高一数学-第十章排列组合和二项式定理(第8课)组合(2) 精品

课 题: 10.3 组合 (二) 教学目的: 1 掌握组合数的两个性质,并能运用组合数的性质进行化简; 2. 进一步理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式,并 且能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点:组合数的性质 教学难点:组合数的性质 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不 王新敞 奎屯 新疆 同的方法 王新敞 奎屯 新疆 2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法 王新敞 奎屯 新疆 3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排 王新敞 奎屯 新疆 m 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示 王新敞 奎屯 新疆 m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N , m ? n ) ? 6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 . 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 m 7.排列数的另一个计算公式: An = n! (n ? m)! 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 8 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一 王新敞 奎屯 新疆 组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 9.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的 m 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ... m 10.组合数公式: Cn ? Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m! 或 C n? m n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)! 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 二、讲解新课: 1 王新敞 奎屯 新疆 m n ?m 组合数的性质 1: Cn . ? Cn 一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n ? m 个元素的每一个 组合一一对应 ,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n 个 .... m n ?m 元素中取出 n ? m 个元素的组合数,即: Cn .在这里,主要体现: “取 ? Cn 法”与“剩法”是“一一对应”的思想 n?m 证明:∵ C n ? 王新敞 奎屯 新疆 n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)! 王新敞 奎屯 新疆 m 又 Cn ? m n ?m n! ,∴ Cn ? Cn m!(n ? m)! 0 说明:①规定: Cn ? 1; ②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标; n m n?m ③此性质作用: 当 m ? 时, 计算 C n 可变为计算 C n , 能够使运算简化. 2 2001 2002 ? 2001 1 例如 C 2002 = C2002 = C2002 =2002; x ④ Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n . m m m?1 2.组合数的性质 2: Cn . ?1 = C n + C n 一般地,从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 m Cn ?1 ,这些组合可以分为两类:一类含有元素 a1 ,一类不含有 a1 .含有 a1 的 m?1 组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m ?1 个元素与 a1 组成的, 共有 Cn 个;不含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的, m 共有 C n 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主 要体现从特殊到一般的归纳思想, “含与不含其元素”的分类思想. n!(n ? m ? 1) ? n! m n! n! m m ?1 证明: C n ? Cn ? ? ? m!(n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! m!(n ? m ? 1)! ? m (n ? m ? 1 ? m)n! (n ? 1)! ? Cn ? ?1 m! (n ? m ? 1)! m! (n ? m ? 1)! m m m?1 ∴ Cn . ?1 = C n + C n 说明:①公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下 标多 1 而上标与大的相同的一个组合数; ②此性质的作用:恒等变形,简化运算 三、

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