辽宁省东北育才学校2016届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理

2015—2016 学年度上学期高中学段高三联合考试 高三年级数学(理)科试卷
答题时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.集合 A B. , C. ,则 ( D. )

2.函数 A.

的定义域为( B.

) C. D.

3.命题“若 α =

,则 tanα =1”的逆否命题是(



A.若 α ≠

,则 tanα ≠1

B.若 α =

,则 tanα ≠1

C.若 tanα ≠1, 则α ≠ 4.已知函数 (其中

D.若 tanα ≠1, 则α =

)的图象如右图所示,

则函数

的图象是下图中的(



1

A

B

C

D

5.若函数 必要条件是

的导函数 ( ) B.[3,5]

,则使得函数

单调递减的一个充分不

A.[0,1]

C.[2,3]

D.[2,4]

6.设若 A.-1 B. 2 C. 1 )

,则 的值是( D.-2

)

7.下面几个命题中,假命题是( A.“若 B.“ C.“ D .“ 是函数 ,则 ,函数

”的否命题; 在定义域内单调递增”的否定; 是函数 的一个周期” ;

的一个周期”或“ ”是“

”的必要条件.

8.设

均为正数,且





,则(

)

A. 9.如图,目标函数

.B 仅在封闭区域

C. 内(包括

D.

2

边界)的点

处取得最大值,则

的取值范围是(



A 10. 若 定 义 在

B 上的函数

C

D 满足:对于任意 ,且 时,有 ,则 D. ,设 的值为( 有 在区 )

间 A.

上的最大值,最小值分别为 B. C.

11.函数 ①函数

,则下列说法中正确命题的个数是( 有 3 个零点;



②若 ③函数 ④ A.

时,函数

恒成立,则实数 的取值范围是



的极大值中一定存在最小值; , B. 在 ,对于一切 C. 上非 负且可导 , 满足 ) C. D. 恒成立. D. ,

12. 已知 函数

,则下列结论正确的是( A. B.

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 定 义 在 上的偶函数 满足 对于 恒成立,且
3

,则

________;

14 . 不 等 式 组

表示的平面区域为 上存在区域

,若对数函数

上的点,则实数 的取值范围

是__________. 15. 关 于 的方程 的两实根为 ,若

,则

的取值范围是________

16.如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” , 它们是由整数的倒数组成的,第 行有 个数且两端的数

均为

,每个数是它下一行左右相邻两数的

和,如





,?,

则第10行第3个数(从左往右数)为____. 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 满分 70 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)

记函数

的定义域为 A, ,求实数 的取值范围.

的定义

域为 B. (1)求集合 A; (2)若 18.(本小题满分 12 分)

在数列

中,已知

,其前 项和

满足

.

4

(1)求

的值;(2)求

的表达式;

(3)对于任意的正整数

,求证:

.

19.(本小题满分 12 分)

年世博会在上海召开,某商场预计

年从 月起前

个月顾客对某种世博商品的需求总量



(1)写出第 个月的需求量

的表达式;

(2) 若第 个月的销售量

(单位: 件) ,

每件利润 月利润的最大值是多少?

, 求该商场销售该商品, 预计第几个月的月利润达到最大值?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 若 在 恒成立,求

.(Ⅰ)讨论函数 的取值范围.

的单调区间; (Ⅱ)

21.(本小题满分 12 分)已知直线



,直线 被圆截得的弦

长与椭圆

的短轴长相等,椭圆的离心率

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

5

(Ⅱ)过点 在一个定点

(



)的动直线 交椭圆





两点,试问:在坐标平面上是否存 ?若存在, 求出点

, 使得无论 如何转动, 以

为直径的圆恒过定点

的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)已知函数

(Ⅰ)求函数

的单调区间;

(Ⅱ)试探究函数 零点;若不存在,请说明理由;

在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个

(Ⅲ)若 的取值范围

,且



上恒成立,求实数

2015—2016 学年度上学期高中学段高三联合考试 理科数学参考答案 一.1-----12 CDCA C BDACD BA 14. ?0,1? ? ?1,3? 15. ( ?

二.

13.1

5 1 ,? ) 4 2

16.

1 360

三.17.解析: (1) A ? ? ??, ?1? ? ?1, ??? ; (2) ? ??, ?2? ?

?1 ? ,1? ? ?2 ?
; 时结论显然成

18. [解析] 1.(1) 依次令 (2) 法一:由⑴猜想 立;②假设

可得





,下面用数学归纳法证明:①当 时结论成立,即 ,则

6

, 故当 法二:猜想 假设 时结论成立。综上知结论成立。 ,下面用第二数学归纳法证明:①当 时结论成立,即 时结论显然成立;② ,则

法三:S n?1 ?

n ?1 (a1 ? an ), an ?1 ? S n ?1 ? S n , 所以 (n ?1)an?1 ? nan ? 1 ? 0 , 同除 n(n ? 1) 2
, 故 。又 ,故 。 ,

得, 因此

时,

(3)法一:由(2) 知

为等差数列,故







一定时,要使

最小,则

最大。显然

,故 因此 ,两边同除 an ?1 从而

, 。

法二:因为

,所以



(2n ? 3) ? 2n ? 1,(2n ? 1)n ? (2n ? 1) n?1 ,故 n (2n ? 1)
n

,所以

(2n ? 3) ? (2n ? 1)

n 2

n ?1 2

因此

,从而
7

,即 法三:(i) 当 时不等式显然成立;



(ii)假设

时不等式成立,即

,则如“法二” 可证

,故

,即当

时不等式成立。综上得证。 (2 分)

19.解: (1)当 x ? 2 时, f ( x) ? p( x) ? p( x ? 1) ? ?3x 2 ? 42 x ; 当 x ? 1 时, p( x ) ? 39 也满足, 故 f ( x) ? ?3x 2 ? 42 x (2)设该商场第 x 个月的月利润为 ? ( x ) 元,则
2 ①当 1 ? x ? 7 且 x ? N ? 时, ? ( x ) ? ( ?3x ? 42 x ? 21x ) ?

(4 分)

1000e x ?6 ? 3000(7 ? x)e x ?6 x

?' ( x) ? 3000(6 ? x)e x?6 ,由 ?' ( x) ? 0 ? x ? 6 ,
?? ( x ) 在区间 ?1,6? 上单调递增,在区间 ?6,7 ? 上单调递减,

??( x)max ? ?(6) ? 3000 ,
② 当

(8 分) 且

7 ? x ? 12

x ? N?





?( x) ?

x2 1 2 1000e x ?6 1 ( x ? 10 x ? 96) ? ? 1000e ?6 ( x 3 ? 10 x 2 ? 96 x ) x e 3 x 3
8

?' ( x) ? 1000e?6 ( x ? 12)( x ? 8) ,由 ?' ( x) ? 0 ? x ? 8或x ? 12 ,
?? ( x ) 在区间 ?7,8? 上单调递增,在区间 ?8,12? 上单调递减,

??( x)max ? ?(8) ? 741.1 ? 3000 ,
综上,第 6 个月时,最大利润为 3000 元 20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(11 分) (12 分)

1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) x x x

当 a ? 0 时, x ? (0,?a), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,

x ? (?a,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。
当 a ? 0 时, x ? (0,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。 (Ⅱ) 2 x ln x ? 2mx ? 1 ,得到
2

???????4 分

ln x 1 ? 2 ?m x 2x

令已知函数 g ( x) ?

ln x 1 ? 2 x 2x

g ?( x) ?

1 ? ln x ? x2

1 x
1 x

a ? ?1时, f ( x) ? ln x ?

x ? (0,1), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减, x ? (1,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。

1 f ( x) ? f (1) ? 1 ,即 ln x ? ? 1 , g ?( x) ? x

1 ? ln x ? x2

1 x ?0

g ( x) 在 x ? (0,??), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递减,
在 [1, e] , g ( x ) ? g (1) ?

1 1 ln x 1 ? 2 ? m 恒成立,则 m ? 。?????12 分 ,若 2 x 2 2x
9

21. 【解析】(Ⅰ)则由题设可求的 b ? 1 , 又e ?

?????????2 分

2 2

a? 2

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 2

???????????????4 分

1 (Ⅱ)解法一:假设存在点 T(u, v) . 若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? , 3

将它代入椭圆方程,并整理,得 (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 .???????????5 分

12k ? x1 ? x2 ? , ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . ? 1 2 18k 2 ? 9 ?
??? ??? 1 1 因为 TA ? ( x1 ? u, y1 ? v), TB ? ( x2 ? u, y2 ? v) 及 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3

所以 TA? TB ? ( x1 ? u)( x2 ? u) ? ( y1 ? v)( y2 ? v)

??? ???

1 2v 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (u ? k ? kv)( x1 ? x2 ) ? u 2 ? v 2 ? ? 3 3 9

?

(6u 2 ? 6v2 ? 6)k 2 ? 4ku ? (3u 2 ? 3v2 ? 2v ? 5) 6k 2 ? 2

????????8 分

当且仅当 TA ? TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T, ????????9 分

?6u 2 ? 6v 2 ? 6 ? 0 ? 所以 ? 4u ? 0 解得 u ? 0, v ? 1. ?3u 2 ? 3v 2 ? 2v ? 5 ? 0 ?
此 时 1) . 以 AB 为 直 径 的 圆 恒 过 ??????????????????10 分 定 点

T



0



当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 也过点 T(0,1) . 综 上 可 知 , 在 坐 标 平 面 上 存 在 一 个 定 点 T ( 0 , 1 ), 满 足 条
10

件. ??????????????12 分 解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1. 若 直 线 l 垂 直 于 y 轴 , 则 以 1 16 x2 ? ( y ? )2 ? . ????????????6 分 3 9
? x 2 ? y 2 ? 1, ?x ? 0 ? 由? 2 1 2 16 解得 ? y ? 1 . ? ?x ? ( y ? ) ? . 3 9 ?

AB

为 直 径 的 圆 是

由此可知所求点 T 如果存在,只能是(0,1) . 事实上点 T(0,1)就是所求的点. 证明如下:

????????????7 分

当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 ,过点 T (0,1) ;
1 当直线 l 的斜率存在,设直线方程为 y ? kx ? , 3

代入椭圆方程,并整理,得 (18k 2 ? 9) x2 ? 12kx ? 16 ? 0.

?????8 分

12k ? x1 ? x2 ? , ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标为 A( x 1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?

因为 TA ? ( x1 , y1 ? 1), TB ? ( x2 , y2 ?1) ,
??? ??? 4 16 TA? TA ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 9
? ?16k 2 ? 16 ? 16k 2 ? 32k 2 ? 16 ? 0. 18k 2 ? 9
??? ???

???

???

所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1)???????????11 分 综 上 可 知 , 在 坐 标 平 面 上 存 在 一 个 定 点 件. ?????????????12 分 22.[解析] (Ⅰ) 由

T ( 0 , 1 ) 满 足 条


11

当 当 函数

时,则 时,

有 ,

函数

在区间 ,

单调递增;

的单调增区间为 时,函数

,单调减区间为 的单调增区间为 ;



综合①②的当 当 时,函数

的单调增区间为 定义域为

,单调减区间为 ,

. (5 分)

(Ⅱ) 函数











,(7 分) ,

故函数



上单调递减,在 ,(8 分)

上单调递增,

有由(1)知当

时,对

,有



即 当 随着 度,而 得到函数 且 趋向 0 时, 的增长,

, 趋向 , 的增长速 趋向 ,

的增长速度越来越快, 会超过并远远大于 且 趋向 时,

的增长速度则会越来越慢。故当 的草图如图所示,

12

故①当 ②当 ③当

时,函数 时,函数 时,函数

有两个不同的零点; 有且仅有一个零点; 无零点;(10 分)

(3)由(2)知当 先分析法证明: 要证

时,

,故对



只需证 即证 构造函数

故函数 , 则



单调递增,

成立. (12 分) 在 单调递增, 则 在

①当 时, 由 (1) 知, 函数 上恒成立.

13

②当 故当

时,由(1)知,函数 时,

在 ,所以

单调递增,在

单调递减, ,则不满足题意.

综合①②得,满足题意的实数 的取值范围

. (14 分)

14


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