【全国百强校】江苏省淮阴中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题(原卷版)

江苏省淮阴中学 2015-2016 学年高二上学期期末考试数学试题 一、填空题(每小题 5 分,共计 70 分). 1.命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ”的逆否命题为 2.双曲线 . . . y2 ? x 2 ? 1 的两条渐近线方程为 4 3.某人从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,9,7,则该组数据的方差 s 2 ? 4.函数 f ( x) ? 1 ? sin x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 5.观察下列式子: 1 ? . 1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…,根据以上式子可以猜想 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 . 1? 2 ? 2 ?…? ? 2 3 20152 . 6.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 7.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片,从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码, 则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为 (用分数作答) . 条件(在“充要” 、 “充分不必要” 、 8.“ a ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直”的 “必要不充分” 、 “既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空) . ? x ? y ? 1 ? 0, ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 表示的区域, E 是到原点的距离不大于 1 ?y ? 0 ? 的点构成的区域,若向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率是 10.已知函数 f ( x) ? . 1 3 x ? ax 2 ? x ? a ? R ? ,若 y ? f ( x) 在区间 ? ?2, ?1? 上是单调减函数,则实数 a 的最 3 小值为 2 . 2 11.已知圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点, 且与直线 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 相切, 则该圆 2 的方程为 . 12.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? a ? 1 4 ? a ? 0 ? , g ( x) ? bx3 ? 2bx 2 ? bx ? ? b ? 1? ,则函数 3 27 . y ? g ( f ( x)) 的零点个数为 13.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” ,已知 F1 , F2 是一对相关曲 线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,若 ?F1 PF2 ? 60? ,则这一对相关曲线中椭圆的离心率是 . 14.设函数 f ( x) ? e x x 3 ? 3 x ? 3 ? ae x ? x , e 为自然对数的底数,若不等式 f ( x) ? 0 在 x ? ? ?2, ?? ? 有 解,则实数 a 的最小值为 . ? ? 二、解答题 15.(本题满分 14 分)已知复数 z 满足 z ?1 ? 2i ? ? 5i ( i 为虚数单位) . (1)求复数 z ,以及复数 z 的实部与虚部; (2)求复数 z ? 5 的模. z 16.(本题满分 14 分)已知命题 p : “关于 x , y 的方程 x ? 2ax ? y ? 2a ? 5a ? 4 ? 0 表示圆( a ? R ) ” , 2 2 2 命题 q : “ ?x ? R ,使得 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ( a ? R ) ” . 2 (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 17.(本题满分 14 分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段 ? 40,50 ? ,?50, 60 ? ,…,?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列命 题: (1)求分数在 ? 70,80 ? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为 ? 40, 60 ? 的学生中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取 2 人,求至少 1 人在分数段 ?50, 60 ? 的概率. 18.(本题满分 16 分)为治理雾霾,环保部门加大对企业污染物排放的监管力度,某企业决定对一条价值 60 万元的老旧流水线进行升级改造,既要减少染污的排放,更要提高该流水线的生产能力,从而提高产品 附加值,预测产品附加值 y (单位:万元)与投入改造资金 x (单位:万元)之间的关系满足: ① y 与 (60 ? x) x 成正比例; 2 ②当 x ? 30 时, y ? 90 ; ③改造资金 x 满足不等式 0 ? x ? t ,其中 t 为常数,且 t ? ? 0,3? . 2(60 ? x) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并求出其定义域; (2)问投入改造资金 x 取何值时,产品附加值 y 达到最大? 19.(本题满分 16 分)已知椭圆 C 的方程为 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,两点 F1 (?1, 0) w,F2 (1, 0) 为椭圆 C 的 a 2 b2 焦点,点 P 在椭圆 C 上,且 | PF1 | ? | PF2 |? 2 | F1 F2 | . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图已知椭圆 C 的内接平行四边形 ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 、 F2 ,求该平行四边形 ABCD 面积的最大值. 20.(本题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x ? 2(?1) ln x ? k ? N *? , f '( x) 表示 f (

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