江苏省扬州中学2012-2013学年高二下学期期末调研测试 数学

2012-2013 学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 (理科)试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.函数 f ( x ) ? co s 2 x 的最小正周期是 2.复数
i 2?i

▲ .

的虚部是




????

3.直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC 1 ? c , 则 A1 B ? 4. ? A B C 中, A ? “
?
6
?

▲ .

”是“ s in A ?

1 2

”的



条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,

“充要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空) . 5.幂函数 f ? x ? ? x ? ? ? R ? 过点 ? 2 , 2 ? ,则 f ? 4 ? ? 7.如果复数 z 满足 z ? i ? 2 ,那么 z + 1 的最大值是 ▲ 8.函数 f ? x ? ?
ln x x

▲ .

6.五名同学站成一排,甲不站在正中间,则不同的站法有▲ (用数字作答) . .

的单调递增区间是 ▲ .

9.某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯 的概率都是
1 3

,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. ,则这名学生在上学路上因遇到红灯停 ▲ .
A
2013

留的总时间恰好是 4min 的概率 10.若 (1 ? 2 x )
a1 2 a2 2
2
2013 2

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 2 0 1 3 x

( x ? R ),
B C E F



?

?? ?

a 2013 2
2013

?

▲ .

(第 11 题)

11.E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 BC 上的四等分点,则 tan ? E A F = ▲ . 12.函数
f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0

,?

?0

, 0≤ ?

? 2?)

在 R 上的部分图象如图所示,则

f (x) ?

▲ .

y 4

?

1

O

5

11 x

(第 12 题)

13.已知函数 y=f(x)(x∈(0,2))的图象是如图所示的 y 一段圆弧.现给出如下命题:

圆C的

O

.C
(第 13 题)

2

x

① f ? (1) ? 0 ;② f ? ( x ) ? 0 ;③ f ? ( x ) 为减函数; ④若 f ? ( a ) ? f ? ( b ) ? 0 ,则 a+b=2. 其中所有正确命题的序号为 ▲ .

14.有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任意 分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任意分 成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,直到不能再分为止,则所有乘积的和为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知 A 是锐角, s in A ?
3 5 , ta n ( A ? B ) ? ? 1 2

.求 co s 2 A 及 tan B 的值.

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)若 m ? ?
1 2 1 2 ?1
x

? m ,m ? R .

,求证:函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数;

(2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2 ) 没有零点,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 已知命题:“ ? x ? ? x | ? 1 ? x ? 1? ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题,
2

(1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式 ( x ? a )( x ? a ? 2 ) ? 0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取值 范围.

18. (本小题满分 16 分)

设函数 f ( x ) ?

x

2

?1
2

的定义域为 E ,值域为 F .
? 1 2

x

(1)若 E ? {1, 2} ,判断实数 ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? 1 6
2

与集合 F 的关系 ;

(2)若 E ? ?1, 2, a ? , F ? ? 0 , ? ,求实数 a 的值.
? 4?

?

3?

(3)若 E ? [

1

,

1

] , F ? [ 2 ? 3 m , 2 ? 3 n ] ,求 m , n 的值.

m n

19. (本小题满分 16 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有
sin (? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ------① sin (? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ------②

由①+② 得 sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 sin ? co s ? ------③ 令? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有? ? 代入③得 sin A ? sin B ? 2 sin
A? B 2 A? B 2 cos A?B 2 ,? ? A?B 2



(1) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:
c o s A ? c o s B ? ? 2 s in A? B 2 s in A?B 2

;

(2)若 ? A B C 的三个内角 A , B , C 满足 c o s 2 A ? c o s 2C ? c o s 2 B ? 1,直接利用阅读材料及 (1)中的结论试判断 ? A B C 的形状.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 a ( ? 1) k ln x ( k ? N ? , a ? R 且 a ? 0 ), (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 k ? 2014 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? 2 ax 有唯一解,求 a 的值; (3)当 k ? 2013 时,证明: 对一切 x ? ( 0 , ?? ) ,都有 f ( x ) ? x ? 2 a (
2

1 e
x

?

2 ex

) 成立.

2012-2013 学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 (理科)试 题Ⅱ
(全卷满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21、已知 ( x ?
1
3

2013.06

) 的展开式中第 3 项与第 2 项系数的比是 4,

n

x

(1)求 n 的值; (2)展开式里所有 x 的有理项

22、一个盒子里装有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4;另一个盒子也装有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5.现从一个盒子中任取一张卡片,其上面 的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量? = x + y , (1)求事件 x ? y 发生的概率 (2)求? 的分布列和数学期望.

23、已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1 ,且 4 a n ? 1 ? a n a n ? 1 ? 2 a n ? 9 ⑴求 a 2 , a 3 , a 4 的值,并猜想 ? a n ? 的通项公式; ⑵用数学归纳法证明你的猜想.

( n ? N ).
*

24、 已知边长为 6 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 ,E , F 为 A D 、 C D 上靠近 D 的三等分点,H 为 B B 1 上靠近 B 的三等分点, G 是 E F 的中点. (1)求 A1 H 与平面 E F H 所成角的正弦值; (2)设点 P 在线段 G H 上,且
GP GH ? ? ,试确定
H
A D F

C
B

E

G

. P

? 的值,使得二面角 P ? C 1 B 1 ? A1 的余弦值为

10 10


A1

D1

C1 B1

2013 年 6 月高二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案
数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题: 1.? 2.
2 5

3.- a + b - c
8 27

4.充分不必要 5.2 6.96 10. ? 1 11.
4 3

7.2 ?
?
6 x?

2

8.? 0 , e ? 13.①③④

(写成开区间算对)9. 14.
n ( n ? 1) 2

12. 4 s in (

?
6

)

二、解答题: 15. c o s 2 A ?
tan ? B

7 25
2

………………………………………7 分 ………………………………………14 分

16.解: (1 )定义域为 R 关于原点对称.因为
f ( x) ? f (? x) ? 1 2 ?1
x

?

1 2

? 2

1
?x

?1

?

1 2

?

1 2 ?1
x

?

1 2

?

2
x

x

2 ?1

?

1 2

? 0,

所以函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数
2 ln 2 (1 ? 2 )
x 2 x

(2) f ? ( x ) ? ?

? 0 ? f ( x ) 是实数集 R 上的单调递减函数(不说明单调性扣

2 分)又函数 f ( x ) 的图象不间断,在区间 (1, 2 ) 恰有一个零点,有 f (1) f ( 2 ) ? 0

即 (m ?

1 3

)( m ?

1 5

) ? 0 解之得 ? 1 5

1 3

? m ? ? 1 3

1 5

,故函数 f ( x ) 在区间 (1, 2 ) 没有零点

时,实数 m 的取值范围是 m ? ?

或m ? ?

………………………………………14 分

17. 解: 已知命题: ? x∈{x|–1< x <1}, (1) “ 使等式 x2–x–m = 0 成立”是真命题, f(x)= x2–x–m 得 = 0 在(-1,1)有解, 由对称轴 x= 得m ? ??
? ? 1
1 2

,则 ?

?? ? 1 ? 4m ? 0 ? f ( ? 1) ? 1 ? 1 ? m ? 0

, ?????7 分

? ,2? . 4 ?

(2)不等式 ( x ? a )( x ? a ? 2 ) ? 0 ①当 a>2-a,即 a>1 时解集 N 为(2-a,a) ,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,
?a ? 2 9 ? ? N,a 的取值范围 ? 则M 1 ,? a ? . 4 ?2 ? a ? ? ? 4

②当 2-a > a,即 a<1 时解集 N 为(a ,2-a) ,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M ? N,a 的取值范
?2 ? a ? 2 1 ? 围? 1 ,? a ? ? . 4 ?a ? ? ? 4
综 上 a ? (?? , ? 1 4 )? ( 9 4 , ?? ) .

???14 分

18.解:(1)∵ f ( x ) ?

x

2

?1
2

,∴当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? 2 时,

x
3

f (x) ?

? 3 ? 3? 2 ? F ? ? 0 , ? .∵ ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? 1 6 2 ? ,∴ ? ? F .???5 分 4 4 ? 4?

1

(2) f ( a) ?0 , 令 即

a ?1
2

a

2

? 0 ,a ? ? 1 , a ? ? 1 ; f ( a ) ? 取 令

3 4

, 即

a ?1
2

a

2

?

3 4

,a ? ? 2 ,

取 a ? ? 2 ,故 a ? ? 1或 ? 2 .????????????????????????9 分 (3)∵ f ( x ) ?
x
2

?1
2

是偶函数,且 f ? ( x ) ?

2 x
3

? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数,
1 m 1 n 1 m 1 n 1 m 1 n

x

在 (0, ? ? ) 上是增函数.∵ x ? 0 ,∴由题意可知:

?

? 0 或0 ?

?

.若

?

? 0,

1 ? f ( ) ? 2 ? 3n 2 ? ?1 ? m ? 2 ? 3 n ? m 2 则有 ? ,即 ? ,整理得 m ? 3 m ? 1 0 ? 0 ,此时方程组无解;若 2 ?1 ? n ? 2 ? 3 m ? f ( 1 ) ? 2 ? 3m ? n ?

1 ? f ( ) ? 2 ? 3m 2 ? ?1 ? m ? 2 ? 3 m 1 1 ? m 2 0? ? ,则有 ? ,即 ? ,∴ m , n 为方程 x ? 3 x ? 1 ? 0 , 2 m n 1 1 ? n ? 2 ? 3n ? ? f ( ) ? 2 ? 3n ? n ?
1 m 1 n

的两个根.∵ 0 ?

?

,∴ m ? n ? 0 ,∴ m ?

3? 2

5

,n ?

3? 2

5

.?????16 分

19. 解: (1)证明:因为 co s(? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ,------①
c o s?( ? ? ? ) co s ? c?o?s

? i n ②s i n s ?

①-② 得 co s(? ? ? ) ? co s(? ? ? ) ? ? 2 sin ? sin ? ③… 令? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有? ? 代入③得 c o s A ? c o s B ? ? 2 s in
A? B 2 A? B 2 s in 2
2

,? ?

A?B 2



A?B

.………………8 分

(2)由 cos 2 A ? cos 2 C ? cos 2 B ? 1 得: co s 2 A ? co s 2 B ? 1 ? co s 2 C ? 2 sin C .由(1) 中结论得: ? 2 sin ? A ? B ? sin ? A - B ? = 2 sin C .所以 sin ? B ? A ? ? sin C ? sin ( A ? B ) ,即:
2

2 sin A co s B ? 0 ,又 A , B , C 为 ? A B C 的三个内角,故 B ? 9 0 ,所以 ? A B C 是直角三角

?

形.……………………………16 分 20. 解: (1)由已知得 x>0 且 当 k 是奇数时,
f ?( x ) ? 0
k 2a f ? ( x ) ? 2 x ? ( ? 1) ? x



,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数;
a )( x ? x a)

当 k 是偶数时,则 所以当 x ?

2( x ? 2a f ?( x ) ? 2 x ? ? x



? 0,

a

? 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x? (
a
2

a , ?? ) 时, f ? ( x ) ? 0 .
a , ??

故当 k 是偶数时,f (x)在 ? 0 , (2)若 k ? 2014 ,则

? 上是减函数,在 ?
*

? 上是增函数.????4 分
2 2a 2 ? 2a ? ( x ? ax ? a) x x

f ( x ) ? x ? 2 a ln x ( k ? N ) .
2

记 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 a x ? x ? 2 a x ln x ? 2 a x

g ?( x ) ? 2 x ?

, .因

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 为a
? 0, x ? 0

令 g ?( x ) ?
? a ?
2

0

,得 x 2 .

? ax ? a ? 0

,所以 x

1

?

a ?

a ? 4a ? 0 2
2

(舍去) ,

x

2

a ? 4a 2

当 x ? (0, x 2 ) 时,

g ?( x ) ? 0

, g ( x ) 在 (0 , x 2 ) 是单调递减函数;
0

当 x ? ( x 2 , ? ? ) 时, g ? ( x ) ? 当 x=x2 时,
g ?( x 2 ) ? 0

, g ( x ) 在 ( x 2 , ? ? ) 上是单调递增函数.
? g ( x2 ) .

, g ( x ) m in

因为 g ( x )

?0

有唯一解,所以 g ( x 2 ) ?

0



则?

? g ( x 2 ) ? 0, ? g ? ( x 2 ) ? 0,

即?

? x 2 ? 2 a ln x 2 ? 2 a x 2 ? 0 , ?
2

? x 2 ? a x 2 ? a ? 0, ?
2

设函数 h ( x ) ?

2 ln x ? x ? 1 ,

因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x
2

= 1,从而解得 a

?

1 2

????10 分
2

2 另解: f ? x ? ? 2 a x 即 x ? 2 a ln x ? 2 a x 有唯一解,所以: 2 a ?

x

ln x ? x

,令 p ? x ? ?

x

2

ln x ? x

,

则 p?? x? ?

x ? 2 ln x ? x ? 1 ?

? ln

x ? x?

2

,设 h ? x ? ? 2 ln x + x ? 1 ,显然 h ? x ? 是增函数且 h ? 1 ? ? 0 ,所以

当 0 ? x ? 1 时 p ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时 p ? ? x ? ? 0 ,于是 x ? 1 时 p ? x ? 有唯一的最小值,所以
2 a ? p ? 1 ? ? 1 ,综上: a ?
1 2
x e
x


? 2 e ( x ? (0 , ? ? )) 1 e

(3)当 k ? 2013 时, 问题等价于证明 x ln x ? 由导数可求 ? ( x ) ? x ln x ( x ? (0, ? ? )) 的最小值是 ? 设 m (x) ?
x e
x

1 e

,当且仅当 x ? ,

时取到,

?

2 e

( x ? (0 , ? ? )) 1 e

,则 m '( x ) ?

1? x e
x

易得 m ( x ) m ax ? m (1) ? ?

,当且仅当 x ? 1 时取到,
1 e
x

从而对一切 x ? (0 , ? ? ) ,都有 ln x ?

?

2 ex

成立.故命题成立.????16 分

数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
21、解: (1)由题设,得 C n ? 4 C n ,
2 1

????????????3 分



n ( n ? 1) 2

? 4 n ,解得 n=9,n=0(舍去) .??????????4 分

(2)通项 T r ? 1 ? C 9 ( x )
r

9?r

(

1
3

27 ? 5 r

)

r

x

? C9 x
r

6

( r ? 0 ,1, ? 9 )

根据题意:

27 ? 5 r 6

? Z ,解得 r ? 3 或 9
2

??????????8 分
1 x
3

? 展开式里所有 x 的有理项为 T 4 ? 84 x , T 10 ?

??????????10 分 ??3 分

22、解析: (1) p ?

8 9

(2)依题意,可分别取? ? 5 、6、7、8、9 取,则有



p (? ? 5 ) ?

1 3?3

?

1 9

, p (? ? 6 ) ?

2 9

, p (? ? 7 ) ?

3 9

, p (? ? 8 ) ?

2 9

, p (? ? 9 ) ?

1 9

? ? 的分布列为

??8 分 5 6
2 9 1 3

?
p
1 9
E? ? 7

7
2 9

8
1 9

9

??10 分

23、解: (1)由 4 a n ? 1 ? a n a n ? 1 ? 2 a n ? 9 得 a n ? 1 ?
a3 ? 13 5

9 ? 2an 4 ? an

? 2?

1 an ? 4

,求得 a 2 ?

7 3



,a4 ?

19 7



猜想 a n ?

6n ? 5 2n ? 1 6k ? 5 2k ? 1

??5 分

(2) 证明:①当 n ? 1 时,猜想成立. ②设当 n ? k 时 ( k ? N ? ) 时,猜想成立,即 a k ? 则当 n ? k ? 1 时,有 a k ? 1 ? 2 ?
1 ak ? 4 ? 2?


6k ? 1 2k ? 1 6 ( k ? 1) ? 5 2 ( k ? 1) ? 1

1 6k ? 5 2k ? 1 ? 4

?

?

,

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合①②,猜想对任何 n ? N ? 都成立. 24、解:如图建系:可得 E ( 2 , 0 , 6 ) , F (0 , 2 , 6 ) , H (6, 6, 4 ) , A1 (6, 0, 0 ) . (1)设 n ? (1, x , y ) , E F ? ( ? 2, 2, 0 ) , E H ? ( 4 , 6 , ? 2 ) 则?
??2 ? 2 x ? 0 ?4 ? 6 x ? 2 y ? 0

??10 分

?

??? ?

????

???? ? ? ? n ? (1,1, 5) ; A1 H ? (0, 6, 4 ) ,

设 A1 H 与平面 E F H 所成角为 ? ,
? ????? ? ????? n ? A1 H sin ? = c o s n , A1 H ? ? ????? ? n A1 H 26 27 52 ? 39 9

则 A1 H 与平面 E F H 所成角的正弦值为
????

39 9

.?????????? (5 分)
??? ? ????

(2)由题知 G (1,1, 6 ) , C 1 (0, 6, 0 ) , G H ? (5, 5, ? 2 ) ,设 G P ? ? G H ? (5 ? , 5 ? , ? 2 ? ) ?
P (5 ? ? 1, 5 ? ? 1, ? 2 ? ? 6 ) ,

已知面 A1 B 1 C 1 的法向量为 D 1 D ? ( 0 , 0 , 6 )

设面 PC 1 B 1 的法向量为 n ? ( p , q , r )
? PC ? ( 5 ? ? 1, 5 ? ? 5 , ? 2 ? ? 6 ), C 1 D 1 ? ( 6 , 0 , 0 )

1

? ( 5 ? ? 1) ? p ? ( 5 ? ? 5 ) ? q ? ( ? 2 ? ? 6 ) ? r ? 0 ?? 令 r ? 5 ? ? 5 ,则 p ? 0 , q ? 2 ? ? 6 ?6 p ? q ? 0 ? r ? 0 ? 0

? 面 PC 1 B 1 的法向量为 n ? ( 0 , 2 ? ? 6 , 5 ? ? 5 )

? 二面角 P ? C 1 B 1 ? A1 的余弦值为

10 10
?
2

?

cos ? D 1 D , n ?

? 6?

6 (5 ? ? 5 ) (5 ? ? 5 ) ? ( 2 ? ? 6 )
2

10 10

解得 ? ?

9 13

??????????(10 分)

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