第01讲 集合的基本概念与运算


第1讲

集合的基本概念与运算

一、高考要求 ①理解子集、补集、交集、并集的概念; ②了解空集和全集的意义; ③了解属于、包含、相等关系的意义; ④掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 二、两点解读 重点:①集合的三大性质; ②集合的表示方法 ;③集合的子、交、并、补等运算. 难点:①新问题情境下集合概念的理解;②点集和数集的区别;③空集的考查. 三、课前训练 1.设集合 A={1,2} ,B={1,2,3} ,C={2,3,4}则 A ? B) C ? ( ? ( A ) {1,2,3} ( B ) {1,2,4} ( C ) {2,3,4} ( D )

( D ) {1,2,3,4}

2.设集合 P ? {m ? 1 ? m ? 0} , Q ? {m ? R mx2 ? 4mx ? 4 ? 0 ,对任意的实数 x 恒成立},则 下列关系中成立的是 (A)P Q (B) Q P (C) P ? Q ( A ) (D) P ? Q ? ?

3.已知集合 A ? { y y ? x 2} , B ? { y y ? 2 x } ,则 A? B ? {y|y>0} 4.设集合 A={5, log 2 (a ? 3) },集合 B={ a , b }.若 A? B ={2},则 A ? B = {1,2,5} 四、典型例题 例 1.设集合 M ? {x x ? (A)M N

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x x ? ? , k ? Z } , 则 2 4 4 2
(C)M=N (D) M ? N ? ?

( A )

( B )N M

解:在 M 集合中: x ?

2k ? 1 k +2 ,即 4 x ? 2k ? 1 , k ? Z ;在 N 集合中: x= , k ? Z ,即 4 4

4 x ? k ? 2 ;由此可见:集合 M 中元素的 4 倍是奇数,集合 N 中的元素的 4 倍是整数,故

选 A. 例 2. 设集合 M ? {( x, y) x2 ? y 2 ? 1, x ? R, y ? R} , N ? {( x, y) | x ? y ? 1,
2

x ? R, y ? R} ,则集合 M ? N 中元素的个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3
1

( B ) (D)

y
O

4

x

解:选 B.如右图,在同一坐标系画出两个 点集所表示的图象.由图象可知,两曲线有 两个交点,即 M ? N 有两个元素.

例 3 . 设 P 、 Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? {a ? b | a ? P, b ? Q} , 若
P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是___8____

解:因为 a ? P, b ? Q ,所以 a ?{0,2,5}, b ? {1,2,6} .当 a ? 0 时, b 分别取 1,2,6 可得 a ? b 分别为 1,2,6;当 a ? 2 时, b 分别取 1,2,6 可得 a ? b 分别为 3,4,8;当 a ? 5 时, b
} 分别取 1,2,6 可得 a ? b 分别为 6,7,11.综上: a ? b ? {1,2,3,4,6,7,8,11 ,故 P ? Q 中有 8

个元素 例 4. 已知集合 M ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} , N ? {x mx ? 1 ? 0} ,若 N ? M ,则实数 m 的取值构成 的集合为_____________________ 解:方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 两根分别为: 2,?3 ,因此 M ? {2,?3} .由 N ? M 得 N ? ? 或{2}或{-
1 1 3},所以,实数 m 的取值构成的集合为 {? ,0, } 3 2

例 5. 已知 a ? R ,二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a .设不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A,又知集 合 B ? {x 1 ? x ? 3} ,若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围. 解:易知 a ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得: x1 ?
1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x 2 ? ? 2 ? 2 ,由此可得: a a a a

x1 ? 0, x 2 ? 0 .
( 1 ) 当 a ? 0 时 , A ? {x x ? x1} ? {x x ? x2 } , A ? B ? ? 的 充 要 条 件 是 x2 ? 3 , 即
1 1 6 ? 2 ? 2 ? 3 ,解得 a ? ; a 7 a 1 1 ? 2 ? 2 ? 1, a a

(2)当 a ? 0 时, A ? {x x1 ? x ? x 2 } , A ? B ? ? 的充要条件是 x 2 ? 1 ,即

2

解得 a ? ?2 .
6 综上所述,使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 (??,?2) ? ( ,??) 7

例 6.设集合 A 中不含有元素-1,0,1,且满足条件:若 a ? A ,则有 以下问题: (Ⅰ)已知 2 ? A ,求出 A 中其它所有元素; (Ⅱ)自己设计一个实数属于 A,再求出 A 中其它所有元素;

1? a ? A ,请考虑 1? a

(Ⅲ)根据已知条件和前面(Ⅰ) (Ⅱ)你能悟出什么道理来,并证明你的猜想.

1? 2 1? 3 1 解: (Ⅰ)由 2 ? A ,则 ? ?3 ? A ? ?? ?A? 1? 3 2 1? 2

1 2 ? 1?A 1 3 1? 2 1?

1 3 ? 2 ? A ,所以集合 A ? {2,?3,? 1 , 1} ; ? 2 3 1 1? 3 1?
1 1 (Ⅱ)任取一常数,如 3 ? A ,则同理(Ⅰ)可得: A ? {3,?2,? , } ; 3 2

(Ⅲ)猜想任意的 a ? ?1, a ? 0, a ? A ,则集合 A ? ?a,

? 1 ? a 1 a ? 1? ,? , ?. ? 1 ? a a a ? 1?

1? a 1 1? 1? 1? a 1 1? a ? ? ? A ? a ? a ?1 ? A 下面作简要证明: a ? A , ?A? 1? a 1 1? a a a ?1 1? 1? 1? a a

a ?1 a ?1 ? a ? A ? a ?1 1? a ?1 1?
这四个元素互不相等,否则 a ? ?1或a ? 0

3


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