2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件文新人教版


§6.3 等比数列及其前n项和

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常

数 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,通
常用字母q 表示(q≠0).

2.等比数列的通项公式
q n- 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= a1· .1

3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与 b的 等比中项 . 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn-m (n,m∈N*).

al=am· an . (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak· ? ?1? ? 2 ? ?, (3)若{an}, {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}(λ≠0), { a {an· bn}, n}, ? ? a ? n?
? ?an? ? ? ?仍是等比数列. ? ?bn? ?

5.等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1 -q 1-q
6.等比数列前n项和的性质

公比不为- 1 的等比数列 {an} 的前n 项和为Sn ,则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n
n q 仍成等比数列,其公比为 .

知识拓展 等比数列{an}的单调性
?a1>0, ?a1<0, (1)满足? 或? 时,{an}是递增数列. ?q>1 ?0<q<1 ?a1>0, ?a1<0, (2)满足? 或? 时,{an}是递减数列. ?0<q<1 ?q>1 ? ?a1≠0, (3)当? 时,{an}为常数列. ? ?q=1

(4)当 q<0 时,{an}为摆动数列.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. (2)G为a,b的等比中项?G2=ab. ( ) ( ×) × ( × ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列. ( ) ×

(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.

考点自测

1 1.(教材改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比q等于 答案 4 1 解析 A.-2 B.-2

C.2

1 D.2
3

a5 1 1 由题意知 q =a =8,∴q=2. 2

2.(2015· 课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7等于 答案 A.21 B.42
解析

C.63

D.84

设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,

得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,
于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.

3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于 A.31
答案 解析

B.32

C.63

D.64

根据题意知,等比数列 {an} 的公比不是- 1. 由等比数列的性质,得 (S4-S2)2=S2· (S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.

4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列, 27,81 答案 解析 则这两个数为________.

设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3.

∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.

S5 -11 5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则S =________. 2
答案 解析

设等比数列{an}的公比为q, ∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2,
5 a ? 1 - q ? 1-q S5 1 ∴S = · 1-q a1?1-q2? 2

1-q5 1-?-2?5 = =-11. 2= 1-q 1-4

题型分类

深度剖析

题型一 等比数列基本量的运算

例1

1),则a2等于 答案

1 (1)(2015· 课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1= ,a3a5=4(a4- 4
解析

A.2

B.1

1 C.2

1 D.8

由{an}为等比数列,得a3a5=a2 4 ,
又a3a5=4(a4-1),所以a2 4 =4(a4-1), 解得a4=2.设等比数列{an}的公比为q,
1 3 3 则由a4=a1q ,得2=4 q ,解得q=2,

所以a2=a1q=1 .故选C. 2

5 5 Sn (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=2,a2+a4=4,则a = n ________. 2n-1
答案 解析

思维升华
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个 量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃 而解.

跟踪训练1

(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知
解析

a2a4=1,S3=7,则S5等于 答案
15 A. 2 31 B. 4 33 C. 4

17 D. 2

?a1q· a1q3=1, ? 3 显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q ? =7, ? ? 1-q ?a1=4, ?a1=9 ? ? 解得? 或? 1 1 (舍去), ?q = ?q=- 2 3 ? ?

1 5 a1?1-q ? 4?1-25? 31 ∴S5= = = . 1 4 1 -q 1-2

(2)(2015· 湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成
3n-1 答案 等差数列,则an=______.
解析

由3S1, 2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3, 可得a3=3a2,所以公比q=3, 故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.

题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn

+2n(n∈N*). (1)求a2,a3的值; 解答

(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列. 证明

思维升华
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用 于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证 明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.

跟踪训练2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明:{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 证明 2 1 1 由 an+1=3an+1,得 an+1+2=3(an+2). 1 3 又 a 1 + 2= 2, 1 3 所以{an+2}是首项为2,公比为 3 的等比数列.
n 3 -1 1 3 所以 an+2= 2 ,因此{an}的通项公式为 an= 2 . n

1 1 1 3 (2)证明:a +a +?+a <2. n 1 2
1 2 由(1)知a = n . 3 -1 n

证明

因为当 n≥1 时,3 -1≥2×3
n

n-1

1 1 ,所以 n ≤ n-1. 3 -1 2×3

1 1 1 1 1 于是a +a +?+a ≤1+3+?+ n-1 3 n 1 2 3 1 3 =2(1-3n)<2,
1 1 1 3 所以a +a +?+a <2. n 1 2

题型三 等比数列性质的应用 例3 (1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则
答案 解析

50 ln a1+ln a2+?+ln a20=_____. 因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+?+ln a20 =ln(a1a2?a20) =ln[(a1a20)· (a2a19)· …· (a10a11)] =ln(a10a11)10=10ln(a10a11) =10ln e5=50ln e=50.

3 S6 1 S9 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =2,则S =________. 4 3 3
答案 解析

思维升华
等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类:
(1)通项公式的变形;

(2)等比中项的变形;
(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特

征即可找出解决问题的突破口.

跟踪训练3 (1)已知在等比数列{an}中,a1a4=10,则数列{lg an}的前

4项和等于 答案
A.4 B.3

解析

C.2

D.1

前4项和S4=lg a1+lg a2+lg a3+lg a4=lg(a1a2a3a4),

又∵等比数列{an}中,a2a3=a1a4=10,
∴S4=lg 100=2.

(2)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9

等于
1 A.8

答案

解析

1 B.-8

57 C. 8

55 D. 8

因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1, 在等比数列中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列, 即8,-1,S9-S6成等比数列, 所以有8(S9-S6 )=(-1)2,S

1 1 9-S6= ,即a7+a8+a9= . 8 8

思想与方法系列13

典例

分类讨论思想在等比数列中的应用 3 (12 分)已知首项为2的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且

-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明:Sn+S ≤ 6 (n∈N ). n
思想方法指导 规范解答

(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.

课时作业

1.等比数列x,3x+3,6x+6,?的第四项等于 答案

解析

A.-24 √

B.0

C.12

D.24

由x,3x+3,6x+6成等比数列,得
(3x+3)2=x(6x+6).

解得x1=-3或x2=-1(不合题意,舍去).
故数列的第四项为-24.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2.(2016· 珠海模拟)在等比数列{an}中,若a1<0,a2=18,a4=8,则公比 q等于 答案
3 A.2
? ?a1q=18, 由? 3 ? ?a1q =8
解析

2 B.3



2 C.-3

2 2 D.3或-3

?a1=27, ? 解得? 2 ? q= 3 ?

?a1=-27, ? 或? 2 ?q=- . 3 ?

2 又 a1<0,因此 q=-3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3. 在正项等比数列 {an} 中,已知 a1a2a3 = 4 , a4a5a6 = 12 , an - 1anan + 1 = 324,则n等于 答案 A.12 B.13
解析

C.14 √

D.15

设数列{an}的公比为 q,
3 3 12 由 a1a2a3=4=a3 q 与 a a a = 12 = a 1 4 5 6 1q ,

可得 q

9

3 3n-3 =3,an-1anan+1=a1q =324,

因此q3n-6=81=34=q36,

所以n=14,故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4.(2016· 昆明模拟)在等比数列{an} 中,若a3 ,a7是方程x2 +4x+2=0 的 两根,则a5的值是
答案 解析

A.-2

B.- √

2

C.± 2

D. 2

根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4, a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0, 所以a3<0,a7<0,即a5<0,

由 a3a7=a2 5,得 a5=- a3a7=- 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“ 三百七十八 里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次 日行里数,请公仔细算相还 .” 其意思为:有一个人走 378 里路,第一 天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天 后到达目的地,请问第二天走了 答案 A.192里 B.96里 √
解析

C.48里

D.24里

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

6.(2016· 铜仁质检 ) 在由正数组成的等比数列 {an} 中,若 a3a4a5 = 3π ,则 sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)的值为 答案
解析

1 A.2 C.1


π

3 B. 2 3 D.- 2

因为 a3a4a5=3

=a3 4,所以

3 7 log3a1+log3a2+?+log3a7=log3(a1a2?a7)=log3a4=7log3

a4=3 .

π 3

π 3

7π =3,

3 所以 sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)= 2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公
答案 4 比q=______. 解析

? ?3S3=a4-2, 因为? ? ?3S2=a3-2,

① ②

由①-②,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,
a4 则 q=a =4. 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

8.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和且S10=10,S30=70, 150 那么S40=________.
答案 解析

依题意,知数列 {an} 的公比 q≠ - 1 ,数列 S10 , S20 - S10 , S30 - S20 ,
S40-S30成等比数列,

因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),
即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30; 又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故S40-S30=80,S40=150.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(n∈N*),则通项an= 1 n 2 ________. 答案 解析 ∵an+Sn=1, ① 1 ∴a1=2,an-1+Sn-1=1(n≥2),



an 1 由①-②,得 an-an-1+an=0,即 =2(n≥2), an-1
1 1 1 1 n-1 1 ∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,则 an=2×(2) =2n.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

an+1 10.已知数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等比数列且 bn= a ,若 b10· b11 n

1 024 =2,则 a21=________.

答案

解析

a2 a3 ∵b1=a =a2,b2=a , 1 2

a4 ∴a3=b2a2=b1b2,∵b3=a , 3

∴a4=b1b2b3,?,an=b1b2b3· ?· bn-1, ∴a21=b1b2b3· ?· b20=(b10b11)10=210=1 024.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

11.已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4, b4=20,且{bn-an}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)求数列{bn}的前n项和. 解答 由(1)知bn=3n+2n-1(n∈N*),
3 数列{3n}的前 n 项和为2n(n+1), n 1 - 2 数列{2n-1}的前 n 项和为 1× =2n-1. 1-2 3 n 所以数列{bn}的前 n 项和为2n(n+1)+2 -1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2 a 12.(2016· 全国丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, n -(2an+1

-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; 解答
1 1 由题意,得 a2=2,a3=4.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)求{an}的通项公式. 解答

由 a2 n-(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1).
an+1 1 因为{an}的各项都为正数,所以 a =2. n 1 1 故{an}是首项为 1,公比为2的等比数列,因此 an= n-1. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

13.(2016· 昆明一检)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,S18∶S9=7∶8. (1)求证:S3,S9,S6依次成等差数列; 证明

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)a7 与 a10 的等差中项是不是数列 {an} 中的项?如果是,是 {an} 中的第几 项?如果不是,请说明理由.
解答

a7+a10 a1?2-2-2-3? a1 a7 与 a10 的等差中项为 2 = = , 2 16
设a7与a10的等差中项是数列{an}中的第n项,
则 a1(-2
? 1 3 n-1

)

a1 =16,

化简得(-2)

?

n ?1 3

n-1 =(-2)-4,即- 3 =-4,解得 n=13.

∴a7与a10的等差中项是数列{an}中的第13项.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


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