(甘志国)谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题


谈谈 2010 年高考数学江西卷理科压轴题
甘志国(该文已发表 数理天地(高中版),2010(9):19,21) 本文将谈谈 2010 年的全国普通高考数学江西卷理科压轴题: 高考题 证明以下命题: (1)对任一正整数 a ,都存在正整数 b, c(b ? c) ,使得 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列; (2)存在无穷多个互不相似的三角形 ? n ,其边长 an , bn , cn 为正整数且 an , bn , cn 成等 差数列. 参考答案 (1)易知 12 ,5 2 ,7 2 成等差数列,所以 a 2 , (5a) 2 , (7a) 2 也成等差数列,即对任
2 2 2

一正整数 a ,都存在正整数 b ? 5a, c ? 7a(b ? c) ,使得 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列. (2)若 an , bn , cn 成等差数列,得
2 2 2

bn ? an ? cn ? bn

2

2

2

2

(bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )
选取关于 n 的一个多项式,例如 4n(n 2 ? 1) ,使得它可按两种方式分解因式,由于



4n(n 2 ? 1) ? (2n ? 2)(2n 2 ? 2n) ? (2n ? 2)(2n 2 ? 2n)
所以,可令

?bn ? ?bn ? ?cn ?c ? n

? a n ? 2n ? 2 ? a n ? 2n 2 ? 2n ? bn ? 2n ? 2 ? bn ? 2n 2 ? 2n



?a n ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 (n ? 4) ?bn ? n ? 1 ? 2 ?cn ? n ? 2n ? 1
易证 an , bn , cn 满足①,所以 an , bn , cn 成等差数列.
2 当 n ? 4 时, an ? bn ? cn ,且 an ? bn ? cn ? n ? 4n ? 1 ? 0 ,所以以 an , bn , cn 为边

2

2

2

长可以构成三角形,将此三角形记为 ? n (n ? 4) . 任取正整数 m, n(m ? 4, n ? 4, m ? n) ,若 ? m 与 ? n 相似,得

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? ? n 2 ? 2n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1

m 2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 (m 2 ? 2m ? 1) ? (m 2 ? 1) m ? 1 ? ? ? n ?1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 (n 2 ? 2n ? 1) ? (n 2 ? 1) m 2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 (m 2 ? 1) ? (m 2 ? 2m ? 1) m ? 1 ? ? ? n ?1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 (n 2 ? 1) ? (n 2 ? 2n ? 1)
m ?1 m ?1 ? ,m ? n n ?1 n ?1
这与 m ? n 矛盾!所以任意两个三角形 ? m 与 ? n (m ? 4, n ? 4, m ? n) 互不相似.即欲证成 立. 在本题第 (2) 问中,有 an ? bn ? cn 或 an ? bn ? cn . 若 an ? bn ? cn ,又设
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(an , bn , cn ) ? ( x, z, y) ,得 x, y, z 是互质的正整数且 x 2 ? y 2 ? 2z 2 ( x ? y, y ? z ? x)
求方程②的正整数解就是解不定方程问题. 早在 1995 年,笔者就在文献[1]中给出了以下结论(也可见专著[2]): 定理 1
[1 ]



方程 x 2 ? y 2 ? 2 z 2 ( x, y, z 两两互质, x ? y ) 的全部正整数解为

? x ? r 2 ? s 2 ? 2rs ? ? 2 2 ? y ? r ? s ? 2rs ? 2 2 ? ?z ? r ? s
其中 r , s ? N* , r ? s,2 ? r ? s (“?”表示不整除) , (r, s) ? 1 . 证明
2 2 有 2 x ? y ,因为 ( x, y ) ? 1 ,所以 x , y 均为奇数.

由 x ? y 知, 可设 x ? y ? 2a, x ? y ? 2b(a, b ?N*), 所以 x ? a ? b, y ? a ? b, (a, b) ? 1.
2 2 2 把它代入 x ? y ? 2 z ,得 a ? b ? z ,且由 (a, b) ? 1 得 a, b, z 两两互质,由勾股数组
2 2 2

的求法(参见文献[3]),得

?a ? 2rs ? 2 2 ?b ? r ? s ?z ? r 2 ? s 2 ?



?a ? r 2 ? s 2 ? ?b ? 2rs ?z ? r 2 ? s 2 ?

其中 r , s ? N* , r ? s,2 ? r ? s , (r, s) ? 1 .所以

? x ? r 2 ? s 2 ? 2rs ? ? 2 2 ? y ? r ? s ? 2rs ? 2 2 ? ?z ? r ? s
因为在方程②中, “正整数 x, y , z 两两互质”等价于“正整数 x, y , z 互质” ,所以由定理 1 可得以上高考题第(2)问的一些答案,比如选 r ? n(n ? 4), s ? 1,可得以上参考答案第(2) 问,选 r ? 2, s ? 1 ,可得以上参考答案第(1)问. 这道高考压轴题以整数性质为背景,实际上,有很多高考题喜欢考查整数性质,比如 2010 年高考江西卷文科压轴题、湖北卷理科第 20(2)题,2007 年湖北理科卷中的四道题 所以在高考复习备考中,应重视这方面的研究.
[4]

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1 2 3 4

参考文献 甘志国.有理数集上不存在四连贯的二次多项式[J].数学通讯,1995(12):23-26 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009.117 魏万迪.整数入门[M].成都:四川教育出版社,1988.268 甘志国.2007 年高考湖北卷的一大特色——整数性质[J].数学通讯,2007(18):19-20,18


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