甘肃省金昌市永昌一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年甘肃省金昌市永昌一中高一(上)期中数学试卷
一.选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=() A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{|x>1} 2. (5 分)设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其中能表示集合 M 到 N 的函数关系的有()

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.3 个

3. (5 分)下列四组函数中,表示同一函数的是() A.f(x)=|x|,g(x)= B. f(x)=|x|,g(x)=( )
2

C. f(x)=

,g(x)=x+1

D.f(x)=

,g(x)=

4. (5 分)下列等式成立的是() A.log2(8﹣4)=log28﹣log24 C. log22 =3log22 5. (5 分)函数 y= A.
0.3 3

B.

=

D.log2(8+4)=log28+log24 的定义域是() C.(﹣∞,2]
0.2

D.

(0,2)

6. (5 分)设 a=2 ,b=3 ,c=ln ,则() A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b

7. (5 分)已知 f(x)是定义在上的偶函数,且 f(3)>f(1) ,则下列各式中一定成立的是 () A.f(0)<f(5) B.f(﹣1)<f(3) C.f(3)>f(2) D.f(2)>f(0) 8. (5 分)已知 3 =5 =A,且
a b

=2,则 A 的值是()

A.15

B.

C. ±

D.225

9. (5 分)已知集合 a={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是 () A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a>2} D.{a|a≥2}

10. (5 分)已知 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值是()

A.1

B. 1 或

C.1, 或±

D.

11. (5 分)已知 f(x)= 的取值范围是() A. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知对不同的 a 值,函数 f(x)=2+a 点的坐标是.
2 x﹣1

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a

(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P

14. (5 分)若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则函数 f(x)的单调递减区 间为. 15. (5 分)已知函数 f(x)=2 +x,g(x)=x﹣ 则把 a,b,c 按照从小到大的顺序排列为. 16. (5 分)定义在(﹣1,1)上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,且 f(1﹣a)+f(1﹣ 2a)<0.若 f(x)是(﹣1,1)上的减函数,则实数 a 的取值范围是.
x

,h(x) =log3x+x 的零点依次为 a,b,c,

三.解答题(本题共 70 分) 17. (10 分)计算下列各式的值 ①
2



+

+
2

﹣π

0

②lg5 + lg8+lg5?lg20+(lg2) .
2

18. (12 分)设集合 A={x ,2x﹣1,﹣4},B={x﹣5,1﹣x,9},若 A∩B={9},求 x 的值及 A∪B.

19. (12 分)设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0},A∩B=B,求实数 a 的值. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+3,x∈. ①当 a=1 时,求函数 f(x)的最大值; ②求函数 f(x)的最小值 g(a) . 21. (12 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每 生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百台 的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) ;销售收入 R(x) (万元)满足: ,假定该产品产销平衡,那么根据上述统计 规律: (Ⅰ)要使工厂有赢利,产量 x 应控制在什么范围? (Ⅱ)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多? 22. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ (a∈R) .
2

2

2

2

①是否存在实数 a 使得函数 f(x)为奇函数?若存在,请说明理由; ②判断函数的单调性,并利用定义加以证明.

2014-2015 学年甘肃省金昌市永昌一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=() A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{|x>1} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 R 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1}, ∴?UB={x|x≤1}, 则 A∩?UB={x|0<x≤1}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分)设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其中能表示集合 M 到 N 的函数关系的有()

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D.3 个

考点: 函数的概念及其构成要素. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据集合 M 到 N 的函数关系分别进行判断即可. 解答: 解: (1) .函数的定义域为,而集合 M={x|0≤x≤2},∴(1)不能表示集合 M 到 N 的 函数关系. (2) .函数的定义域为,值域为,而 N={y|0≤y≤2},∴(2)不能表示集合 M 到 N 的函数关系. (3) . 函数的定义域为,值域为,而 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},∴(3)满能表示集合 M 到 N 的函数关系 (4) .函数的定义域为,值域为,此时一个 x 有两个 y 值和 x 对应,∴(4)不能表示集合 M 到 N 的函数关系. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的定义域,要求熟练掌握函数的定义,比较基础. 3. (5 分)下列四组函数中,表示同一函数的是() A.f(x)=|x|,g(x)= B. f(x)=|x|,g(x)=( )
2

C. f(x)=

,g(x)=x+1

D.f(x)=

,g(x)=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要判断两个函数是否是同一个函数,需要从三个方面来分析,即定义域,对应法则 和值域,观察四个选项结果有三个的定义域不同,只有选 A. 解答: 解:要判断两个函数是否是同一个函数,需要从三个方面来分析, 即定义域,对应法则和值域, B 选项两个函数的定义域不同,前面函数的定义域为 R,后面函数的定义域为∪ C. (﹣ ∞,2] D. (0,2) 考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 根据二次根式的性质的意义,被开方数大于或等于 0,可以求出 x 的范围. x 解答: 解:根据题意得:16﹣4 ≥0, x 2 即 4 ≤4 解得:x≤2. 即函数 y= 的定义域是(﹣∞,2].

故选 C. 点评: 本题考查了函数自变量的取值范围问题,函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 6. (5 分)设 a=2 ,b=3 ,c=ln ,则() A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b
0.3 0.2

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 考察幂函数 y= 可得出. 解答: 解:考察幂函数 y= ∴1<a=2 =
0.3

在(0,+∞)单调递增,可得 a<b,再利用对数函数的单调性即

在(0,+∞)单调递增,
0.2

=

<b=3 =

=

,c=ln =﹣1,

∴c<a<b. 故选:D. 点评: 本题考查了幂函数、 对数函数的单调性,属于基础题. 7. (5 分)已知 f(x)是定义在上的偶函数,且 f(3)>f(1) ,则下列各式中一定成立的是 () A.f(0)<f(5) B.f(﹣1)<f(3) C.f(3)>f(2) D.f(2)>f(0) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;压轴题;阅读型. 分析: 先根据偶函数的定义得到 f(1)=f(﹣1) ,再结合 f(3)>f(1) ,即可得到结论. 解答: 解:因为 f(x)是定义在上的偶函数; 所以:f(1)=f(﹣1) , 而 f(3)>f(1) , 故 f(﹣1)<f(3)成立,而题上没有交代其它条件,所以只能说 f(﹣1)<f(3)一定成立, 其它无法判断. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,是对基础知识的考查,解决问题的关键在于得到: f(1)=f(﹣1) . 8. (5 分)已知 3 =5 =A,且 A.15 B.
a b

=2,则 A 的值是() C. ± D.225

考点: 指数函数综合题.

专题: 计算题. 分析: 由对数定义解出 a 和 b,代入到
a b A

=2 中利用换底公式得到 A 的值即可.
A

解答: 解:由 3 =5 =A 得到 a=log3 ,b=log5 代入到 =2 得: =2,

利用换底法则得到 lgA= (lg3+lg5)= lg15=lg 所以 A= 故选 B 点评: 考查学生利用对数定义解决数学问题的能力,以及换底公式的灵活应用. 9. (5 分)已知集合 a={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是 () A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a>2} D.{a|a≥2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据全集 R 及 B 表示出 B 的补集,由 A 与 B 补集的并集为 R,求出 a 的范围即可. 解答: 解:∵A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R, ∴?RB={x|x≤1 或 x≥2}, 则 a 的范围为{a|a>2}, 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

10. (5 分)已知 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x 的值是()

A.1

B. 1 或

C.1, 或±

D.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 利用分段函数的解析式,根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母 x 的方程, 通过求解相应的方程得出所求的字母 x 的值. 或者求出该分段函数在每一段的值域, 根据所给 的函数值可能属于哪一段确定出字母 x 的值. 解答: 解:该分段函数的三段各自的值域为(﹣∞,1], 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据已知中函数的解析式, 画出函数的图象,再利用数形结合是解答本题的关键. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. (5 分)已知对不同的 a 值,函数 f(x)=2+a 点的坐标是(1,3) .

x﹣1

(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P

考点: 指数函数的图像与性质. x 分析: 根据指数函数的性质,我们易得指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点, 再根据函数图象的平移变换法则,求出平移量,进而可以得到函数图象平移后恒过的点 P 的 坐标 解答: 解:由指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点 x﹣1 而要得到函数 y=2+a (a>0,a≠1)的图象, x 可将指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位. 则(0,1)点平移后得到(1,3)点. 则 P 点的坐标是(1,3) 故答案为(1,3) 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象与性质,其中根据函数 y=2+a 的解析式,结合函数图象平移变换法则,求出平移量是解答本题的关键
2 x﹣1 x

(a>0,a≠1)

14. (5 分)若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则函数 f(x)的单调递减区 间为
2

﹣π

0 2

②lg5 + lg8+lg5?lg20+(lg2) .

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①化带分数为假分数,然后直接利用有理指数幂的运算性质化简求值; ②直接利用对数的运算性质化简求值. 解答: 解:① ﹣ + + ﹣π
0

=

+

﹣1

= =
2

﹣1 ;
2 2

②lg5 + lg8+lg5?lg20+(lg2)

=2lg5+2lg2+lg5(1+lg2)+(lg2) 2 =2(lg2+lg5)+lg5+lg5?lg2+(lg2) =2+lg5+lg2(lg5+lg2) =2+1=3. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.

18. (12 分)设集合 A={x ,2x﹣1,﹣4},B={x﹣5,1﹣x,9},若 A∩B={9},求 x 的值及 A∪B. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B 的交集为 9,得到 x =9 或 2x﹣1=9,代入检验求出 x 的值,确定出 A 与 B,求出两集合的并集即可. 2 解答: 解:∵集合 A={x ,2x﹣1,﹣4},B={x﹣5,1﹣x,9},且 A∩B={9}, 2 ∴x =9 或 2x﹣1=9, 解得:x=3 或﹣3 或 5, 当 x=3 时,A={﹣4,9,5},B={9,﹣2},不合题意; 当 x=﹣3 时,A={﹣4,9,﹣7},B={9,4,﹣8},符合题意; 当 x=5 时,A={﹣4,9,25},B={9,0,﹣4},不合题意, ∴x 的值为﹣3, 即 A={﹣4,9,﹣7},B={9,4,﹣8}, 则 A∪B={﹣4,﹣8,﹣7,4,9}. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 19. (12 分)设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0},A∩B=B,求实数 a 的值. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求解一元二次方程化简集合 A,根据 A∩B=B 得到 B?A,然后分 B 为空集、单元素 集合及双元素集合讨论求解 a 的值. 解答: 解:由 A={x|x +4x=0}={0,﹣4},又 A∩B=B,∴B?A 2 2 2 2 (1)若 B=?,则 x +2(a+1)x+a ﹣1=0 的判别式小于 0,即 4(a+1) ﹣4(a ﹣1)<0, ∴a<﹣1. (2)若 B={0},把 x=0 代入方程得 a=±1 当 a=1 时,B={﹣4,0}≠{0}. 当 a=﹣1 时,B={0},∴a=﹣1. (3)若 B={﹣4}时,把 x=﹣4 代入得 a=1 或 a=7. 当 a=1 时,B={0,﹣4}≠{﹣4},∴a≠1. 当 a=7 时,B={﹣4,﹣12}≠{﹣4},∴a≠7. (4)若 B={0,﹣4},则 a=1,当 a=1 时,B={0,﹣4},∴a=1 综上所述:a≤﹣1 或 a=1. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了分类讨论的数学思想方法,解答的关键是正确分 类,是中档题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+3,x∈. ①当 a=1 时,求函数 f(x)的最大值; ②求函数 f(x)的最小值 g(a) . 考点: 二次函数的性质.
2 2 2 2 2 2

2

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)将 a=1 代入函数的表达式,结合函数的单调性,从而求出函数的最大值; (2) 先求出函数的对称轴, 通过讨论对称轴的位置, 从而求出 f (x) 在区间上的最小值 g (a) . 2 2 解答: 解(1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2,对称轴为 x=1, 又∵x∈,∴f(x)max=f(﹣4)=27; 2 2 (2)f(x)=(x﹣a) +3﹣a ,对称轴为 x=a,依据对称轴与区间的位置关系可分三种情况, ①当 a<﹣4 时,函数 f(x)在区间上是增函数,∴g(a)=f(x)min=f(﹣4)=19+8a, ②当﹣4≤a≤时,函数 f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, 2 ∴g(a)=f(x)min=f(a)=3﹣a , ③当 a>4 时,函数 f(x)在区间上是减函数,∴g(a)=f(x)min=f(4)=19﹣8a,

综上可得:g(a)=



点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了分类讨论思想,是一道中档题. 21. (12 分)某产品生产厂 家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每 生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百台 的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) ;销售收入 R(x) (万元)满足: ,假定该产品产销平衡,那么根据上述统计 规律: (Ⅰ)要使工厂有赢利,产量 x 应控制在什么范围? (Ⅱ)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多? 考点: 根据实际问题选择函数类型;二次函数的性质. 专题: 计算题;综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据题意,设利润函数为 f(x) ,成本函数为 G(x)=x+2,则 f(x)=G(x) ﹣R(x) ,结合题中 R(x)分段的表达式,即可得到 f(x) 分段的表达式.再分 0≤x≤5 和 x >5 时两种情况解关于 x 的不等式 f(x)>0,得到的解集即为使工厂有赢利的产量 x 的取值 范围. 2 (2) 分 0≤x≤5 和 x>5 时两种情况讨论, 分别求二次函数 y=﹣0.4x +3.2x﹣2.8 与一次函数 y=8.2 ﹣x 的最大值,最后综合可得使赢利最多时的产量 x 的值. 解答: 解:根据题意,设成本函数 G(x)=x+2,利润函数为 f(x) ,则 …(4 分) (Ⅰ) 要使工厂有赢利,即解不等式 f(x)>0, 2 2 ①当 0≤x≤5 时,解不等式﹣0.4x +3.2x﹣2.8>0,化简得 x ﹣8x+7<0. 解之得 1<x<7,结合 0≤x≤5 得 1<x≤5; …(7 分) ②当 x>5 时,解不等式 8.2﹣x>0,得 x<8.2. ∴结合 x>5,得 5<x<8.2. 综上所述,要使工厂赢利,x 应满足 1<x<8.2,

即产品应控制在大于 100 台,小于 820 台的范围内.…(9 分) (Ⅱ)①0≤x≤5 时,f(x)=﹣0.4x +3.2x﹣2.8 =﹣0.4(x﹣4) +3.6 可得当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6.…(10 分) ②当 x>5 时,f(x)<8.2﹣5=3.2 综上所述,f(x)的最大值为 f(4)=3.6 ∴当工厂生产 400 台产品时,可使赢利最多.…1 3 分 点评: 本题给出工厂生产的实际应用问题,求最大盈利时的产量 x 值,着重考查了基本初 等函数的单调性、不等式的解法和用函数知识解决实际应用问题等知识,属于基础题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ (a∈R) .
2 2

①是否存在实数 a 使得函数 f(x)为奇函数?若存在,请说明理由; ②判断函数的单调性,并利用定义加以证明. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: ①由题意,f(0)=0,从而解出 a,再验证是否是奇函数即可; ②先判断后证明,利用单调性的定义证明. 解答: 解:①若存在实数 a 使得函数 f(x)是 R 上的奇函数, 则满足条件 f(0)=0, 则 a=1. 又∵当 a=1 时,f(x)=1﹣ 为 R 上的奇函数,

∴存在实数 a=1,使函数 f(x)为 R 上的奇函数. ②函数 f(x)为 R 上的增函数.证明如下 对任意 x∈R 都有 3 +≠0,∴f(x)的定义域是 R, 设任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)= ∵y=3 在 R 上是增函数, ∴0< ∴ < ,
x x



<0,

∴f(x)是 R 上的增函数. 点评: 本题考查了函数的奇偶性的判断与单调性的证明,属于基础题.


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