四川省成都市邛崃市高埂中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试卷 Word版含解析

2014-2015 学年四川省成都市邛崃市高埂中学高二(上)第二次 月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的¬p 四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在机读卡上) 1.已知命题 p:?x∈R,x>2,命题 q:?x∈R,x2>0,则( ) A.命题¬p 是真命题 B.命题 q 是真命题 C.命题 p∨q 是假命题 D.命题 p∧¬q 是真命题 2.“m=1”是“直线 y=mx+m 与直线 y=mx+2 平行”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 如图所示是 2014 年某大学自主招生面试环节中, 六位评委为某考生打出的面试分数的茎 ) 叶统计图,若该生笔试成绩 90 分,下列关于该同学成绩的说法正确的是(

A.面试成绩的中位数为 83 B.面试成绩的平均分为 84 C.总成绩的众数为 173 D.总成绩的方差与面试成绩的方差都是 19 4.已知向量 =(1,m+2) , =(m,﹣1) ,且 ∥ ,则| |等于( A. B.2 C. D. )

5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是(

)

A.3

B.11

C.38

D.123

6.设 α 表示平面,a,b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题: ①a∥α,a⊥b?b⊥α;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③a⊥α,a⊥b?b∥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b. ) 其中正确的是( A.①② B.②④ C.③④ D.②③ 7.几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积是( )

A.

B.2

C.

D.7

8. θ 是三角形的一个内角, 且 sinθ+cosθ= , 则方程 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

所表示的曲线为(

)

9.设 F1,F2 分别为椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C . 则椭圆 C 的焦距( )

B 两点, F1 到直线 l 的距离为 2 相交于 A, 直线 l 的倾斜角为 60°, A.1 B.2 C.3 D.4

10.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线与 A,B 两点,交双曲线的渐近 ) 线于 P,Q 两点,若|PQ|=2|AB|,则双曲线的离心率是( A. B. C. D.

11.已知椭圆

(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,且 )

∠BAO+∠BFO=90°(O 为坐标原点) ,则椭圆的离心率 e=( A. B. C. D.

12.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 ∠AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( A. ) B.1 C. D.2 的最大值为

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案写在答题卡上) 13.抛物线 y=4x2 的准线方程为__________.

14.已知双曲线

的离心率为 ,抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 p(2,y0) (y0>0)

在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线的准线的距离为__________.

15.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组

表示的区域,E 是到原点

的距离不大于 1 的点构成的区域,向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率是 __________. 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下命题: ①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°; ②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1+ ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点, 则直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是[ 1]; ④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ=1,则四面体 PQB1D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有__________. (填写所有正确命题的序号) . ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明 bn=2-2Sn 过程或演算 步骤)

17.如图所示,等腰梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,顶点 A 与顶点 B 关于原点 O 对称, 且底边 AB 和 CD 的长分别为 6 和 2 ,高为 3. (Ⅰ)求等腰梯形 ABCD 的外接圆 E 的方程; (Ⅱ)若点 N 的坐标为(5,2) ,点 M 在圆 E 上运动, 求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

18.已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= (Ⅰ)求 cos(A+B)的值; (Ⅱ)设 a= ,求△ ABC 的面积.

,cosB=



19.梯形 ABCD 中,AD∥CP,PD⊥AD,CB⊥AD,∠DAC= 将其沿 BC 折成如图②的几何体,使得 AD=

,PC=AC=2,如图①;现

(Ⅰ)求直线 BP 与平面 PAC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值. 20.设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2﹣2Sn;数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn(n=1,2,3…) ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.求 Tn. 21.已知 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB(O 为坐标原点) ,求证: (1)A、B 两点的横坐标之积为定值; (2)直线 AB 经过定点.

22.以椭圆 C:

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,以

为半径的圆称为该椭圆的“伴

随”.已知椭圆的离心率为

,且过点



(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△ AOB(O 为坐标原点) 的面积为 S△ AOB,将 S△ AOB 表示为 m 的函数,并求 S△ AOB 的最大值.

2014-2015 学年四川省成都市邛崃市高埂中学高二(上) 第二次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的¬p 四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在机读卡上) 1.已知命题 p:?x∈R,x>2,命题 q:?x∈R,x2>0,则( ) A.命题¬p 是真命题 B.命题 q 是真命题 C.命题 p∨q 是假命题 D.命题 p∧¬q 是真命题 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】先判断命题 p、q 的真假,再根据复合命题真值表依次判断个选项命题的真假,可 得答案. 【解答】解:由题意,命题 p 为真命题; ∵x=0 时,x2=0,∴命题 q 为假命题, 由复合命题真值表知:¬p 是假命题,A 错误; 命题 q 为假命题,B 错误; 命题 p∨q 是真命题,C 错误; 命题 p∧(¬q)是真命题,D 正确. 故选 D. 【点评】 本题借助考查简单命题的真假判定及复合命题的真假判定规律, 解题的关键是熟练 掌握复合命题真值表. 2.“m=1”是“直线 y=mx+m 与直线 y=mx+2 平行”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】规律型. 【分析】结合直线平行的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:当 m=1 时,两直线方程分别为 y=x+1 和 y=x+2,满足直线平行. 若直线 y=mx+m 与直线 y=mx+2 平行,则 m≠2, ∴“m=1”是“直线 y=mx+m 与直线 y=mx+2 平行”充分不必要条件. 故选:A. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用直线平行的等价条件是解决本题的 关键. 3. 如图所示是 2014 年某大学自主招生面试环节中, 六位评委为某考生打出的面试分数的茎 ) 叶统计图,若该生笔试成绩 90 分,下列关于该同学成绩的说法正确的是(

A.面试成绩的中位数为 83 B.面试成绩的平均分为 84 C.总成绩的众数为 173 D.总成绩的方差与面试成绩的方差都是 19 【考点】茎叶图. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】根据茎叶图,把数据按从小到大的顺序排列,找出众数即可. 【解答】解:由题意,根据茎叶图,得;6 位评委为某考生打出的分数从小到大依次是 78, 83,83,85,90,91. 面试分数的众数为 83,所以总成绩的众数为 173, 故选:C. 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了中位数与众数的应用问题,是基础题. 4.已知向量 =(1,m+2) , =(m,﹣1) ,且 ∥ ,则| |等于( A. B.2 C. D. )

【考点】平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,由结合向量平行的坐标表示方法,解可得 m 的值,即可得 的坐标,然 后求出向量的模. 【解答】解:根据题意,若 ∥ , ,则有﹣1×1=(m+2)×m, 解可得 m=﹣1, 则 =(﹣1,﹣1) , 则| |= 故选 A. 【点评】本题考查向量平行的坐标表示与向量的坐标计算,关键是求出 的坐标. 5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )

A.3

B.11

C.38

D.123

【考点】程序框图.

【分析】通过框图的要求;将第一次循环的结果写出,通过判断框;再将第二次循环的结果 写出,通过判断框;输出结果. 【解答】解;经过第一次循环得到 a=12+2=3 经过第一次循环得到 a=32+2=11 不满足判断框的条件,执行输出 11 故选 B 【点评】本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律. 6.设 α 表示平面,a,b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题: ①a∥α,a⊥b?b⊥α;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③a⊥α,a⊥b?b∥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b. ) 其中正确的是( A.①② B.②④ C.③④ D.②③ 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】对于①与③,可以利用长方体中的线(棱)与面(表面、或对角面)间的关系进 行判断; 对于②与④,根据线面垂直的性质定理判断. B1C1=b, 【解答】 解: 如图在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 令直线 A1B1=a, 底面 ABCD=α, 显然 a∥α,a⊥b,但 b∥α,故①假命题; 类似的令 AA1=a,AD=b,底面 ABCD=α,显然满足 a⊥α,a⊥b,但 b?α,故③假命题;

对于②④,根据两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这样平面;以及 垂直于同一个平面的两条直线互相平行.知②④都是真命题. 故选 B. 【点评】 以命题的真假判断为载体考查空间线与面的位置关系是高考中的常考题型, 要结合 图形熟练掌握这些定理、推论等,有时候要借助于特殊的几何体辅助判断. 7.几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积是( )

A.

B.2

C.

D.7

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;空间位置关系与距离. 【分析】判断几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的侧面积. 【解答】解:由题意可知几何体是长方体的一个角的三视图, 长方体的三度为:2,2,1, 垂直底面的两个侧面面积为: 另一个侧面是等腰三角形,底边为:2 面积为: =2, ,腰长为: = . ,

侧面积为:2+ . 故选:A. 【点评】本题考查三视图求解几何体的侧面积,判断几何体的形状是解题的关键,考查空间 想象能力以及计算能力.

8. θ 是三角形的一个内角, 且 sinθ+cosθ= , 则方程 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 【考点】双曲线的标准方程;椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】把 sinθ+cosθ= 两边平方可得,sinθ?cosθ=﹣ 从而判断方程所表示的曲线. 【解答】解:因为 θ∈(0,π) ,且 sinθ+cosθ= ,所以,θ∈( 且|sinθ|>|cosθ|,所以 θ∈( , ) ,从而 cosθ<0,

所表示的曲线为(

)

<0,可判断 θ 为钝角,cosθ<0,

,π) ,

从而

表示焦点在 x 轴上的双曲线.

故选 C. 【点评】本题考查双曲线的标准方程形式,由三角函数式判断角的取值范围.

9.设 F1,F2 分别为椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C . 则椭圆 C 的焦距( )

B 两点, F1 到直线 l 的距离为 2 相交于 A, 直线 l 的倾斜角为 60°, A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】通过设直线 l 的方程 y= (x﹣c) ,利用点到直线的距离公式计算即得结论. 【解答】解:依题意,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , l y= x c 直线 的方程为: ( ﹣ ) , =0, 即: ∵F1 到直线 l 的距离为 2 , ∴ =2 ,

解得:c=2, ∴椭圆 C 的焦距为 2c=4, 故选:D.

【点评】本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于基础题. 注:本题还可以在 Rt△ F1F2C 中利用锐角三角函数的定义来计算. 10.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线与 A,B 两点,交双曲线的渐近 ) 线于 P,Q 两点,若|PQ|=2|AB|,则双曲线的离心率是( A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出双曲线方程,求其渐近线方程,令 x=c,解出|PQ|,|AB|,从而求离心率. 【解答】解:不妨设双曲线的方程为 ,

令 x=c,解得,y=± ∴|AB|=2 ,



又∵双曲线

的渐近线方程为 y=± x,

令 x=c,解得,y=± c, ∴|PQ|=2 c, 又∵|PQ|=2|AB|, ∴2 c=4 ∴a= ∴e= = ,即 c=2b, , = ,

故选 D. 【点评】本题考查了双曲线的简单性质,思路比较简单,属于基础题.

11.已知椭圆

(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,且 )

∠BAO+∠BFO=90°(O 为坐标原点) ,则椭圆的离心率 e=( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先作出椭圆的右焦点 F′,根据条件得出 AB⊥BF′.再求出 A、B、F′的坐标,由 两 个向量的数量积的性质得出 a,b、c 的关系建立关于离心率 e 的方程,解方程求得椭圆 C 的 离心率 e. 【解答】解:设椭圆的右焦点为 F′, 由题意得 A(﹣a,0) 、B(0,b) ,F′(c,0) , ∵∠BAO+∠BFO=90°,且∠BFO=∠BF′O, ∴∠BAO+∠BF′O=90°, ∴ ? =0,

∴(a,b)?(c,﹣b)=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0, ∴e﹣1+e2=0, 解得 e= 故选 A. ,

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,两个向量的数量积公式的应用,以及一元二次方 程的解法. 12.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 ∠AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( A. ) B.1 C. D.2 的最大值为

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. |BF|=b, BF. 【分析】 设|AF|=a, 连接 AF、 由抛物线定义得 2|MN|=a+b, 由余弦定理可得|AB|2= (a+b)2﹣ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案. 【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得, |AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab 配方得,|AB|2=(a+b)2﹣ab, 又∵ab≤( ) 2,

∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣ (a+b)2= (a+b)2 得到|AB|≥ (a+b) .

所以



=

,即

的最大值为



故选:A

【点评】本题在抛物线中,利用定义和余弦定理求

的最大值,着重考查抛物线的定义

和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案写在答题卡上) 13.抛物线 y=4x2 的准线方程为 .

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程,进而求得 p,再根据抛物线性质得出准线方程. 【解答】解:整理抛物线方程得 x2= y,∴p= ∵抛物线方程开口向上, ∴准线方程是 y=﹣ 故答案为: .

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质.属基础题.

14.已知双曲线

的离心率为 ,抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 p(2,y0) (y0>0)

在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线的准线的距离为 . 【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】依题意,可求得双曲线 的离心率 e=2,于是知 m=4,从而可求抛物线

y2=4x 的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x=﹣1,继而可得点 M 的横坐标为 ,从而得到答案

【解答】解:∵双曲线 ∴m=4,

的离心率 e=

=2= ,

∴抛物线 y2=mx=4x 的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x=﹣1; 又点 P(2,y0)在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点, ∴点 M 的横坐标为: = ,

∴点 M 到该抛物线的准线的距离 d= ﹣(﹣1)= , 故答案为: 【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查双曲线的离心率,考查等价转化思想与运算求解 能力,属于中档题.

15.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组

表示的区域,E 是到原点

的距离不大于 1 的点构成的区域,向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率是



【考点】几何概型;简单线性规划. 【专题】计算题. 【分析】本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出

题中两个区域:由不等式组

表示的区域 和到原点的距离不大于 1 的点构成的

区域的面积后再求它们的比值即可.

【解答】解析:根据题意可得点 M(x,y)满足



其构成的区域 D 如图所示的三角形, 面积为 S1=1, E 所表示的平面区域是以原点为圆心,以 1 为半径的圆及其内部, 面积为 S2=π, 故向 E 中投一点,落入 D 中的概率为 P= = .

故答案为



【点评】本题主要考查几何概型.几何概型的特点是:实验结果的无限性和每一个实验结果 出现的等可能性.在具体问题的研究中,要善于将基本事件“几何化”,构造出随机事件对应 的几何图形,抓住其直观性,把握好几何区域的“测度”,利用“测度”的比来计算几何概型的 概率. 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下命题: ①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°; ②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1+ ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点, 则直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是[ 1]; ④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ=1,则四面体 PQB1D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有①③④. (填写所有正确命题的序号) . ,

【考点】棱柱的结构特征;异面直线及其所成的角. 【专题】空间位置关系与距离;空间角;简易逻辑. 【分析】①先证明 A1B 与 A1D 所成角为 60°,又 B1C∥A1D,可得直线 A1B 与 B1C 所成的 角为 60°,判断①正确; ②将面 AB1 与面 A1C1 展开,那么动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 判 断②错误; ③由平面 BDC1⊥平面 ACC1,结合线面角的定义分别求出直线 CN 与平面 BDC1 所成角的 正弦值最大值与最小值判断③正确; ④在 PQ 变化过程中,四面体 PQB1D1 的顶点 D1 到底面 B1PQ 的距离不变,底面积不变, 则体积不变,求出体积判断④正确.

【解答】解:①在△ A1BD 中,每条边都是 ,即为等边三角形,∴A1B 与 A1D 所成角为 60°, 又 B1C∥A1D,∴直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°,正确; ②将面 AB1 与面 A1C1 展开, 那么动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 AC1, AC1= ,错误; ③如图, 由正方体可得平面 BDC1⊥平面 ACC1, 当 N 点位于 AC1 上, 且使 CN⊥平面 BDC1 时,直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值最大为 1, 当 N 与 C1 重合时,连接 CN 交平面 BDC1 所得斜线最长,直线 CN 与平面 BDC1 所成角的 正弦值最小等于 , ,1],正确;

∴直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是[

B1Q, ④连接 B1P, 设 D1 到平面 B1AC 的距离为 h, 则 h= 则四面体 PQB1D1 的体积 V= ∴正确的命题是①③④. 故答案为:①③④

B1 到直线 AC 的距离为 , ,正确.



【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间点线面的位置关系,考查了空间想 象能力和思维能力,是中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明 bn=2-2Sn 过程或演算 步骤) 17.如图所示,等腰梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,顶点 A 与顶点 B 关于原点 O 对称, 且底边 AB 和 CD 的长分别为 6 和 2 ,高为 3. (Ⅰ)求等腰梯形 ABCD 的外接圆 E 的方程; (Ⅱ)若点 N 的坐标为(5,2) ,点 M 在圆 E 上运动, 求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

【考点】直线和圆的方程的应用;圆的一般方程;轨迹方程. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)确定四个顶点的坐标,根据对称性判断出 E 在 y 轴上,设其坐标,利用两点 间的距离公式建立等式求得 E 的坐标和半径,则圆的方程可得. (Ⅱ)设出 P 的坐标,表示出 M 的坐标代入圆 E 的方程,进而求得 P 的轨迹方程. 【解答】解: (Ⅰ)由已知可得:A(﹣ ,0) ,B( ,0) ,D(﹣3,3) ,C(3,3) , 根据对称性可知,圆心 E 在 y 轴上, 设 E 的坐标为(0,n) , 则有 9+(n﹣3)2=6+n2,求得 n=2, ∴圆 E 的圆心为(0,2) ,半径为 2 ∴圆的方程为:x +(y﹣2)2=10. (Ⅱ)设 P 坐标为(x,y) , ∵P 为线段 MN 的中点, ∴ =x,xM=2x﹣5, =y,yM=2y﹣2, 代入点 M 所在圆的方程得: (2x﹣5)2+(2y﹣4)2=10, 整理得(x﹣ )2+(x﹣2)2= , ∴点 P 的轨迹方程为(x﹣ )2+(x﹣2)2= . 【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用.求圆的方程,一般是确定圆心和半径.解 决轨迹方程的问题的步骤先设点,求得变量 x 和 y 的关系即可. = ,

18.已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA=

,cosB=



(Ⅰ)求 cos(A+B)的值; (Ⅱ)设 a= ,求△ ABC 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)由 A,B,C 为△ ABC 的内角,利用同角三角函数关系式可求 sinA,sinB, 根据两角和的余弦函数公式即可得解. (Ⅱ)由(I)知,A+B=45°,可求 C,sinC 的值,由正弦定理可求得 b 的值,利用三角形 面积公式可求 S△ ABC 的值.

【解答】解: (Ⅰ)∵A,B,C 为△ ABC 的内角,且,









.…

∴cos(A+B)=AcosB+cosAsinB= (Ⅱ)由(I)知,A+B=45°∴C=135°,…

=





,由正弦定理



.…

∴S△ ABC=

.…

【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数关系式,三角形面积公式的应用,属于基 本知识的考查.

19.梯形 ABCD 中,AD∥CP,PD⊥AD,CB⊥AD,∠DAC= 将其沿 BC 折成如图②的几何体,使得 AD=

,PC=AC=2,如图①;现

(Ⅰ)求直线 BP 与平面 PAC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值. 【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面所成的角. 【专题】空间角. 【分析】 (Ⅰ)由题意分别以 BC、BA、BD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐 标系 B﹣xyz,利用向量法能求出直线 BP 与平面 PAC 成的角. (Ⅱ)求出平面 PAB 的法向量和平面 PAC 的法向量,利用向量法能求出二面角 C﹣PA﹣B 大小的余弦值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意,∵PC=AC=2, ∴ ,BD=2, . 在△ ABD 中,∵AB2+DB2=AD2,∴BD⊥BA, ∴BD、BA、BC 两两垂直, 分别以 BC、BA、BD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系 B﹣xyz(如图) .

, 设平面 PAC 的法向量为 =(x,y,z) , , ,





,取 =(1,1,0)

设直线 BP 与平面 PAC 成的角为 θ, 则 sinθ=|cps< >|= = . .

直线 BP 与平面 PAC 成的角为

(Ⅱ)设平面 PAB 的法向量为 =(a,b,c) , . .





令 c=﹣1,∴ =( ) . 由(Ⅰ)知平面 PAC 的法向量为 =(1,1,0) . ∴cos< >= = ,

由图知二面角 C﹣PA﹣B 为锐角, ∴二面角 C﹣PA﹣B 大小的余弦值为 .

【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,解题时 要注意空间思维能力的培养. 20.设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2﹣2Sn;数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn(n=1,2,3…) ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.求 Tn. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】计算题.

【分析】 (1)由已知条件 bn=2﹣2Sn;当 n=1 时先求出 Sn﹣1)=﹣2bn 通项公式求出通项. (2)求出 得到{bn}是以

,再利用 bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn﹣

为首项, 为公比的等比数列,利用等比数列的

,是一个等差数列与一个等比数列的乘积,所以

利用错位相减的方法求出和. 【解答】解: (1)由 bn=2﹣2Sn,令 n=1,则 b1=2﹣2S1,又 S1=b1 所以 …

当 n≥2 时,由 bn=2﹣2Sn,可得 bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=﹣2bn 即 …

所以{bn}是以 于是 …

为首项, 为公比的等比数列,

(2)数列{an}为等差数列,公差 从而 ∴ ,

,可得 an=3n﹣1…



… .… 【点评】求一个数列的前 n 项和,应该先求出数列的通项,根据通项的特点选择合适的求和 方法. 21.已知 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB(O 为坐标原点) ,求证: (1)A、B 两点的横坐标之积为定值; (2)直线 AB 经过定点. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)OA⊥OB 时,设直线 AB:x=my+n,代入抛物线方程,可得 y2﹣2pmy﹣2pn=0, 利用 OA⊥OB,即可证明 A、B 两点的横坐标之积为定值; (2)由(1)知,直线 AB:x=my+2p 过定点(2p,0) . 【解答】证明: (1)OA⊥OB 时,设直线 AB:x=my+n.

代入抛物线方程,可得 y2﹣2pmy﹣2pn=0, ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2= +y1y2=0,

∴y1y2=﹣4p2=﹣2pn, ∴n=2p, ∴x1x2=4p2; (2)由(1)知,直线 AB:x=my+2p 过定点(2p,0) . 【点评】本题考查抛物线方程,考查学生的计算能力,考查直线与抛物线的位置关系,比较 基础.

22.以椭圆 C:

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,以

为半径的圆称为该椭圆的“伴

随”.已知椭圆的离心率为

,且过点



(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△ AOB(O 为坐标原点) 的面积为 S△ AOB,将 S△ AOB 表示为 m 的函数,并求 S△ AOB 的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题; 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程; 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (1)由椭圆 C 的离心率,结合 a,b,c 的关系,得到 a=2b,设椭圆方程,再代入 点 ,即可得到椭圆方程和“伴随”的方程;

(2)设切线 l 的方程为 y=kx+m,联立椭圆方程,消去 y 得到 x 的二次方程,运用韦达定理 和弦长公式,即可得到 AB 的长,由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得到 k,m 的关系式,求出三角 形 ABC 的面积,运用基本不等式即可得到最大值. 【解答】解: (1)椭圆 C 的离心率为 由 c2=a2﹣b2,则 a=2b, 设椭圆 C 的方程为 , ,即 c= ,

∵椭圆 C 过点 ∴b=1,a=2,以

,∴ 为半径即以 1 为半径,



∴椭圆 C 的标准方程为



椭圆 C 的“伴随”方程为 x2+y2=1. (2)由题意知,|m|≥1. 易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y=kx+m,







设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 则 , .

又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,所以

,k2=m2﹣1.

所以

=





,|m|≥1.

(当且仅当

时取等号)

所以当 时,S△ AOB 的最大值为 1. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数,运用韦 达定理和弦长公式的运用,考查直线与圆相切的条件,考查运算能力,属于中档题.


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