2013年普通高校招生考试北京卷文科数学(word)


绝密★启用并使用完毕 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(文) 本试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上答无效。考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A={-1,0,1} ,B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( ) (A) {0} (B) {-1,,0} (C){0,1} (D) {-1,,0,1} (2)设 a,b,c∈R,且 a<b,则 ( ) (A)ac>bc (B) < (C)a2>b2 (D)a3>b3

(3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 (A)y= (C)y=x2+1 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)y=e-3 (D)y=lg∣x∣ (B)第二象限 (D)第四象限

(4)在复平面内,复数 i(2-i)对应的点位于

(5)在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB

(A)

(B)

(C)

(D)1

(6)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)1

1/5

(B)

(C)

(D)

(7)双曲线 x?(A)m> (C)m 大于 1

=1 的离心率大于

的充分必要条件是

(B)m≥1 (D)m>2

(8)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距

离的不同取值有 (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若抛物线 y2=2px

的焦点坐标为(1,0)则 p=____;准线方程为_____

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(10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积 __________.



(11)若等比数列 {

an} a2+a4=20, 3+a5=40, q=__________;前 n 项 sn=_____. 满足 a 则公比
,表示的平面区域,区域 D 上的点与点(L,0)之间的距

(12)设 D 为不等式组 离的最小值为___________.

(13)函数 f(x)=

的值域为_________.

(14)已知点 A(1,-1) ,B(3,0) ,C(2,1).若平面区域 D 由所有满足 AP =λ AB+μ AC (1≤λ ≤2,0≤μ ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为__________. 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分) 已知函数f(x)=(2cos x-1)sin2x= cos4x.
2

(1) 求f(x)的最小正周期及最大值 (2) (2)若α

∈( ,π

)且f(α )=

,求α 的值

(16)(本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日 中的某一天到达该市,并停留 2 天。

3/5

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率 (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

17.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值。 (Ⅱ)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。 (19) (本小题共 14 分) 直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y2 相交与 A,C 两点,O 为坐标原电。

(Ⅰ)当点 B 的左边为(0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (Ⅱ)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形。 (20) (本小题共 13 分)
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给定数列 a1,a2,…,an。对 i-1,2,…n-l,该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,…,an 的最小值记为 Bi,di=ni-Bi. (Ⅰ )设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值. (Ⅱ )设 a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,… dn-1 是等比数列。 (Ⅲ )设 d1,d2,…dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明:a1,a2,…,an-1 是等差数列。

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