y 2 ? ? 1. 12 4

又 b2 ? a2 ? c2 ? 4. 所以椭圆 G 的方程为 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m.

?y ? x ? m ? 2 2 由 ? x2 得 4x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0. y2 ?1 ? ? ? 12 4
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x 2 3m m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 4 2 4

因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB.

m 4 ? ?1. 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 2?
解得 m=2。 此时方程①为 4 x ? 12x ? 0. 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0.
2

所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以△PAB 的面积 S=

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

作业

【课后作业】
3 x2 y 2 1. (2010 西城一模文)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过 (2,0) 点。 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 ?OAB 直角三角 形, 求 m 的值.

6 x2 y2 2. (2010 西城二模文)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 上任 3 a b
意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA ? PB ,求 直线 l 的方程。

3. (2010 东城期末文)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F ( ?2, 0) ,且长轴长与短轴长

的比是 2 : 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 M (m,0) 在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点. 当 MP 最小时,点 P 恰 好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

【课后作业】 : 1.解: (Ⅰ)由已知

c 3 4 ? , 2 ? 1 ,…………………3 分 a 2 a
2 2 2

所以 a ? 2 , c ? 3 ,又 a ? b ? c , 所以 b ? 1 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………5 分 4

? x2 ? ? y2 ? 1 (Ⅱ)联立 ? 4 , ?y ? x ? m ?
消去 y 得 5x ? 8mx ? 4m ? 4 ? 0 ,…………………6 分
2 2

? ? 64m2 ? 80(m2 ?1) ? ?16m2 ? 80 ,
令 ? ? 0 ,即 ?16m ? 80 ? 0 ,解得 ? 5 ? m ? 5 .
2

………7 分

设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) , (ⅰ)当 ?AOB 为直角时, 则 x1 ? x2 ? ? m , x1 x2 ?

8 5

4m 2 ? 4 ,…………………8 分 5

因为 ?AOB 为直角,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,…………………9 分 所以 2x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,

??? ??? ? ?

2 8m2 ? 8 8 2 10 .………………11 分 ? m ? m2 ? 0 ,解得 m ? ? 所以 5 5 5
(ⅱ)当 ?OAB 或 ?OBA 为直角时,不妨设 ?OAB 为直角, 由直线 l 的斜率为 1 ,可得直线 OA 的斜率为 ?1,

所以

y1 ? ?1,即 y1 ? ? x1 ,………………12 分 x1



x12 ? y12 ? 1 ,…………………13 分 4

5 2 2 x1 ? 1 , x1 ? ? 5, 4 5 4 m ? y1 ? x1 ? ?2 x1 ? ? 5 ,…………………14 分 5 2 4 10 和 ? 经检验,所求 m 值均符合题意,综上, m 的值为 ? 5. 5 5
所以 2.解: (I)由已知 2a ? 6, 解得 a ? 3, c ?

c 6 ? , a 3

………3 分

6 ……………4 分
x2 y2 ? ? 1. 9 3
…………5 分

所以椭圆 C 的方程为

? x2 y 2 ?1 ? ? (III)由 ? 9 得, (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 , 3 ? y ? kx ? 2 ?
直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k ? 12(1 ? 3k ) ? 0,
2 2

解得 k ?
2

1 . ……………7 分 9

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 3 , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

………8 分

12k 4 ?? , 2 1 ? 3k ? 4 1 ? 3k 2 6k 2 ,? ), 所以,A,B 中点坐标为 E ( ………10 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
计算 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ? 因为|P A|=|PB|,所以 PE⊥AB, kPE ? k AB ? ?1,

2 ?1 2 ? k ? ?1 , 所以 1 ? 3k 6k 1 ? 3k 2 解得 k ? ?1 , ?
经检验,符合题意,

…………12 分

……13 分

所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 2 ? 0.

………14 分

3. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 由题意 ?a : b ? 2 : 3, ?c ? 2. ? ?
解得 a ? 16 , b ? 12 .
2 2

………………………………3 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .…………………………6 分 16 12 x2 y2 ? ? 1 ,故 ? 4 ? x ? 4 . 16 12

(Ⅱ)设 P ( x, y ) 为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 因为 MP ? ( x ? m, y) , 所 MP ? ( x ? m) ? y ? ( x ? m) ? 12? (1 ?
2 2 2 2

x2 ). 16

?

1 2 1 x ? 2mx ? m 2 ? 12 ? ( x ? 4m) 2 ? 12 ? 3m 2 .…………10 分 4 4
因为当 MP 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, 即当 x ? 4 时, MP 取得最小值.而 x ?? ?4, 4? , 故有 4 m ? 4 ,解得 m ? 1 . 又点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 4 ? m ? 4 . 故实数 m 的取值范围是 m ? [1,4] .…………………………14 分
2

知识点二:定值问题(函数问题)
题中所给的条件不是固定状态,有变量 P,但要求证明的某个量 Q 不变。其实质是证明 Q 与 P 无关,或者说 Q 是 P 的单值函数。 【例 1】 (2010 崇文一模文)已知椭圆 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 短轴 的一个端点 D 0, 3 , a 2 b2

?

?

1 .过 D 作直线 l 与椭圆交于另一点 M ,与 x 轴交于点 A (不同于原点 O ) , 2

点 M 关于 x 轴的对称点为 N ,直线 DN 交 x 轴于点 B . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的值. 【解析】 (Ⅰ)由已知, a ? 2, b ? 3 . 所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ----5 分 4 3
? ? ? 3 ? ,0? . ? k ?

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? kx ? 3 .令 y ? 0 ,得 A ? ?

由 方 程 组

? y ? kx ? 3 ? ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ?

可 得

3x 2 ? 4 k x ?

?

?3
2

? ,即 1 2

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8 3kx ? 0 .所以 xM ? ?

8 3k , 3 ? 4k 2

所以 M ? ?

? 8 3k ? ? 8 3k 8 3k 2 ? 8 3k 2 ,? ? 3?, N ?? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? ? 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 ? 3 ? . ? ? ? ? ?

所以 k DN ?

2 3?

8 3k 2 3 ? 4k 2 ? 3 .直线 DN 的方程为 y ? 3 x ? 3 . 4k 4k 8 3k 2 3 ? 4k

令 y ? 0 ,得 B ? ? 课后作业

??? ??? ? ? ? 4 3k ? 4 3k 3 , 0 ? . 所以 OA ? OB = ? ?? ? 4. ? ? 3 3 k ? ?

1.(2011 西城一模文)已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,直线 l 过点 M (4,0) .
2

(Ⅰ)若点 F 到直线 l 的距离为 3 ,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设 A, B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴重合,若线段 AB 的垂直平分线恰过点

M ,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值.
2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 A(2, 1) ,离心率为 . 2 a b 2

2. 2011 朝阳二模文) ( 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 (3, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,设直线 AM 和直线 AN 的斜 率分别为 k AM 和 k AN ,求证: k AM ? k AN 为定值.

x2 y 2 3 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A , A2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上 1 异于 A , A2 的动点,直线 A1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明: DE ? DF 恒为 1 定值. 课后作业答案 1.解: (Ⅰ)由已知, x ? 4 不合题意.设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为 (1,0) , 因为点 F 到直线 l 的距离为 3 ,所以

3k 1? k 2

? 3,

解得 k ? ?

2 2 ,所以直线 l 的斜率为 ? . 2 2

(Ⅱ)设线段 AB 中点的坐标为 N ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴, 则直线 MN 的斜率为

y0 4 ? x0 ,直线 AB 的斜率为 , x0 ? 4 y0

直线 AB 的方程为 y ? y0 ?

4 ? x0 ( x ? x0 ) , y0

4 ? x0 ? ? y ? y0 ? y ( x ? x0 ), 联立方程 ? 0 ? y 2 ? 4 x, ?
消去 x 得 (1 ?

x0 2 2 ) y ? y0 y ? y0 ? x0 ( x0 ? 4) ? 0 , 4

所以 y1 ? y2 ?

4 y0 , 4 ? x0
y1 ? y2 2 y0 ? y0 ,即 ? y0 , 2 4 ? x0

因为 N 为 AB 中点,所以

所以 x0 ? 2 .即线段 AB 中点的横坐标为定值 2 .

?4 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 2.解: (Ⅰ)由题意得 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?c ? 2 . ?a 2 ?
解得 a ? 6 , b ? 3 .

……………………………………………2 分

……………………………………………………4 分

x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 6 3

……………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意可设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 3) ,

? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ?12k x ? 18k ? 6 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?6
因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,

……………………7 分

4 2 2 2 所以 ? ? 144k ? 4(1 ? 2k )(18k ? 6) ? 24(1 ? k ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 . …8 分

设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 2 18k 2 ? 6 , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

………………………………………10 分

y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) .
所以 k AM ? k AN ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2

………………………………………12 分

?

(kx1 ? 3k ? 1)( x2 ? 2) ? (kx2 ? 3k ? 1)( x1 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2kx1 x2 ? (5k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 12k ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

2k (18k 2 ? 6) ? (5k ? 1) ?12k 2 ? (12k ? 4)(1 ? 2k 2 ) ? 18k 2 ? 6 ? 24k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )
? ?4k 2 ? 4 ? ?2 . 2k 2 ? 2

所以 k AM ? k AN 为定值 ?2 .

? b ? 1, ? 3 ? c 3(Ⅰ)解:由已知 ? ? , ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c . ?
解 得 …………4 分 所 以 椭 圆 的 方 …………5 分 程 为

a ? 2.

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 (?2, 0) , A2 (2,0) .设 P( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 , 于是直线 A P 的方程为 y ? 1 即

y0 ( 2 2 y0 2 ? ) 令 则 . ( x ? 2) , x ? 2 2 , y ? x0 ? 2 x0 ? 2

DE ? (2 2 ? 2)


y0 x0 ? 2

.

…………7

又直线 A2 P 的方程为 y ? 即

y0 (2 2 ? 2) y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2

DF ? (2 2 ? 2)
分 所

y0 x0 ? 2

.

…………9



y0 y0 4 y0 2 4 y0 2 DE ? DF ? (2 2 ? 2) ? (2 2 ? 2) ? 2 ? ,………11 分 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0
又 P( x0 , y0 ) 在

x2 x2 2 2 ? y 2 ? 1 上,所以 0 ? y0 2 ? 1 ,即 4 y0 ? 4 ? x0 ,代入上式, 4 4

得 DE ? DF ?

4 ? x0 2 ? 1 ,所以 | DE | ? | DF | 为定值1 . 4 ? x0 2

知识点三:动态问题、值域问题(函数问题) 题中所给的条件不是固定状态,有变量 P,题目所求的另外一变量 Q 与 P 有关。求 Q 的取值 范围。思路:先建立函数再求值域。

【例 1】 (2008 北京卷) 已知菱形 ABCD 的顶点 A C 在椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 4 上, 对角线 BD 所 , 在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程; 1) (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
?

【解析】 (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 .因为四边形 ABCD 为菱形,所以

AC ? BD .于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n 。
由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . ? y ? ?x ? n
2

因为 A,C 在椭圆上,所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?

4 3 4 3 ?n? . 3 3
3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , 2 4

设 A,C 两 点 坐 标 分 别 为 ( x1, y1 ) ( x2 y2 , 则 x1 ? x2 ? ,, )

y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n .所以 y1 ? y2 ?
所 以 AC 的 中 点 坐 标 为 ?

n . 2

? 3n n ? ? 3n n ? , ? . 由 四 边 形 ABCD 为 菱 形 可 知 , 点 ? , ? 在 直 线 ? 4 4? ? 4 4?

y ? x ? 1 上, 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,
?

所以 AB ? BC ? CA .所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2 2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 课后作业

( 1. 2010 北京卷文) 已知椭圆 C 的左、 ( 右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) , 2, 0) , 离心率是
直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。 2(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

6 , 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点 A(2,0) , a 2 b2
P

y D

离心率为

3 , O 为坐标原点. 2
E

O

A x

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P (异于点 A )为椭圆 C 上一个动点,过 O 作线段

AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E , D ,求

DE AP

的取值范围.

3.如图,抛物线 y ? ? x2 ? 9 与 x 轴交于两点 A, B ,点 C , D 在抛物线上(点 C 在第一象 限) CD ∥ AB .记 | CD | ? 2 x ,梯形 ABCD 面积为 S . , (Ⅰ)求面积 S 以 x 为自变量的函数式; (Ⅱ)若

| CD | ? k ,其中 k 为常数,且 0 ? k ? 1 ,求 S 的最大值. | AB |

答案 1 解: (Ⅰ)因为

c 6 ? ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 a 3
x2 ? y2 ? 1 3

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 2 2 由 ? x2 得 x ? ? 3(1 ? t ) 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t ) 2 , ? ? y ?1 ?3
解得 t ? ?

3 , 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q ( x, y ) 在圆 P 上。所以

y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )
设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
2

?
6

)

当? ?

?
3

,即 t ?

1 ,且 x ? 0 , y 取最大值 2.4. 2

2 解: (Ⅰ)因为 A(2,0) 是椭圆 C 的右顶点,所以 a ? 2 .



c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2 2 2

所以 b ? a ? c ? 4 ? 3 ? 1 .

所以 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

………………………………………3 分

(Ⅱ)当直线 AP 的斜率为 0 时, | AP |? 4 , DE 为椭圆 C 的短轴,则 | DE |? 2 . 所以

| DE | 1 ? . | AP | 2

………………………………………5 分

当直线 AP 的斜率不为 0 时, 设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) , P( x0 , y0 ) ,

则直线 DE 的方程为 y ? ?

1 x. k

………………………………………6 分

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 x2 ? 4[k ( x ? 2)]2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 .

16k 2 所以 2 ? x0 ? . 4k 2 ? 1
所以 x0 ?

8k 2 - 2 . 4k 2 ? 1

………………………………………8 分

所以 | AP |? 即 | AP |?

( x 0 ?2) 2 ? ( y 0 ?0) 2 ? (1 ? k 2 )( x 0 ?2) 2 .

4 1? k2 . 4k 2 ? 1
1? k2 . k2 ? 4

类似可求 | DE |? 4

1? k 2 2 | DE | k 2 ? 4 ? 4k ? 1 . ? 所以 | AP | 4 1 ? k 2 k2 ? 4 4k 2 ? 1 4
设t ?

………………………………………11 分

k 2 ? 4, 则 k 2 ? t 2 ? 4 , t ? 2 .

| DE | 4(t 2 ? 4) ? 1 4t 2 ? 15 ? ? (t ? 2). | AP | t t
令 g (t ) ?

4t 2 ? 15 4t 2 ? 15 (t ? 2) ,则 g '(t ) ? ? 0. t t2

所以 g (t ) 是一个增函数.

| DE | 4t 2 ? 15 4 ? 4 ? 15 1 ? ? ? . 所以 | AP | t 2 2
综上,

| DE | 1 的取值范围是 [ , + 2 | AP |

).



3. Ⅰ) ( 解: 依题意, C 的横坐标为 x , C 的纵坐标为 yC ? ? x2 ? 9 . 点 点 分

………………1

2 点 B 的横坐标 xB 满足方程 ? xB ? 9 ? 0 ,解得 xB ? 3 ,舍去 xB ? ?3 .……………2

分 所以 S ? 分 由点 C 在第一象限,得 0 ? x ? 3 . 所以 S 关于 x 的函数式为 S ? ( x ? 3)(? x2 ? 9) , 0 ? x ? 3 .………………5 分

1 1 (| CD | ? | AB |) ? yC ? (2 x ? 2 ? 3)(? x 2 ? 9) ? ( x ? 3)(? x 2 ? 9) . ………4 2 2

(Ⅱ)解:由 ? x

?0 ? x ? 3, ? 及 0 ? k ? 1 ,得 0 ? x ? 3k .………………6 分 ? k, ?3 ?

记 f ( x) ? ( x ? 3)(? x2 ? 9), 0 ? x ? 3k , 则 f ?( x) ? ?3x2 ? 6 x ? 9 ? ?3( x ?1)( x ? 3) .………………8 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .………………9 分 ① 若 1 ? 3k ,即

1 ? k ? 1 时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下: 3

x
f ?( x )

(0,1)

1

(1,3k )

?


0
极大值

?


f ( x)

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值,且最大值为 f (1) ? 32 .………………11 分 ② 若 1 ? 3k ,即 0 ? k ?

1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 3
2

所以, f ( x ) 的最大值为 f (3k ) ? 27(1 ? k )(1 ? k ) .………………13 分

S 0 综上, ? k ? 1 时, 的最大值为 32 ; ? k ?

1 3

1 2 S 时, 的最大值为 27(1 ? k )(1 ? k ) . 3


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