【高中数学必修三】3.1.3概率的基本性质_图文

3.1.3 概率的基本性质

在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件,如: C1 ={ 出现 1 点 }; C2 ={出现 2 点}; C3 ={ 出现 3 点 }; C4 ={ 出现 4 点 }; C5 ={出现 5 点}; C6 ={ 出现 6 点 };
D1 ={ 出现的点数不大于 1 }; D2 ={ 出现的点数大于 3 }; D3 ={ 出现的点数小于 5 }; E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 };…… 思考: 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗?有的话,哪些是? 2. 若事件C1发生,则还有哪些事件也一定会发生?反过来可以么? 3.上述事件中,哪些事件发生会使得 K={出现1点或5点}也发生? 4.上述事件中,哪些事件发生会使事件D2与事件D3同时发生? 5. 若只掷一次骰子,则事件C1和事件C2有可能同时发生么? 6. 在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个会发生?

事件的关系与运算
(1)包含关系 一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则 事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事 件A包含于事件B),记作 B ? A (或A ? B) 如图:

B

A

例.事件C1 ={出现1点 }发生,则事件 H ={出现的 点数为奇数}也一定会发生,所以 H ? C1 注:不可能事件记作 ? ,任何事件都包括不可能事件。

事件的关系与运算
(2)相等关系
一般地,对事件A与事件B,若 B ? A且A ? B , 那么称事件A与事件B相等,记作A=B 。 如图:

B

A

例.事件C1={出现1点}发生,则事件D1={出现的点数不 大于1}就一定会发生,反过来也一样,所以C1=D1。

事件的关系与运算
(3)并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则 称此事件为事件A和事件B的并事件(或和事件), 记作 A ? B (或A ? B )。 如图:

B A? B

A

例.若事件K={出现1点或5点} 发生,则事件C1 = {出现1点}与事件C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会 发生,则 k ? C1 ? C5 .

事件的关系与运算
(4)交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生, 则称此事件为事件A和事件B的交事件(或积事 件),记作 A ? B 。 (或AB ) 如图:

B A? B

A

例.若事件 M={出现4点}发生,则事件C1 ={出现 的点数大于3点}与事件C5 ={出现的点数小于5点} 同时发生,则 M ? C1 ? C5 .

事件的关系与运算
(5)互斥事件 若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ),那么称事件A 与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试 验中都不会同时发生。
如图:

A

B

例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}不可能 同时发生,故这两个事件互斥。

事件的关系与运算
(6)互为对立事件 若 A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,那么称事 件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在 任何一次试验中不能同时发生,但必有一个发生。

如图:

A

B

例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点 数为奇数} 即为互为对立事件。 思考:你能说说互斥事件和对立事件的区别吗?

1.在某次考试成绩中(满分为100分),下列事件的关系是什么? ① A1={大于70分小于80分},A2={70分以上}; ② B1={不及格},B2={得分少于60分} ; ③ C1={90分以上},C2={95分以上},C3={大于90分小于95分}; ④ D1={大于60分小于80分},D2={大于70分小于90分}, D3={大于70分小于80分}; 2.判断下面给出的是否是互斥事件,若互斥是对立事件么? 从40张扑克牌(四种花色从1~10 各10 张)中任取一张 ①“抽出红桃”和“抽出黑桃” ②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌” ③“抽出的牌点数为 5 的倍数”和“抽出的牌点数大于 9”

概率的几个基本性质
(1)对于任何事件的概率的范围是:
0≤P(A)≤1 其中不可能事件的概率是 P(A)=0 必然事件的概率是 P(A)=1

不可能事件与必然事件是随机事件的两种特殊情况
例如,在掷骰子试验中,P(“出现的点数小于7”)=1 P(“出现的点数大于6”)=0

概率的几个基本性质
(2)当事件A与事件B互斥时,A∪B的频率
fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)

由此得到概率的加法公式:
如果事件A与事件B互斥,则

P(A∪B)=P(A)+P(B)
例如,在掷骰子试验中, P(“出现1点或2点”)=P(“出现1点”)+P(“出现 2点”)

概率的几个基本性质
(3)特别地,当事件A与事件B是对立事件 时,有

P(A)=1- P(B)
例如,在掷骰子试验中, P(“出现的点数为偶数”)=1-P(“出现的点数为奇 数”)

利用概率的几个基本性质,可以简化概率的计算



如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机
1 4

抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 1 取到方块(事件B)的概率是 问: 4 (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

1 解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)= 2

(2)P(D)=1—P(C)=

1 2

练习:
1.如果某士兵射击一次,未中靶的概率为0.05,求中靶概率。 解:设该士兵射击一次,“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件,故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲,乙两人下棋,若和棋的概率是0.5,乙获胜的概率是0.3 求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。

解:(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,因为“和棋 与“乙获胜”是互斥事件,所以 甲获胜的概率为:1-(0.5+0.3)=0.2 (2)设事件A={甲不输},B={和棋},C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件,所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7

事件的关系和运算: (或A ? B) (1)包含关系: B ? A

(2)相等关系: A=B ( B ? A且A ? B) (3)并事件(和事件): A ? B (或A ? B ) (4)交事件(积事件) A: ?B (或AB ) (5)互斥事件: A ? B ? ? (6)互为对立事件:A ? B ? ?且 A ? B 是必然事件

概率的基本性质:
(1)对于任何事件的概率的范围是: 0≤P(A)≤1 (2)如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) (3)特别地,当事件A与事件B互为对立事件时, 有 P(A)=1- P(B)


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