11-12初等数论 期末试卷 参考答案 A(数学091)

莆田学院期末考试参考答案及评分标准 2011 —— 2012 学年第 一 学期
课程名称: 初等数论 适用年级/专业 学历层次: 本科

(A)卷
数学 091

试卷类别:开卷( )闭卷(√)

考试用时: 120 分钟

一、填空题(每空 2 分,共 20 分) 1、 ① 2、 ① 3、 ① 4、 ① 5、 ① 6、 ① 9072 4 无 -2,-1,0,1,2 -1 星期三

7、 ① 若 p 是素数,则 a p ? a(mod p) 。 8、 ① 9、 ① 6 (28,45,53) (注:答案不惟一!) ② 2,5,6,7,8,11

二、计算题(每小题 10 分,共 50 分) 1、(10 分) 解:因为 (6,14,32) ? 2 ,而 2|80 ,所以原不定方程有整数解。将原方程化简得

3x ? 7 y ? 16 z ? 40 。
设 3x ? 7 y ? t ,显然, x ? ?2t , y ? t 是方程 3x ? 7 y ? t 的一个解。因此,其通解为

? x ? ?2t ? 7u (u为任意整数) 。 ? y ? t ? 3u ?
1

‥‥‥‥(5 分)

把 3x ? 7 y ? t 代入原三元一次不定方程得: t ? 16 z ? 40 ,这个二元一次不定方程的通解

为?

?t ? 8 ? 16v (v为任意整数) , ? z ? 2?v

把 t =8+16v 分别代入 x, y ,可得原不定方程的通解为

? x ? ?16 ? 32v ? 7u ? ? y ? 8 ? 16v ? 3u (u , v为任意整数) (注: 答案形式上不唯一! ) ? z ? 2?v ?
2、(10 分) 解:由 (2, 243) ? 1 及①式可得:

‥‥‥‥(5 分)

2 x ? 8 y ? 58 ? 0(mod143)



由②,③得: 17 y ? 142 ? 0(mod143) ,解此一次同余式得 y ? 42(mod143) , ‥‥‥‥(5 分) 再由①式 x ? 4 ? 42 ? 29 ? 0(mod143) ,即 x ? 4(mod143) 。

? x ? 4(mod143) 所以此联立同余式的解是 ? 。 ? y ? 42(mod143)
3、(10 分) 解:注意到原式与下面的同余式组等价:

‥‥‥‥(5 分)

? f ( x) ? 0(mod 5) ? ? f ( x) ? 0(mod 7)
容易验证 f ( x) ? 0(mod5) 有两个解: x ? 1, 4(mod5) ;
f ( x) ? 0(mod 7) 有三个解: x ? 3, 5,6(mod 7) 。

‥‥‥‥(5 分)

故同余式 f ( x) ? 0(mod 35) 有 6 个解,即各同余式组

? x ? b1 (mod 5), b1 ? 1, 4 的解。 ? ? x ? b2 (mod 7), b2 ? 3,5, 6
由孙子定理得 x ? 21b1 ? 15b2 (mod35) ,以 b1 , b2 的值分别代入上式即得原同余式的全部解:
2

x ? 6,19, 24, 26,31,34(mod35) 。

‥‥‥‥(5 分)

4、(10 分) 解: (1) 根据 Jacobi 符号的值不可以判断二次同余式是否有解。比如,根据 Jacobi 符号
? 2 ? ? 2 ?? 2 ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? 1 ,但是同余式 x ? 2(mod9) 无解。 ? 9 ? ? 3 ?? 3 ?

‥‥‥‥(4 分)

? m ? ? p p ? pk (2) 根据 Legendre 符号的性质 ? ? ? ? 1 2 ? p? ? p ? ? ?
Jacobi 符号,则

? ? p1 ?? p2 ? ? pk ? ?m? ? ? ? ?? ??? ? ,若把 ? ? 视为 ? ? p ?? p ? ? p ? ? p? ? ? ?? ? ? ? ? ?

?m? ? ? ? p? ? ? ? (?1)
m ?1 p ?1 ? 2 2

? p? ? ? ?m?

? (?1)

m ?1 p ?1 ? 2 2

? p ?? p ? ? p ? ? ?? ? ?? ? ? p ?? p ? ? p ? ? 1 ?? 2 ? ? k ?
? (?1)
p1 ?1 p ?1 ? 2 2

? (?1)

m?1 p ?1 ? 2 2

? p1 ? ? ? ? (?1) ? p? ? ?

p2 ?1 p ?1 ? 2 2

? p2 ? ? ??? (?1) ? p? ? ?

pk ?1 p ?1 ? 2 2

? pk ? ? ? ? p? ? ?

? (?1)

p ?1 ? p ?1? m ?1 p1 ?1 ? ??? k ? ? 2 ? 2 2 2 ?

? p1 ? ? p 2 ? ?p ? ? ? ? ? ?? ? ? k ? ? p? ? p ? ? p ? ? ? ? ? ? ?

注意到

pk ?1 p1 ?1 m ?1 ? ??? 2 2 2

为偶数。 ‥‥‥‥(6 分) ‥‥‥‥(2 分)

因此, 可以使用 Jacobi 符号的性质求 Legendre 符号的值。 5、(10 分) 解:由于 d ? (a1 , a2 ,?, a49 ) ,则 d | (a1 ? a2 ? ? ? a49 ) ,即 d | 999。 故 d 是 999 ? 33 ? 37的约数。 又因为 d | ak , k ? 1,2,?,49,则 a k ? d , 于是必有 999 ? a1 ? a2 ? ? ? a49 ? 49d , 得到 d ? 又由 d 是 999 的约数可知 d 只能是 1,3,9。
3

999 ? 21 。 49

‥‥‥‥(3 分)

又因为 999 能写成 49 个数的和: 9 ? 9 ?? 9 ? 567 ? 999 , ? ?? ? ?
48个9

其中每一个数都能被 9 整除,所以 d 的最大值为 9。 三、证明题(10 分)

‥‥‥‥(5 分)

解:由假设知道 x1 , x2 分别通过 m1 , m2 个整数。因此, m2 x1 ? m1x2 通过 m1 , m2 个整数。 ‥‥‥‥(3 分) 那么只需证明这 m1 , m2 个整数是两两互不同余即可。

? ? ?? ?? 假定 m2 x1 ? m1 x2 ? m2 x1 ? m1x2 (mod m1m2 ) ,



? ?? ? ?? 其中 x1 , x1 是 x1 所通过的完全剩余系中的整数,而 x2 , x2 是 x2 所通过的完全剩余系中的整
数,

?? ? ?? ? ?? 由 于 m2 x? ? m2 x1 , , (mod m1 ) m1 x2 ? m1 x2 (mod m2 ) , 以 及 (m1 , m2 ) ? 1 即 得 x1 ? x1(modm1 ) 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? x2 ? x2 (mod m2 ) 。则 x1 =x1 , x2 =x2 。这表明若 x1 , x2 与 x1 , x2 不全相同,则①式不成立。
‥‥‥‥(7 分) 四、应用题(每小题 10 分,共 20 分) 1、 解:根据题意,可得到下面的同余式组:

? x ? 1(mod5) ? x ? 5(mod6) ? , ? x ? 4(mod7) ? ? x ? 10(mod11) ?

‥‥‥‥(3 分)

此时 b1 ? 1, b2 ? 5, b3 ? 4, b4 ? 10 , m ? 5 ? 6 ? 7 ? 11 ? 2310 , M 1 ? 6 ? 7 ?11 ? 462 , M 2 ? 385,

M 3 ? 330, M 4 ? 210。
' ' ' 解 M i' M i ? 1(modmi ),i ? 1,2,3,4 ,得 M1' ? 3, M 2 ? 1, M 3 ? 1, M 4 ? 1 。

‥‥‥‥(3 分)

(mod2310 。 ) 故 x ? 3 ? 462 ? 385? 5 ? 330? 4 ? 210? 10 ? 2111

‥‥‥‥(4 分)

2、 解:设 33L 的倒 x 次,15L 的倒 y 次。
4

解不定方程 33x ? 15 y ? 12 ,即 11x ? 5 y ? 4 得

‥‥‥‥(2 分)

? x ? 4 ? 5t (t为任意整数) ,显然有无穷多种倒法, ? ? y ? 8 ? 11t
但是,最简单的一种是: 即 x ? 4, y ? 8 是 33x ? 15 y ? 12 的一个正整数解。 ‥‥‥‥(6 分)

具体操作方法如下:可装 33 L 油的容器盛油 4 次,倒入可装 15 L 的容器中 8 次,则可剩 下 12 L 油。 ‥‥‥‥(2 分)

5


相关文档

【精选资料】11 12初等数论 期末试卷 参考答案 A数学091
11-12 初等数论 期末试卷 A(数学091)
20111 初等数论 期末试卷 参考答案 A(数学091)
小学数学第十一册期末试卷A
11-12-01信息工程学院概率论期末试卷(A)答案
20111 初等数论 期末试卷 A(数学091)
11-12-1《护理心理学》期末试卷A(答案)
浙江工商大学10-11高等数学(下)期末试卷(A)答案-试卷也在文库6学分
11~12(下)县四年级数学期末试卷
11-12-1《高等数学A(工科数学分析)》第一学期期末试卷(精简版)
电脑版