2016-2017高三数学第二次月考试题(理科)


2016-2017 高三数学第二次月考试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | y ? A. {x | x ? ?1}

x ? 1} , A ? B ? ? ,则集合 B 不可能是(
B. {( x, y ) | y ? x ? 1} C. { y | y ? ? x 2 }

) D. {x | x ? ?1}

【答案】D 【分值】5 分 【解析】∵集合 A= ={x|x≥1},A∩B=?,

∴B={x|x<1},∴集合 B 不可能是{x|x≥﹣1}.故选:D. 【考查方向】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运 用. 【易错点】交集及其运算,注意集合代表元素的属性 【解题思路】求出集合 A={x|x≥1},由 A∩B=?,得 B={x|x<1},由此能求出结果.
2.已知直线 ax ? y ? 1 ? a ? 0 与直线 x ? A. 1 B. -1 C. 2

1 y ? 0 平行,则 a 的值是( 2
D.-2



【答案】D 【分值】5 分 【解析】因为直线 ax+y﹣1﹣a=0 与直线 x﹣ y=0 平行, 所以必有﹣a=2,解得 a=﹣2.故选 D 【考查方向】本题考查两条直线平行的判定,是基础题. 【易错点】两直线平行条件的应用(整式条件) 【解题思路】两条直线平行倾斜角相等,即可求 a 的值.
3.下列判断错误的是( )

A. “ | am |?| bm | ”是“ | a |?| b | ”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R, ax ? b ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, ax0 ? b ? 0 ”
页 1第

C.若 ?( p ? q ) 为真命题,则 p, q 均为假命题 D.命题“若 p ,则 ?q ”为真命题,则“若 q ,则 ?p ”也为真命题

【答案】C 【分值】5 分 【解析】对于 A,“|am|<|bm|”中可知|m|>0,由不等式的性质可判定,故正确; 对于 B,含有量词的命题的否定,先换量词,再否定,故正确; 对于 C,若¬(p∧q)为真命题,p∧q 为假命题,则 p,q 至少一个为假,故错; 对于 D,若“p,则¬q”与“若 q,则¬p”互为逆否命题,同真假,故正确. 故选:C. 【考查方向】本题考查了命题真假的判定,涉及到了复合命题的处理,属于基础题. 【易错点】对命题的否定,复合命题,充要条件的判定理解。 【解题思路】A,“|am|<|bm|”中可知|m|>0,由不等式的性质可判定; B,含有量词的命题的否定,先换量词,再否定结论; C,若¬(p∧q)为真命题,p∧q 为假命题,则 p,q 至少一个为假; D,互为逆否命题,同真假,
4.如图,阴影部分的面积是( A. 2 3 B. 5 3 ) C.

32 3

D.

35 3

【答案】C 【分值】5 分 【解析】由题意,结合图形,得到阴影部分的面积是 | = ;故选 C. =(3x﹣ )

【考查方向】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积;关键是正确利用定积分表示面积, 然后计算. 【易错点】定积分的几何意义,定积分的运算
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【解题思路】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积,然后计算.

?x ? y ? 4 ? 0 1 ? 5.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 2 y ? ( ) x 的最小值是( 4 ?y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 8 D.4



【答案】D 【分值】5 分 作出可行域如图,2y?( )x=2y﹣2x

【解析】由约束条件

令 z=y﹣2x,则 y=2x+z, 由图可知,当直线 y=2x+z,过 B(0,2)时直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值,z=2.则 2y?( )x 的最小值是:22=4.故选:D

【考查方向】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 【易错点】可行域的作图,目标函数几何意义的转化。 【解题思路】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
6.设函数 f ( x) ? 4 cos(? x ? ? ) 对任意的 x ? R , 都有 f (? x) ? f ( 则 g ( ) 的值是(

?
3

若函数 g ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 2 , ? x) ,

?

6

) C.

A. 1

B. -5 或 3

1 2

D.-2

【答案】D 【分值】5 分
页 3第

【解析】函数 f(x)=4cos(ωx+φ)对任意的 x∈R,都有 ∴函数 f(x)=4cos(ωx+φ)的其中一条对称轴为 x= 那么:g( )=sin(kπ)﹣2=﹣2.故选 D. ,∴ω×

, +φ=kπ. (k∈Z)

【考查方向】本题考查了函数的对称轴问题,三角函数的图象和性质的运用,属于基础题. 【易错点】三角函数的性质的理解 【解题思路】根据 可得 ω× +φ=kπ.可求 ,可得函数 f(x)=4cos(ωx+φ)的其中一条对称轴 x= 的值.




???? ? ? ? | MD | 2 ???? ???? ???? ? 的值为( 7. M 是 ?ABC 所在平面内一点, MB ? MA ? MC ? 0 , D 为 AC 中点,则 ???? 3 | BM |
A.

1 2

B.

1 3

C.

1

D .2

【答案】B 【分值】5 分 【解析】∵D 是 AC 的中点,∴ 又∵ ∴ ,∴ ,∴ = = . 故选:B ,

,

【考查方向】本题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式、向量的模,考 查了推理能力和计算能力,属于中档题. 【易错点】向量线性运算的转化和求解 【解题思路】D 是 AC 的中点,可得 可得出答案;
8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.


,由于

,可得

= ,即



14 3

B. 5

C.

16 3

D.6
4第

【答案】A 【分值】5 分 【解析】由三视图可知几何体是由直三棱柱 ABD﹣AFG 和四棱锥 C﹣BDGF 组合而成,直观 图如图所示:直三棱柱的底面是一个直角三角形,两条直角边分别是 1、2,高是 2, ∴几何体的体积 V=V 三棱柱 ABD﹣EFG+V 四棱锥 C﹣BDGF =V 三棱柱 ABD﹣EFG+V 三棱锥 C﹣DFG+V 三棱锥 C﹣BDF =V 三棱柱 ABD﹣EFG+V 三棱锥 F﹣CDG+V 三棱锥 F﹣BDC

1 1 4 14 ? 1? 2 ? 2 ? ? 2 ? 5 ? ? .故应选 A. 2 3 5 3

【考查方向】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积,由三视图正确复原几何体是解题 的关键,考查空间想象能力. 【易错点】三视图还原几何体,体积运算。 【解题思路】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成,由三视图求出几何元素 的长度,由分割法、换底法,以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积,
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2x ?1 2 9.已知 f ( x) ? x ,则不等式 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集为( 2 ?1
A.



(?1, 6)

B. (?6,1)

C.

(?2,3)

D. (?3, 2)

【答案】D 【分值】5 分 【解析】由题意可知 f(x)的定义域为 R. ∵ ∴f(﹣x)+f(x)=

=

=0,即 f(﹣x)=﹣f(x) ,∴f(x)为奇函数.

又 f(x)=

=

,由复合函数的单调性可得 f(x)为增函数,∴f(x

﹣2)+f(x2﹣4)<0 可化为 f(x﹣2)<﹣f(x2﹣4) 即 f(x﹣2)<f(4﹣x2) ,可得 x﹣2<4﹣x2, 即 x2+x﹣6<0,解得﹣3<x<2,故选 D 【考查方向】本题为函数的性质与不等式解法的结合,属中档题. 【易错点】复合函数单调性的分析,单调性与不等式。 【解题思路】本题要先判出 f(x)为奇函数和增函数,进而把抽象不等式转化为关于 x 的一 元二次不等式.

? ? ?sin( x) ? 1, x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 则实数 a 的取值 2 ? ?log a x(a ? 0且a ? 1), x ? 0
范围是( A. )

(0,

5 ) 5

B. (

5 ,1) 5

C.

(

3 ,1) 3

D. (0,

3 ) 3

【答案】A 【分值】5 分
【解析】原函数在 y 轴左侧是一段正弦型函数图象,在 y 轴右侧是一条对数函数的图象,要使得图象上关 于 y 轴对称的点至少有 3 对,可将左侧的图象对称到 y 轴右侧,即 y ? sin( ?

?
2

x) ? 1( x ? 0) ,应该与原来

y 轴右侧的图象至少有 3 个公共点,如图, a ? 1 不能满足条件,只有 0 ? a ? 1 .
页 6第

此时,只需在 x ? 5 时, y ? log a x 的纵坐标大于-2,即 log a 5 ? ?2 ,得 0 ? a ?

5 . 5

【考查方向】本题主要考查分段函数的应用,作出函数关于 y 对称的图象,利用数形结合的 思想是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度. 【易错点】分段函数的图像与性质,数形结合思想的应用 【解题思路】求出函数 f(x)=sin( 合即可得到结论.
11.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ,当 b ? 1 时,函数 f ( x) 在 (??, ?2) ,(1, ??) 上均为增函数,则
2 x

)﹣1, (x<0)关于 y 轴对称的解析式,利用数形结

a?b a?2

的取值范围是( A.

) B. [ ? , 2)

2 (?2, ] 3

1 3

C.

2 (??, ] 3

D. [ ?

2 , 2] 3

【答案】 A 【分值】5 分 【解析】 f ( x) ? (2 x ? a )e ? ( x ? ax ? b)e ? [ x ? (a ? 2) x ? a ? b]e ,因为函数 f ( x) 在 (??, ?2) ,
x 2 x 2 x

(1, ??) 上均为增函数,所以 f ' ( x) ? 0 在 (??, ?2) , (1, ??) 上恒成立,即 [ x 2 ? (a ? 2) x ? a ? b]e x ? 0 在 (??, ?2) , (1, ??) 上恒成立,令 h( x) ? 3 x 2 ? ax ? a ? b ,则 h( x) ? 0 在 (??, ?2) , (1, ??) 上恒成立,所
以有 h(?2) ? (?2) ? ( a ? 2) ? (?2) ? a ? b ? ? a ? b ? 0 , h(1) ? 1 ? (a ? 2) ? a ? b ? 2a ? b ? 3 ? 0 ,
2

??a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 3 ? 0 a?2 ? , 在直角坐标系内作出可行域, ?2 ? ? ? 1 ,即 a, b 满足 ? 2 ?b ? 1 ? ??4 ? a ? 2
a?b a?2?b?2 b?2 b?2 , 其中 k ? 表示的几何意义为点 P (2, ?2) 与可行域内的点 Q (a, b) 两 ? ? 1? a?2 a ?1 a?2 a?2 1 2 a?b 2 点连线的斜率,由图可知 ?3 ? t ? ? ,所以 ?2 ? t ? 1 ? ,即 的取值范围为 (?2, ] . 3 3 a?2 3

【考查方向】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题,属于中档题. 【易错点】函数恒成立的转化,线性规划的几何意义理解。 【解题思路】根据:求导公式求出函数的导数,在根据二次函数图象求出 a,b 的取值范围,
页 7第

绘制出 a,b 的取值范围,根据线性规划求出其取值范围.
12.数列 {an } 满足 a1 ?

4 1 1 1 , an +1 ? 1 ? an (an ? 1) (n ? N * ) ,且 S n ? ? ? ? ? ,则 S n 的整数部分的 3 a1 a2 an
) C.

所有可能值构成的集合是( A. {0,1, 2} 【答案】A 【分值】5 分 B.

{0,1, 2,3}

{1, 2}

D. {0, 2}

【 解 析 】 对 an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) 两 边 取 倒 数 , 得

1 1 1 , 累 加 得 ? ? an ? 1 an ?1 ? 1 an

Sn ?

1 1 1 , 由 an ?1 ? an ? (an ? 1) 2 ? 0, an ?1 ? an , an 为 单 调 递 增 数 列 , ? ? 3? a1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1

4 13 133 9 3 75 1 ,其中 S1 ? ,整数部分为 0, S 2 ? 3 ? ? ,整数部分为 0, S3 ? ,整 a1 ? , a2 ? , a3 ? 3 9 81 4 4 52 a1
数部分为 1,由于 S n ? 3 ,故选 A.

【考查方向】本题考查了数列的单调性、递推关系、“裂项求和”方法,考查了分类讨论方法、 推理能力与计算能力,属于难题. 【易错点】数列裂项求和,Sn 的整数部分的推理 【解题思路】数列{an}满足 a1= ,an+1﹣1=an(an﹣1) (n∈N*) .可得:an+1﹣an= 0,可得:数列{an}单调递增.可得 a2= ,a3= ,a4= . = >1, = >



1













=









Sn=

+

+…+

=3﹣

,对 n=1,

2,3,n≥4,分类讨论即可得出.

第Ⅱ卷
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.曲线 x ? 4 y 在点 P (m, n) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 m ?
2



【答案】1 【分值】5 分
页 8第

【解析】由 x2=4y 得,y=

,则 ,



∴在点 P(m,n)处的切线斜率 k=

∵曲线 x2=4y 在点 P(m,n)处的切线与直线 2x+y﹣1=0 垂直, ∴ ×(﹣2)=﹣1,解得 m=1,故答案为:1.

【考查方向】本题考查导数的几何意义:在切点处的斜率就是该点处的导数值,以及直线垂 直的条件,属于基础题. 【易错点】导数的几何意义,直线垂直关系的条件。 【解题思路】由 x2=4y 得 y= 出 m 的值.
14.设 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 2a ? b ,则 a ? b 的最小值为 .

,求出函数的导数,根据题意和导数的几何意义列出方程求

【答案】2 【分值】5 分

+3

【解析】∵a>0,b>0,且 ab=2a+b,b= 则 a+b=a+ =a﹣1+ +3≥3+2 .

>0,解得 a>1. =3+2 ,当且仅当 a= +1 时取等号.∴

a+b 的最小值为 2

+3.故答案为:

【考查方向】本题考查了变形利用基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 【易错点】均值不等式中二元化一元的应用。 【解题思路】 a>0, b>0, 且 ab=2a+b, b= >0, 解得 a>1. 变形 a+b=a+ =a﹣1+ +3,

利用基本不等式的性质即可得出. ? ? ? ? ? ? 2 2 15.已知向量 a ? (m, 2) , b ? (?1, n) , (n ? 0) 且 a ? b ? 0 ,点 P (m, n) 在圆 x ? y ? 5 上,则 | 2a ? b | 等
于 .

【答案】 【分值】5 分 【解析】向量 , , (n>0)且 ,∴﹣m+2n=0,①

∴点 P(m,n)在圆 x2+y2=5 上,∴m2+n2=5,②, 由①②可得 m=2,n=1,∴ =(2,2) =(﹣1,1) ,∴2 + =(3,5) ,
页 9第

∴|2 + |=

,故答案为:



【考查方向】考查向量数量积的坐标运算,曲线上点的坐标和曲线方程的关系,代入法解二 元二次方程组,向量坐标的数乘和加法运算,根据向量坐标可求向量长度. 【易错点】向量垂直的条件,点在线上的应用。 【解题思路】根据条件即可得到关于 m,n 方程组,这样由 n>0 便可解出 m,n,从而得出 向量的坐标,进而得出向量 2 + 的坐标,从而可求出向量的模.
16.三棱锥 P ? ABC 内接于球 O , PA ? PB ? PC ? 3 ,当三棱锥 P ? ABC 的三个侧面积和最大时,球 O 的体积为 .

【答案】 【分值】5 分 【解析】由题意三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直, 三棱锥 P﹣ABC 的三个侧面的面积之和最大, 三棱锥 P﹣ABC 的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的对角线的长:3 所以球的直径是 3 ,半径为 ,球的体积为 .故答案为 .

【考查方向】本题考查球的体积,几何体的外接球,考查空间想象能力,计算能力,是基础 题. 【易错点】内接球的特点,侧面积最大的理解。 【解题思路】三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,三棱锥 P﹣ABC 的三 个侧面的面积之和最大,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,求出长方体的对角线的 长,就是球的直径,然后求球的体积. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? k (3n ? 1) ,且 a3 ? 27 . (1)求数列 {an } 的通项公式; 【答案】 an ? 3n (n ? 2) 【分值】4 分 【解析】(1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? k (3n ? 1) ? k (3n ?1 ? 1) ? 2k ? 3n ?1

a3 ? 2k ? 32 ? 27 ,解得 k ?


3 , an ? 3n ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? k (31 ? 1) ? 3 ? 31 , 2
10 第

综上所述, an ? 3n (n ? 2) ;?????4 分

【考查方向】本题考查数列的应用,数列通项公式,考查计算能力. 【易错点】n≥2 条件的把握。 【解题思路】 (1)利用数列的通项公式与前 n 项和与前 n﹣1 项和的关系求解通项公式.
(2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 【答案】 Tn ? 【分值】6 分 【解析】

(2n ? 1)3n ?1 ? 3 4

①-②得: ?2Tn ? 31 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n +1 ,

?2Tn ?

3(1 ? 3n ) 3 ? n ? 3n ?1 ? (3n ? 1) ? n ? 3n ?1 1? 3 2

Tn ?

(2n ? 1)3n ?1 ? 3 .??????10 分 4

【考查方向】本题考查数列的应用以及数列错位相减求和法求和,考查计算能力. 【易错点】错位相减求和法的准确运算。 【解题思路】 (2)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求解数列的和.
18.(12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 b ? (1)求角 A ; 【答案】 A ? 60? 【分值】6 分 【解析】(1)由正弦定理得: sin B ? 又∵ sin B ? sin( A ? C )


1 c ? a cos C . 2

1 sin C ? sin A cos C 2 1 ∴ sin( A ? C ) ? sin C ? sin A cos C 2
11 第

即 cos A sin C ? 又∵ sin C ? 0

1 sin C 2
∴ cos A ?

1 又 A 是内角 2

∴ A ? 60? ??????6 分

【考查方向】本题主要考查了正弦定理, ,三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用,熟 练掌握相关公式定理是解题的关键,属于中档题. 【易错点】恒等变换公式的应用,边角统一问题。 【解题思路】 (1)由正弦定理化简已知可得: 理及三角函数恒等变换的应用化简可得 ,结合三角形内角和定 ,结合 A 为内角,即可求 A 的值.

(2)若 4(b ? c) ? 3bc , a ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积 S . 【答案】 S ? 2 3 【分值】6 分 【解析】(2)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? (b ? c ) ? 3bc
2 2 2 2 2 2

∴ (b ? c) ? 4(b ? c) ? 12
2

得: b ? c ? 6

∴ bc ? 8

∴S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 8 ? ? 2 3 ??????12 分 2 2 2

【考查方向】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,三角形内角和定理及 三角函数恒等变换的应用,熟练掌握相关公式定理是解题的关键,属于中档题. 【易错点】方程的求解,面积公式的特点 【解题思路】 (2)由余弦定理及已知可解得:b+c=6,从而可求 bc=8,根据三角形面积公式即 可得解.
19.(12 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF / / DE ,且 DE ? 6 , AF ? 2 . (1)试在线段 BD 上确定一点 M 的位置,使得 AM / / 平面 BEF ; 【答案】 M 为 BD 的一个三等分点(靠近点 B ) 【分值】5 分 【解析】 (1)取 BE 的三等分点 K (靠近点 B ),则有 kM ?

1 DE ? 2 ,过 K 作 KM ? BD 交 BD 于 M , 3

由 DE ? 平面 ABCD , AF / / DE ,可知 AF ? 平面 ABCD ,∴ AF ? BD , ∴ FA / / KM ,且 FA ? KM ,????????3 分 所以四边形 FAMK 为平行四边形,可知 AM / / FK ? AM / / 平面 BEF ,
页 12 第



MK BM 1 ? ? ,∴ M 为 BD 的一个三等分点(靠近点 B );?????5 分 ED BD 3

【考查方向】本题考查满足线面平行的点的确定,是中档题,解题时要认真审题,注意向量 法的合理运用. 【易错点】辅助线的做法,线面平行条件的构造。 【解题思路】 (1)过 K 作 KM⊥BD,交 BD 于 M,则 AF⊥平面 ABCD,从而 AF⊥BD,四 边形 FAMK 为平行四边形,进而 AM∥平面 BEF,由此求出 M 为 BD 的一个三等分点(靠近 点 B) .
(2)求二面角 A ? BE ? C 的余弦值.

【答案】 ?

1 5

【分值】5 分 【解析】(2)如图建立空间直角坐标系:

则 A(3, 0, 0), B (3,3, 0), E (0, 0, 6), C (0,3, 0) , EB ? (3,3, ?6), AB ? (0,3, 0), BC ? ( ?3, 0, 0) ,
页 13 第

??? ?

??? ?

??? ?

设平面 AEB 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 ?

?

? ?3 x1 ? 3 y1 ? 6 z1 ? 0 ,可得 n ? (2, 0,1) . ?3 y1 ? 0

平面 BCE 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 ?

??

?? ?3 x2 ? 3 y2 ? 6 z2 ? 0 可得 m ? (0, 2,1) , ?3 x2 ? 0

因为二面角 A ? BE ? C 为钝二面角,可得 cos ? ? ? |

2? 0 ? 0? 2 ?1
2 2

1 |? ? , 5 2 ?1 2 ?1

所以二面角的 A ? BE ? C 余弦值为 ? .????????12 分

1 5

【考查方向】本题考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法 的合理运用. 【易错点】坐标系的建立,法向量的准确运算,二面角的范围判定。 【解题思路】 (2)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DE 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值.
20.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 , g ( x) ? x( x ? a ) ? 1 ,其中 a 为实数.
2 2

(1)是否存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 1 ? 0 ?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由; 【答案】 a ? (0,1) 时, ?x0 ? (0,1), f ( x0 ) ? 1 ? 0 【分值】4 分 【解析】(1) f ( x) ? 1 ? ? x ? (a ? 1) x ? a ? ?( x ? a )( x ? 1) ? 0
2

∴ x ? ?1或x ? a ∴ a ? (0,1) 时, ?x0 ? (0,1), f ( x0 ) ? 1 ? 0 ??????4 分

【考查方向】本题考查了函数的零点、二次函数与判别式的关系,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 【易错点】函数零点的理解,范围的确定

【解题思路】 (1)由 f(x)+1=﹣x2+(a﹣1)x+a=0,解得 x=﹣1 或 x=a.即可判断出结论.

(2)若集合 A ? {x | f ( x) g ( x) ? 0, x ? R} 中恰有 5 个元素,求实数 a 的取值范围.

【答案】 a ? 【分值】6 分


33 2 2
14 第

【解析】(2) f ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 有 2 相异实根时,

? ? (a ? 1) 2 ? 4(a ? 1) ? 0 , ∴ a ? ?3 或 a ? 1 , g ( x) ? x( x ? a ) 2 ? 1 ? 0 有 3 个 相 异 实 根 时 , g ' ( x) ? ( x ? a )(3x ? a ) ??????6 分
当 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) =0 有 1 解; 当 a ? 0 时,a ? 有 1 解; 当 a ? 0 时, a?

a a a , g ( x) 在 (??, a ) 上增,(a, ) 上减,( , ??) 上增,极大值 g (a ) ? ?1 ? 0 , g ( x) ? 0 3 3 3 a a a , 极小值 g (a ) ? ?1 ? 0 , 要使 g ( x) ? 0 ( , a) 上减, g ( x) 在 (??, ) 上增, (a, ??) 上增, 3 3 3

有 3 解,只须 g ( ) ? 0 ,∴ a ?

a 3

33 2 .???10 分 2

下面用反证法证明 a ?

33 2 时,5 个根相异.假设 ?x0 ? R, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 2

即?

2 ? ?? x0 ? (a ? 1) x0 ? a ? 1 ? 0 2 两式相减得: ( x0 ? a )( x0 ? ax0 ? x0 ? 1) ? 0 2 x ( x ? a ) ? 1 ? 0 ? ? 0 0

2 若 x0 ? a 代入②得 0-1=0 矛盾;若 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0 代入①得 a ? 0 ,这与 a ?

33 2 矛盾. 所以假设不 2

成立,即 5 个根相异. 综上, a ?

33 2 .??????12 分 2

【考查方向】本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值、反证法、二次函数与判别式 的关系,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题. 【易错点】导数中参数讨论,反证法的程序。 【解题思路】 (2)f(x)=﹣x2+(a﹣1)x+a﹣1=0 有 2 相异解实根时,△>0,解得 a 范围.g (x)=x(x﹣a)2﹣1=0,g′(x)=(x﹣a) (3x﹣a) ,对 a 分类讨论,利用导数研究其单调性 即可得出.
21.(12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 2ax) ln x ? bx , a, b ? R .
2 2

(1) 当 a ? 1, b ? ?1 时, 设 g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x , 求证: 对任意的 x ? 1 ,g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? e ? e ;
2 2 2

【答案】证明见解析 【分值】4 分 【解析】(Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x) ln x ? x ,
2 2



15 第

所以 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e ? e x 等价于 e x ? ln x ? e ? 0 . 令 h( x) ? e x ? ln x ? e ,则 h ' ( x) ? e x ?

1 ? 0 ,可知函数 h( x) 在 (1, ??) 上单调递增, x

所以 h( x) ? h(1) ,即 e x ? ln x ? e ,亦即 e x ? ln x ? e ? 0 ????????4 分

【考查方向】本题考查导数与函数单调性的关系,不等式的证明与恒成立问题,考查等价转 化能力,分类讨论思想,考查构造法,利用导数研究函数的单调性和最值,属于难题. 【易错点】构造函数求导数,单调性的应用。 【解题思路】 (1)当 a=1,b=﹣1 时,求得 f(x)=(x2﹣2x)lnx﹣x2,原不等式等价于 ex+lnx ﹣e>0,设 h(x)=ex+lnx﹣e,求导,利用函数的单调性,可知 h(x)>h(1)=0,即可证 明对任意的 x>1,g(x)﹣f(x)>x2+x+e﹣ex;
(2)当 b ? 2 时,若对任意 x ? [1, ??) ,不等式 2 f ( x) ? 3 x ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

【答案】 (??,1) 【分值】5 分 【解析】(Ⅱ)当 b ? 2 时, f ( x) ? ( x ? 2ax) ln x ? 2 x , a ? R .
2 2

所以不等式 2 f ( x) ? 3 x ? a 等价于 (2 x ? 4ax) ln x ? x ? a ? 0 .
2 2 2

方法一:令 p ( x) ? (2 x ? 4ax) ln x ? x ? a , x ? [1, ??) ,
2 2

则 p ( x) ? (4 x ? 4a ) ln x ? (2 x ? 4a ) ? 2 x ? 4( x ? a )(ln x ? 1)( x ? 1) .
'

当 a ? 1 时, p ( x) ? 0 ,则函数 p ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 p ( x) min ? p (1) ? 1 ? a ,
'

所以根据题意,知有 1 ? a ? 0 ,∴ a ? 1 ??????8 分 当 a ? 1 时,由 p ( x) ? 0 ,知函数 p ( x) 在 [1, a ) 上单调减;
'

由 p ( x) ? 0 ,知函数 p ( x) 在 (a, ??) 上单调递增.
'

所以 p ( x) min ? p (a ) ? a 2 (1 ? 2 ln a ) ? a . 由条件知, a (1 ? 2 ln a ) ? a ? 0 ,即 a (1 ? 2 ln a ) ? 1 ? 0 .
2

设 q (a ) ? a (1 ? 2 ln a ) ? 1 , a ? 1 ,则 q (a ) ? 1 ? 2 ln a ? 0 , a ? 1 ,
'

所以 q (a ) 在 (1, ??) 上单调递减. 又 q (1) ? 0 ,所以 q (a ) ? q (1) ? 0 与条件矛盾.
页 16 第

综上可知,实数 a 的取值范围为 (??,1) .??????12 分 方法二:令 p ( x) ? (2 x 2 ? 4ax) ln x ? x 2 ? a , x ? [1, ??) , 则 p ( x) ? (2 x 2 ? 4ax) ln x ? x 2 ? a ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,所以 p (1) ? 1 ? a ? 0 , 所以 a ? 1 .??????8 分 又 p ' ( x) ? (4 x ? 4a ) ln x ? (2 x ? 4a ) ? 2 x ? 4( x ? a )(ln x ? 1)( x ? 1) , 显然当 a ? 1 时, p ( x) ? 0 ,则函数 p ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 p ( x) min ? p (1) ? 1 ? a ? 0 ,所以
'

a ?1.
综上可知 a 的取值范围为 (??,1) .??????12 分

【考查方向】本题考查等价转化能力,分类讨论思想,利用导数处理不等式问题在解答题中 主要题意为不等式上的恒成立问题,考查构造法,利用导数研究函数的单调性和最值,属于 难题. 【易错点】恒成立问题的等价转化,构造法的应用,分类讨论的分析。 【解题思路】 (2)当 b=2 时,f(x)=(x2﹣2ax)lnx+2x2,a∈R.将不等式转化成, (2x2﹣ 4ax)lnx+x2﹣a>0,利用导数求得左边函数的最小值为 1﹣a>0,a<1.
22.(12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? ln( x ? 1) ,其中 a ? R .
2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; 【答案】见解析 【分值】5 分 【解析】(I) f ( x) ? 2ax ? 2a ?
'
'

1 2ax 2 ? 4ax ? 2a ? 1 ? ( x ? ?1) x ?1 e x ( x ? 1)

当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 内单调递减.??????2 分 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,有 x ? ?1 ?
'

1 .??????4 分 2a

此时,当 x ? (?1, ?1 ?

1 ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 2a

当 x ? (?1 ?

1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 2a

【考查方向】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及构造法的应用,考查计算
页 17 第

能力. 【易错点】参数的讨论,求导数的运算。 【解题思路】 (I)求出导函数,通过当 a≤0 时,判断 f′(x)<0,得到函数的单调性,当 a >0 时,求出极值点,判断导函数的符号,得到函数的单调性.
(2)若 f ( x) ? e ? a ? 【答案】 a ? [ , ??) 【分值】5 分 【解析】(II)令 g ( x) ?

1 在区间 (0, ??) 内恒成立( e 为自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围. x ?1

1 2

ex ? x ?1 1 1 (易证) ? x ,则 g ( x) ? x e ( x ? 1) x ?1 e
2

当 a ? 0 , x ? 0 时, f ( x) ? a ( x ? 2 x) ? ln( x ? 1) ? 0 . 故当 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, ??) 内恒成立时,必有 a ? 0 .??????6 分 当0 ? a ?

1 1 1 1 时,?1 ? (1) 可知函数 f ( x) 在 (0, ?1 ? 即 x ? (0, ?1 ? ? 0 .由 ) 上单调递减, ) 2 2a 2a 2a

时, f ( x) ? f (0) ? g ( x) ,不符合题意,舍。???8 分 当a ?

1 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? 0 ,则 2

h ' ( x) ? 2ax ? 2a ?

1 1 1 x 1 2a( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 ? ? ? 2 ax ? 2 a ? ? ? x ? 1 ( x ? 1) 2 e x ( x ? 1) 2 x ? 1 ( x ? 1) 2

( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 ? ?0 ( x ? 1) 2
所以 h( x) 在 x ? 0 时单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) 恒成立,满足题意。综上,

1 a ? [ , ??) .??????12 分 2

【考查方向】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及构造法的应用,考查分类 讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力. 【易错点】对参数 a 的分类,恒成立问题的理解,导数的。 【解题思路】 (II)令 调性,求解;当 ,当 a≤0,x>0 时,当 时,分别通过函数的单

时,构造函数,通过函数的导数,利用函数的单调性转化求解即可.



18 第


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