2019年-高中数学课件(必修一)全册-PPT精选文档_图文

高中数学课件
宋老师 2019.5.18

永一切隔数形数焉数 远体莫离形少无能与 联 忘分结数形分形 华系 几家合时时作本 罗莫 何万百难少两是 分 代事般入直边相 庚 离 数休好微觉飞倚

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第一章:集合与函数
第二章:基本初等函数 第三章:函数的应用

第一章:集合与函数
第一节:集合

集合的含义与表示
一、请关注我们的生活,会发现………
1、高一(9)班的全体学生:A={高一(9)班的学生} 2、中国的直辖市:B={中国的直辖市}

3、2,4,6,8,10,12,14:C={ 2,4,6,8,10,12,14}
4、我国古代的四大发明:D={火药,印刷术,指南针,造纸术} 5、2019年雅典奥运会的比赛项目:E={2019年奥运会的球类项目}

如何用数学的语言描述这些对象?? 二、集合的定义与表示
1、通常,我们把研究的对象称为元素,而某些拥有共同特征的元素所组 成的总体叫做集合。并用花括号{}括起来,用大写字母带表一个集合,其 中的元素用逗号分割。 2、集合有三个特征:确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来 判断是否为一个集合。

讨论1:下列对象能构成集合吗?为什么? 1、著名的科学家 2、1,2,2,3这四个数字 3、我们班上的高个子男生

讨论2:集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一个集合吗?

三、数集的介绍和集合与元素的关系表示
1、常见数集的表示
N:自然数集(含0)即非负整数集 N+或N*:正整数集(不含0) Z: Q: R: 整数集 有理数集 实数集

?

2、集合与元素的关系(属于∈或不属于? )
若一个元素m在集合A中,则说 m∈A,读作“元素m属于集合A”

否则,称为m?A,读作“元素m不属于集合A。
例如:1∈N, -5 ∈ Z, ? ?Q 1.5 ? N

四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法 注意:1、元素间要用逗号隔开; 2、不管次序放在大括号内。 例如:book中的字母组成的集合表示为: {b,o,o,k}{b,o,k} 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。 {1,4} {(1,4)}

2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式 { x | p(x) } 为: 例如:book中的字母的集合表示为:A={x|x是 book中的字母} 所有奇数组成的集合:A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合:A={x∈R|x=2k, k∈Z} 注意:1、中间的“|”不能缺失; 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z,除非上下文明确表示 。 思考:1、比较这三个集合:

A={x ∈Z|x<10},B={x ∈R|x<10} , C={x |x<10} ;
例题:求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。 解:(1)列举法:{-1,1}或{1,-1}。 (2)描述法:{x|x2-1=0,x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}

2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同,则它们相等。 例:集合A={x|x为小于5的素数},集合A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0},这两 个集合相等吗。

五、集合的分类
根据集合中元素个数的多少,我们将集合分为以下两大类: 1、有限集:含有有限个元素的集合称为有限集特别,不含任何元素的集 合称为空集,记为 ?,注意:?不能表示为{?}。 2.无限集:若一个集合不是有限集,则该集合称为无限集

练习题
1、直线y=x上的点集如何表示? 2、方程组 x+y=2 x-y=1 的解集如何表示?

3、若{1,a}和{a,a2}表示同一个集合, 则a的值不能为多少?

集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3,等等,类比实数之间的关系, 你会想到集合之间的什么关系? 观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗? ⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; ⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合; ⑶ 设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}.

一、子集和真子集的概念
1、子集:一般地,对于两个集合A、B, 如果集合A中任意一个元素都是 集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子 集.
读作:A包含于B,或者B包含A 可以联系数与数之间的“≤”

B

A

2、真子集:

3、空集:
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,并规定:空集是任何集合

的子集,空集是任何非空集合的真子集。

4、补集与全集
? 设A?S,由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集, 记作CSA ,即CSA ={x|x∈S,且x?A} 如图,阴影部分即CSA. S

A

如果集合S包含我们所要研究的各个集合,这时集合S看作一个全集,通 常记作U。 例题、不等式组

{

2 x - 1 > 0 的解集为A,U=R,试求A及C A,并把它们 U 3 x -6 ? 0

分别表示在数轴上。

思考:
1、CUA在U中的补集是什么? 2、U=Z,A={x|x=2k,k∈Z}, B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA=___, CUB=____。

练习题
1 、下列命题: 重点考察对空集的理解! (1) 空集没有子集; (2) 任何集合至少有两个子 集; (3) 空集是任何集合的真子 集; (4) 若 ? ? A,则 A ?? . 其中正确的有 ( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 )

y 3 2 . 设 x , y ? R , A ? {(x, y) | y 3 ? x 2}, B ? {(x, y) | ? 1}, x 2 则 A , B 的关系是 ______.

3 . 已知 A ? { | ? 2 ? ? 5 }, B ? { | ? 1 ? ? 2 ? 1 }, B ? A, 求实数 的取值范围 .

x a

x

x a xa

4、补集与全集

4、设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x-a≥0},若A是B的真子集,求实数 a的取值范围。
5、设A={1,2},B={x|x?A},问A与B有什么关系?并用列举法写出B?

2 2 2 6 、设集合 A ? {x | x ? 4x ? 0}, B ? {x | x ? 2(a ? 1)x ? a 1 ? 0, a ? R}

若 B ? A ,求实数 a 的值 .

7、判断下列表示是否正确:

(1)a ?{a};
(5)0??;

(2) {a} ∈{a,b};
(6) ? {-1,1}.

(3){a,b} ?{b,a}; (4){-1,1}?{-1,0,1}
?

集合与集合的运算
1、交集
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集, 记作A∩B,即 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。 U A

A∩ B

B

其实,交集用通俗的语言来说,就是找两个集中中共同存在的元素。 例题:

1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};

A
2,3

C -1,1

B -2

交集的运算性质:

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? B ? A (4) A ? B ? A , A ? B ? B (5) A ? B 则 A ? B ? A
思考题:如何用集合语言描述?

设平面内直线 l 上的点的集合为 L , 直线 l 上点的集合 L , 试用集 1 1 2 2 的运算表示 l , l 的位置关系 . 1 2
解 : ( 1 ) 直线 l , l 相交于一点 P 可表示为: L L { 点 P }; 1 2 1? 2? (2) 直线 l , l 平行可表示为: L L ? ; 1 2 1? 2? (3) 直线 l , l 重合可表示为: L L L L . 1 2 1? 2? 1? 2

2、并集
一般地,由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合,称为A与B的并集, 记作A∪B,即 A∪B = {x|x∈A,或x∈B} A∪B可用右图中的阴影部分来表示 B A U

其实,并集用通俗的语言来说,就是把两个集合的元素合并到一起。所以交 集是“求同”,并集是存异。 例题: 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3} ={x|-1<x<3} 求A∪B.

-1

1

2 3

并集的运算性质:

(1) A?A? A (2) A??? A (3) A?B ? B?A (4) A? A?B, B ? A?B, A?B ? A?B (5) A? B则 A?B ? B
注意:计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像,减少犯错的几率,常用 的图像有Venn图,数轴表示法,坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点 的时候。

练习题
1、判断正误 (1)若U={四边形},A={梯形}, 则CUA={平行四边形} (2)若U是全集,且A?B,则CUA?CUB (3)若U={1,2,3},A=U,则CUA=? 2. 设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3},且CBA={5},求实数a的值。 3. 已知全集U={1,2,3,4,5},非空集A={x?U|x2-5x+q=0},求CUA及q的值。
2 2 4 、已知 ? { | ? ? 2 ? 0 }, ? { | ? ? ? 0 } 且 ? ? { ? 2 , 1 , 5 },

Ax xpx Bx xqx r A B A ? B ? { ? 2 }, 求 p , q , r 的值 . ( 解得 : p ? ? 1 , q ? ? 3 , r ? ? 10 )
2 2

2 5 、设 ? { ? 4 , 2 ? 1 , }, ? { ? 5 , 1 ? , 9 }, 已知 ? ? { 9 }, 求 的值 , 并求 ? .

7 、设集合 ? { | ? 2 ? ? ? 1 } ? { | ? 1 }, ? { | ? ? } 若 ? ? { | ? ? 2 }, ( 解得 a ? ? 1 , b ? 3 ) ? ? { | 1 ? ? 3 }, 求 , 的值 .

A xx x xB x a x b A B x x A B xx a b

A aa B a a A B a A B 6 、已知 A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0 }, B ? { x | x ? ax ? a ? 1 ? 0 } 若 A ? B ? A , 求实 a 的 .

第一章:集合与函数
第二节:函数

函数及其表示
一、函数的概念
小明从出生开始,每年过生日的时候都会测量一下自己的身高,其测量数据 如下:
年龄(岁) 身高(cm)

1 30

2 40

3 50

4 60

5 70

6 80

7 90

8 100

9 110

10 120

从以上两个例子,我们可以把年龄当做一个集合A,身高当做一个集合B;把 时间当做一个集合C,把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个 元素,集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如,对于A的每一个元素 “乘以10再加20”,就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以 4.9”就得到集合D中的元素。

因此,函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如 下: 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为 集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),x∈A。 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y 值叫做函数值(因变量),函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应 的关系f则成为对应法则,则上面两个例子中,对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以4.9” 1 2 3 4 5 6 7 8
乘以10再加20

30 40 50 60 70 80 90 100

1 1.5 2 3 5 6 7 8

平方后乘以4.9

4.9 ? ? ? ? ? ? ?

二、映射
通过上面的两个例子,我们说明了什么是函数,上面的两个例子都是研究的 数值的情况,那么进一步扩展,如果集合A和集合B不是数值,而是其他类型的 集合,则这种对应关系就称为映射。具体定义如下: 设A、B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合 A中的任何一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应,那么就称 对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射。 国家 中国 首都 北京

美国
韩国 日本

华盛顿
首尔 东京

因此,函数是映射的一 种特殊形式

三、函数的三种表示方法
解析法,图像法,列表法。详见课本P19页。

四、开区间、闭区间和半开半闭区间

实数R的区间可以表示为(- ∞ ,+ ∞ )

★深入理解函数表示方法的解析法

五、着重强调的几个问题及考试陷阱
1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分,大部分的章节都会与 函数进行穿插出题。 2、不管是映射还是函数,都是唯一确定的对应,即对于A中的元素有且仅有一 个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到:可以多对一,而不能

一对多。
平方 1

-1
2

-2

√ ×
1 4
4

开方

2

-2
3

9

-3

3、分母不能等于零,二次根号下不能为负数,分子分母的未知数不能随便约, 根号不能随便去掉,都是求定义域的典型考点。详见课本例题。 4、判定两个函数相同的条件:一是对应法则相同,二是定义域和值域相同。

练习题
1 、判断下列对应是否为 函数 : 2 ?? 1x ? , x ?0 , x ?R;

x ? ?x ?y, 2 这里 y2 ? x, x ?N, y ?R .
2、下列几种说法中,不正确的有:______________ A、在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应; B、函数的定义域和值域一定是无限集合; C、定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定; D、若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个元素。 E、若函数的值域只含有一个元素,则定义域也只含有一个元素。

3 、求下列函数的定义域 :

?? 1 f? x? ?

x ?1;

? ?g? 2 x? ?

1 . x ?1

4、求下列函数的值域

? ? ?? ? ?? ? ? 1 f x? x ? 1 1 , x ? ? 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ; ? ? ?? ? ?? 2 f x? x ? 1 1 .
2 2

5、判断下列各组函数是否表示同一函数?
x2 ?1 ( 1 ) 、 y? 与 y ? x ?1 x ?1 (2 ) 、 y? x2 ?1 与 y ? x ?1

1、 求 下 列 函 数 的 定 义 域 ( 1) f ( x ) ? 3x ? 2 2 (2) f ( x) ? ? x ? 3 (3 ) f ( x ) ?
3

x ?

2

? 4

9 ? x

2

( x ? 1) 0 x
2

? x

2、求下列函数的值域: (1)y ?

x ?1 ? 2

(2)y ? x 2 ? 4x ? 6

函数的基本性质——单调性
y y f(x2) f(x1) f(x1)

f(x2)

O

x1

x2

x

设函数y=f(x)的定义域为A,区间I

? A.

x1 x2 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I

O

? A.

x

如果对于属于定义域A内某个区间I 上的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ), 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数,I称为f(x)的单调增区间.

如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2,
当x1<x2时,都有 f (x1 ) > f(x2 ), 那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数,I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间

二、函数单调性考察的主要问题

y

2、x 1, x 2 取值的任意性.
f(x2) M I x1 x2 x N

f(x1)
O

3、证明一个函数具有单调性的证明方法:从定义出发,设定任意的两个x1和x2, 且x2>x1,通过计算f(x2)—f(x1)>0或者<0恒成立。里面通常都是用因式分解的办 法,把f(x2)—f(x1)转化成(x2-x1)的表达式。最后判断f(x2)—f(x1)是大于0还是 小于0。

例1、下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像,指出它的单调区间。 y 3 2 1 -1.5 -2 -1

-4

-3

o

1
-1 -2

2

3

4

5

6

7 x

解:单调增区间为

[-1.5,3],[5,6]

单调减区间为 [-4,-1.5],[3,5],[6,7]

例2.画出下列函数图像,并写出单调区间:

y

(1) y ?

1 y ? x
x

1 (x ? 0); x

1 ( ?? , 0) , (0, ?? ) y? 的 单 调 减 区 间 是 _____________ x

讨论1:根据函数单调性的定义, 1 能 不 能 说 y ?( x ? 0 ) 在 定 义 域 ( ? ? , 0 ) ( 0 , ? ? ) 上 x 是 单 调 减 函 数 ? 讨论2: f (x) ? (k ? 0) 在(-∞,0)和(0,+∞)上 的单调性?
k x

例3.判断函数 y ? x ? 主要步骤

1 在定义域[1,+∞)上的单调性,并给出证明: x

1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2. 作差f(x1)-f(x2);
3. 变形(通常是因式分解和配方); 4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

5. 下结论

证明:在区间[1,+∞)上任取两个值x1和x2,且x1<x2
1 1 f ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? ) ? ( x ? ) 则 1 2 1 2 x x 1 2
1 1 ?(x ? x ) ? ( ? ) 1 2 x x 1 2

取值

作差
变 形

(x 2 ?x 1) ?(x ? x ) ? 1 2 x 1? x 2 x 1 1? x 2? ?(x ? x )( ) 1 2 x 1?x 2

x ,x ? 1 ,? ? ? ?,且x1 ? x 2 ? x ? x ? 0 , x x ? 10 ? 1 2 1 2 12

定号 结论

? f ( x ) ? f ( x ) ? 0 , ? f ( x ) ? f ( x ) 1 2 1 2

1 所以函数 y ? x ? x

在区间上

?1, ?? ? 是增函数.

练习题
? ? ? ,1 ? 上单调递增,求a的取值

2 x )? ? x ? a x ? 4 在区间 1、若二次函数 f( 范围。

2、课后习题

函数的基本性质——极值(最大值和最小值)

y f(x2)

y

f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2 x

O

O

x1

x2

y

y ? x ?1

y

y ? ?x ?1
o x
o

x

y

y
y ? x2

1 y ? x

y
2 1 -2 -1 -1 -2

y=-x2+2
1 2

o

x

x

x

一元二次函数
一、定义
一般地,如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。 y y

x 0 0

x

由y=ax2+bx+c

配方

二、三种解析式及使用范围
解析式 使用范围

一般式
顶点式

y=ax2+bx+c

已知任意三个点
已知顶点(h,k)及另一点

y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)

交点式

已知与x轴的两个交点及另一个 点

三、一般式中a,b,c的作用和判断
(1) 确定抛物线的开口方向:
0 (2) 确定抛物线与y轴的交点位置: (3)

a

y

a<0

y 0 x 0

a<0 x

x
y c

c

a、b确定对称轴
ab>0 ab=0

x=- b 2a

的位置: y

Δ<0 Δ=0 Δ>0 x

ab<0

Δ>0

Δ=0

Δ<0

0

四、平移问题
对一个已知函数进行平移,如函数的表达式可以统一表示为y=f(x),则平移后的
方程遵循右上减,左下加的原则,具体如下: 向右平移k个单位,则平移后的表达式为y=f(x-k); 向左平移k个单位,则平移后的表达式为y=f(x+k); 向上平移h个单位,则平移后的表达式为y-h=f(x); 想下平移h个单位,则平移后的表达式为y+h=f(x); 如果在横向和纵向上都有移动,则同时根据上述原则变化y和f(x),各变各 的,再进行整理。如:向左平移k个单位,向上平移h个单位,则平移后 的表达式为y-h=f(x+k)

注意: 1、在替换的时候要替换所有的,尤其是x,替换时候最好带上括号,避免出错。 2、平移的先后次序不影响平移结果,即无所谓先向左右,还是先向上下。只要 是向坐标轴的正向移动,就用负号,只要是向坐标轴的负向移动就用正号。

(3) ①画对称轴 ②确定顶点 ③确定与坐标轴的交点 及对称点 ④连线 y x=-1

?

A(-3,0)
D

B(1,0)

0

?

x

M(-1,-2)

? ?

(6) 由图象可知 当-3 < x < 1时,y < 0 当x< -3或x>1时,y > 0

(5)
当x≤-1时,y随x的增大而减小; 当x=-1时,y有最小值为y最小值=-2

四、巩固练习

? ? ? ? 的顶点坐标是( ). y ? 2 x ? 1 x ? 3 1.抛物线
(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8) 与坐标轴的交点个数 2.在同一直角坐标系中,抛物线 是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则有( (A) a<0,b<0,c>0 (C) a<0,b>0,c>0 (B) a<0,b<0,c<0 (D) a>0,b<0,c>0 )
2 y?x ? 4 x? 5

4、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。 5、抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________ 6、已知函数y=—x2-x-4,当函数值y随x的增大而减小时,x的取值范围是 ___________ 7、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点,则m= ____。 8、二次函数的图象如图所示,则在下列各不等式中成立的个数是__________ ①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0 y

-1
0

1

x

9、二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2, 则x1+x2等于_________. 10、数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-1]时是减函数,当x∈(-1,+∞)时是增函数,则 f(2)= _______. 11、关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大,另一根比1小,则有( )

(A)-1<a<1
(C)-2<a<1

(B)a<-2或a>1
(D)a<-1或a>2

12、设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根,则

(x-1)2+(y-1)2的最小值是(
(A)-12 (B)18 (C)8

C ) (D)34

13、设函数f(x)=|x|·x+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0时,f(x)=0只有一个实数根; ②c=0时,y=f(x)是奇函数; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④方程f(x)=0至多有2个实数根. ①②③ 上述命题中的所有正确命题序号是_______

函数的基本性质——奇偶性
1、已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1), 及f(-x) ,并画出它的图象。

(-x,y)
f(-x)

y

( x,y)
f(x)

解:

f(-2)=(-2)2=4

f(2)=4

f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x)
-x o x x

f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2

说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时, 对应的函数值相等即f(-x)=f(x) 偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.

2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)

解:

f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3

y

f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x)
-x

f(x)

(x,y)
x

o
f(-x)

x

说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的 函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)

(-x,-y)

奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.

★对奇函数、偶函数定义的说明:
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如, f(x)=x2 (x>0)是

偶函数吗 [-b,-a]

O

[a,b]

x

(2)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即: 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。 (3) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x) 具有奇偶性。

例1. 判断下列函数的奇偶性

(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R = -x3-2x = -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数

(2) f(x)=2x4+3x2
解: 定义域为R

∵f(-x)=(-x)3+2(-x)

∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 即 f(-x)= f(x)

∴f(x)为偶函数

★奇偶函数图象的性质:
(1)偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数. (2)奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数.

注:奇偶函数图象的性质可用于: ①.简化函数图象的画法。 ②.判断函数的奇偶性。

★两个定义:

对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。

如果都有f(-x)= f(x)
★两个性质: 一个函数为奇函数 一个函数为偶函数

f(x)为偶函数。

它的图象关于原点对称。 它的图象关于y 轴对称。

练习题

(2) f(x)= - x2 +1 (3). f(x)=5 (4) f(x)=0

(5). f(x)=x+1

(6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]

第二章:基本初等函数
第一节:指数函数

指数与指数幂的运算
根式

探究

a,a≥0 –a,a≤0

分数指数幂

指数运算法则

结 合 具 体 的 理 解 进 行 记 忆

指数函数及其性质
王新敞
奎屯 新疆

引例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……. 1个这样的 细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分裂次数:1,2,3,4,…,x 细胞个数:2,4,8,16,…,y

由上面的对应关系可知,函数关系是

y ? 2x

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x年后的价 格为y,则y与x的函数关系式为

y ? 0.85x

定义

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做
x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,其中x是自变量,函数定义域是R 指数函数.即: y

探究1:为什么要规定a>0,且a ≠1呢?

a ①若a=0,则当x>0时,
x=

x

1 ②若a<0,则对于x的某些数值,可使 a 无意义. 如 ( ? 2 ) ,这时对于x= , 4 1
x
x

=0;当x

? 0时,

a x 无意义.

,…等等,在实数范围内函数值不存在. 2 x ③若a=1,则对于任何x ∈R, a =1,是一个常量,没有研究的必要性. 义,且 a x >0. 因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).

为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1 在规定以后,对于任何x R, 都有意

引例:

x

… … …

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

x

… … …

-1.5 0.03 31.62

-1 0.1 10

-0.5 0.32 3.16

-0.25 0.56 1.78

0 1 1

0.25 1.78 0.56

0.5 3.16 0.32

1 10 0.1

1.5 31.62 0.03

… … …

a>1
6

0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

例题讲解: 课本P56、57中的例6、例7和例8

课堂练习:

课本P58的练习1、2

进一步拓展

进一步拓展

复 合 函 数 求 单 调 区 间

综合练习

课本P59页习题2.1

第二章:基本初等函数
第二节:对数函数

对数及其运算
前节内容回顾:

引导:

定义:

x X

x X

两种特殊的底:10和e

探究:

结论:

负数和零没有对数。

练习: 课本P64页

对数运算法则

探究:

换底公式的证明与应用

例题讲解: 1、课本P65页,例2—例6:

课堂练习: 1、课本P68页

对数函数及其性质
复习引入
我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,由1个分 裂成2个,2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成x次后,得到细胞个数y是分裂

y=2 ,x∈N表示。 次数x的函数,这个函数可以用指数函数 ___________
反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以等于1万个、10万个……细胞? 已知细胞个数y,如何求分裂次数x?得到怎样一个新的函数?

x

1

2 x=?

4

……

x ? l o g y ? y ? l o g x 2 2

y=2x y

1、对数函数的定义:

2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系

x

… …

-3 0.13

-2 0.25

-1 0.5

-0.5 0.71

0 1

0.5 1.4

1 2

2 4

3 8

… …

x

… …

0.13 -3

0.25 -2

0.5 -1

0.71 -0.5

1 0

1.4 0.5

2 1

4 2

8 3

… …

Y 5 4 3

Y=2x Y=x ● Y=log2x

2 ●●
1●

● ● 2 3



● O -1 ● 1 -1 ●

4

5

6

7 X

对 数 函 数 的 图 像 和 性 质

y 图 象 0

a >1 x=1

y

0<a<1

y=logax (a>1)
(1,0) x

(1,0)

0

y=logax (0<a<1)

x

定义域 : 值 域:
性 质 过定点:

( 0 ,+∞)

R
(1,0)

在 ( 0 ,+∞)上 是 增 函数

在 ( 0 ,+∞)上 是 减 函数

例1:求下列函数的定义域: 2 2 ? log ( 4 ? x ) ; (3)y (1)y ?log ? log ( 9 ? x ) a x ; (2) y a a

反函数
1、定义:

2、求法:
已知某个函数的表达式,y=f(x),求其反函数的方法和步骤如下: (1)通过表达式y=f(x),把函数表示成x=g(y)的形式 (2)把求得的x=g(y)的位置对调,即y=g(x)的形式

3、注意:
是没有反函数的。有反函数不一定有单调性,如y=1/x

只有是严格一一对应的函数才能求其反函数,即存在多对一的情况的函数



练习

课本P73,74页

第二章:基本初等函数
第三节:幂函数

幂函数定义

注意:

第三章:函数的应用
第一节:函数与方程

基础知识 自主学习
要点梳理
1.函数的零点

(1)函数零点的定义
(x)=0 成立的实数x叫 对于函数y=f(x)(x∈D),把使f _______

做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)几个等价关系
方程f(x)=0 交点 ? x轴 有 ?函数y=f(x)的图象与_____

零点 y=f(x)有_______.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 f(a)· f(b)<0 那么函 断的一条曲线,并且有_________________,

a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 数y=f(x)在区间( ________
f(c)=0 ,这个____ c 也就是f(x)=0的根. 使得_________

2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系

Δ >0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图 象 与x轴的交 点 零点个数

Δ =0

Δ <0

(x1,0), _________ (x2,0) _________

(x1,0) ________ 一个 _____

无交点 无 ___

两个 ______

3.二分法

(1)二分法的定义 f(a)· f(b)<0 的 对于在区间[a,b]上连续不断且_____________
函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__________, 一分为二 使区间的两个端点逐步逼近_____, 零点 进 而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
f(a)· f(b)<0 第一步,确定区间[a,b],验证______________, 给定精确度 ?;

第二步,求区间(a,b)的中点x1;

f(x1) : 第三步,计算_______
f(x1)=0,则x1就是函数的零点; ①若_______

f(a)· f(x1)<0 ,则令b=x1 ②若_____________
(此时零点x0∈(a,x1));

f(x1)· f(b)<0 ,则令a=x1 ③若______________
(此时零点x0∈(x1,b));

第四步,判断是否达到精确度 ? :即若|a-b|<? ,则
得到零点近似值a(或b); 否则重复第二、三、四步.

基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是
1 A.0,2 B.0, 2 1 C.0,? D.2, ? 1 2 2 解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,

( C )

∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 令g(x)=0,得x=0,x= ? , 2 1 ∴g(x)的零点为0, ? . 2

2.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,
则a的取值范围是 1 A. a ? 5 C. ? 1 ? a ? 1 解析 (D ) B.a≤1

D. a ? 1或 a ? ?1 5 5 f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,

则f(-1)· f(1)≤0,即 a ? 1或 a ?? 1. 5

3.函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公

共点横坐标的是

( B )

解析

图B不存在包含公共点的闭区间[a,b]使函

数 f( a ) · f(b)<0.

4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是( D ) A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 解析 对选项D,∵f(1)=e-3<0,f(2)=e2>0,

∴f(1)f(2)<0.

2 x ? 2 x ? [ 1 , ?? ) ? 5.设函数 f( 则函数f(x)x )? , ?2 x? 2 x x ? ( ?? , 1 ) ? 9 2? 5 , 1 8 2 的零点是__________. 4 1 1 解析 当x≥1时, f( x ) ?? 0 , 即 2 x ? 2 ?? 0 , 4 4 9 ?x? . 8 1 1 2 当x<1时, f ( x ) ?? 0 , 即 x ? 2 x ?? 0 , 4 4 2? 5 (舍去大于1的根). x? 2 9 2? 5 1 ∴ f ( x ) ? 的零点为 , . 8 2 4

题型分类 深度剖析
题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 第(1)问利用零点的存在性定理或 思维启迪 直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解.



(1)方法一

∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,
f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)· f(8)<0, 故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 方法二 令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8].

∴(x-6)(x+3)=0,

∴x=6∈[1,8],x=-3? [1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]有零点.

(2)方法一

∵f(1)=log23-1>log22-1=0,

f(3)=log25-3<log28-3=0,
∴f(1)· f(3)<0, 故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.

方法二

设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系

中画出它们的图象,

从图象中可以看出当1≤x≤3时,
两图象有一个交点, 因此f(x)=log2(x+2)-x, x∈[1,3]存在零点. 函数的零点存在性问题常用的办法 探究提高 有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.值得 说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是

必要条件.

知能迁移1

判断下列函数在给定区间上是否存

在零点.
(1)f(x)=x3+1; 1 (2) f (x) ? ? x, x∈(0,1). x 解 (1)∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1), 令f(x)=0,即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,
2 1 1 ? x (2)方法一 令f(x)=0, 得? x? 0 , ? 0 , x x ∴x=±1, 而±1 ? (0,1), 1 ∴ f (x) ? ? x, x∈(0,1)不存在零点. x

∴f(x)=x3+1有零点-1.

1 方法二 令 y ? , y=x,在同一平面直角坐标系中, x 作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象
没有交点.

1 故 f (x) ? ? x, x

x∈(0,1)没有零点.

题型二

函数零点个数的判断

【例2】求函数y=ln x+2x-6的零点个数. 该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的 思维启迪 图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.



在同一坐标系画出

y=ln x与y=6-2x的图象,由
图可知两图象只有一个交点,

故函数y=ln x+2x-6只有一个
零点. 探究提高 若采用基本作图法,画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.

知能迁移2

x?2 x 已知函数 f (x (a>1),判断 )?a ? x? 1 f(x)=0的根的个数.
解 设f1(x)=ax (a>1),f2(x)= x?2 ? , 则f(x)=0的解即为 x ?1 f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x) 与f2(x)图象交点的横坐标. 在同一坐标系中,作出函数 x?2 3 x f1(x)=a (a>1)与f2(x)= ? ? ? 1 的图象(如 x? 1 x? 1 图所示). 两函数图象有且只有一个交点,即方程f(x)=0有且 只有一个根.

题型三

零点性质的应用

【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ e2 (x>0). x (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个 相异实根.

思维启迪 (1)可结合图象也可解方程求之. (2)利用图象求解.

2 e 2 解 (1)方法一 ∵ g ( x )? x ? ? 2e ? 2 e, x 等号成立的条件是x=e.

故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e,则 g(x)=m就有零点. e2 方法二 作出g(x) ? x ? 的图象如图: x

4分 6分

4分 可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e. 6分

方法三

解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.
4分 6分

?m ?0 ? 此方程有大于零的根, 故? 2 ?? ? m2 ? 4 e2 ? 0 ? m?0 ? 等价于 ? ,故m≥2e. m?2e或 m?? 2e ?
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,

即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个

不同的交点,

e2 作出 g(x) ? x ? (x>0)的图象. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.

其对称轴为x=e,开口向下,
最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个交点, 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 10分

∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

12分

此类利用零点求参数的范围的问题,可 探究提高

利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构
造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了

当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求
参数的范围,一般采用数形结合法求解.

知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,

且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说
明理由. 解 ∵Δ =(3a-2)2-4(a-1)>0 ∴若实数a满足条件,则只需f(-1)· f(3)≤0即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 所以a≤ ?
1 或a≥1. 5

检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.

令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1. (2)当f(3)=0时,a= ? 1 ,
5 13 6 此时 f (x) ? x2 ? x? . 5 5 6 2 13 令 f (x) ?0 ,即 x ? x? ?0 , 5 5

解之得x= ? 2 或x=3. 5 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠ ?
1 综上所述,a< ? 5 或a>1.

5

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.函数零点的判定常用的方法有:①零点存在性定 理;②数形结合;③解方程f(x)=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)= f(x)-g(x)的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其

实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在
的范围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值.

失误与防范
1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个 实数时,其函数值等于零. (2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点

的横坐标.
(3)一般我们只讨论函数的实数零点. (4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.

2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.

定时检测
一、选择题 1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点 的区间是 A.[0,1] B.[1,2] ( D )

C.[-2,-1]
解析

D.[-1,0]

∵f(-1)=3-1-(-1)2=

f(0)=30-02=1>0, ∴f(-1)· f(0)<0, ∴有零点的区间是[-1,0].

1 2 ?1?? ?0 , 3 3

2.(2009· 天津理,4)设函数 则y=f(x)

1 (x>0), f (x) ? x?lnx 3
( )

A.在区间 ( 1 ,1 ), (1,e)内均有零点

e B.在区间 ( 1 ,1 ), (1,e)内均无零点 e C.在区间 ( 1 ,1 ) 内有零点,在区间(1,e)内无零点 e D.在区间 ( 1 ,1 ) 内无零点,在区间(1,e)内有零点 e

1 e 1 1 11 1 1 ? (?? ln ) ? (? ln 1 ) ? ( ? 1 ) ? 0 , 3 e e 3 3 3 e 1 因此f(x)在( ,1 ) 内无零点. e 1 1 e ? 3 又 f ( 1 ) ? f (e) ? ( ? 1 ? ln 1 ) ? ( e ? ln e) ? ? 0 . 3 3 9
解析 因为 f ( ) ? f (1)
因此f(x)在(1,e)内有零点. 答案 D

3.(2009· 福建文,11)若函数f(x)的零点与

g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则
f(x)可以是 A.f(x)=4x-1 ( )

B.f(x)=(x-1)2 1 x x? ) C.f(x)=e -1 D. f (x) ?ln( 2 解析 ∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且
1 1 3 1 g ( ) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 0 , g ( ) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . 4 2 2 2 1 1 设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则 ? x0 ? , 4 2

1 1 1 1 0 ? x ??, ? |x ?| ?. 0 0 4 4 4 4 1 又f(x)=4x-1零点为x ? ; 4

f(x)=(x-1)2零点为x=1; f(x)=ex-1零点为x=0; 1 3 f (x) ?ln( x? ) 零点为 x ? . 2 2 答案 A

4.方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是 ( B A.1 解析 B.2 C.3 D.4 ∵a∈R+,∴a2+1>1.



而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1 的图象总有两个交点.

∴方程有两解.

5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根,则k的取
值范围是
1 A. ( ? , 0 ) 4 1 C.( ? ,?? ) 4




1 B. ( 0 , ) 4 1 D.( ?? , ) 4

解析

本题研究方程根的个数问题,此类问题首选

的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其 次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.

如图,作出函数y=|x|· (x-1)的 1 图象,由图象知当k∈ ( ? , 0 ) 时, 4 函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的 交点,即方程有3个实根.

答案

A

6.设f(x)=x3+bx+c (b>0)(-1≤x≤1),且

1 1 f (? )? f ( )?0 , 则方程f(x)=0在[-1,1]内( C ) 2 2 A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根

解析

∵f(x)=x3+bx+c (b>0),

∴f′(x)=3x2+b>0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数, 1 1 , 又∵ f (? )? f ( )?0 2 2 1 1 ∴f(x)在 ( ? , ) 内存在唯一零点. 2 2

二、填空题

7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数 1 1 ? ,? 2 g(x)=bx -ax-1的零点是________. 2 3
2 ? 2 2 a ? b? 0 , ? a? 5 ? ? 解析 由 得 . ?2 ? b? ? 6 ? 3? 3 a ? b? 0 , ? ?

∴g(x)=-6x2-5x-1的零点为

1 1 ? ,? . 2 3

8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式 3 ? ? x | ? ? x ? 1 . ? ? af(-2x)>0的解集是? ________________. 2 ? 解析 ∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.

∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,

? 2 ? 3 ? ? a ? a? ? 1 由根与系数的关系知 ? , ? , ? ? ? 2 ? 3 ? b b? ? 6 ? ? ∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0,
即-(4x2+2x-6)>0 ?2x2+x-3<0,

3 ? 解集为 ? x | ? ? x ? 1 . ? ? 2 ? ?

9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)= x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0

①有三个实根;
②当x<-1时,恰有一实根(有一 实根且仅有一实根);

③当-1<x<0时,恰有一实根;
④当0<x<1时,恰有一实根; ⑤当x>1时,恰有一实根. 则正确结论的编号为___________.

解析

∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,

f(-1)=0.01>0,即f(-2)· f(-1)<0,

∴在(-2,-1)内有一个实根.
由图中知:方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根, 所以②正确. 又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数 根,所以③不正确.

又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f(1)=0.01>0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0. 在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)· f(0.5)<0,

∴f(x)=0在(0,0.5)上也有一个实根. ∴f(x)=0在(0,1)上有两个实根,④不正确.

由f(1)>0且f(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴f(x)>0,f(x)=0在(1,+∞)上没有实根. ∴⑤不正确.并且由此可知①也正确. 答案 ①②

三、解答题

10.已知函数f(x)=4x+m· 2x+1有且仅有一个零点,求
m的取值范围,并求出该零点. 解 ∵f(x)=4x+m· 2x+1有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m· 2x+1=0仅有一个实根. 设2x=t (t>0),则t2+mt+1=0.

当Δ =0,即m2-4=0,
∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0符合题意.

当Δ >0,即m>2或m<-2时, t2+mt+1=0有两正或两负根, 即f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意.

综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.

11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上
有解,求实数m的取值范围. 解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],

①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有f(2)≤0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,

3 ∴m≤ ? . 2

②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则

?? ? 0 2 ? ( m ? 1 ) ?4?0 ? m ?1 ? ? ? 2 ,? ? ? 3 ? m ? 1 . ?0 ? ? 2 ? ? 4 ? ( m ? 1) ? 2 ? 1 ? 0 ? ? ? f (2) ? 0 ? ? m ? 3或 m ? ? 1 3 ? ? ?? 3 ? m ? 1 ,? ? ? m ? ? 1, 2 ? 3 ?m ? ? 2 ?
由①②可知m≤-1.

12.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数

y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=0时,f(x)=2x-3.

令2x-3=0,得x= ? [-1,1]
∴f(x)在[-1,1]上无零点,故a≠0. (2)当a>0时,f(x)=2ax2+2x1 3-a的对称轴为 x ? ? . 2a

3 2

1 1 ①当 ? ≤-1,即0<a≤ 时, 2 2a f (? 1 )?0 ? a?5 须使 ? 即 . ?f ( ? )?0 ? a?1 ? 1

∴a

?.

1 1 ②当-1< ? <0,即a> 时, 2 2a 1 ? ? 1 f( ? )?0 ? ? ? 3 ? a?0 须使 ? 即 . ? ? 2 2 a a ? ? 1 )?0 a? 1 ?f( ? 解得a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞).

(3)当a<0时, 1 1 ①当0< ? ≤1,即a≤ ? 时, 2a 2
? f ( ? 1) ? 0 ? 须有 ? , 1 f (? ) ? 0 ? 2a ? ?a ? 5 ? 即? 1 , ? ?3? a ? 0 ? ? 2a ?3? 7 ?3? 7 解得 : a ? 或 ? a ? 5, 2 2 1 又 a≤ ? , 2 ?3? 7 ∴a的取值范围是 (?? , ].

2

②当 ? 1 >1,即 ? 1 <a<0时, 2a 2
1 )?0 ? a?5 ?f (? 须有 ? ,即 ? f ( 1 ) ? 0 a? 1 ? ? ∴a的解集为 ? .

? 3 ? 7 综上所述,a的取值范围是 ( ?? , ]? [ 1 ,?? ). 2

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