3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域1_图文

回顾知识
在现实生活中,我们会遇到各种不一样的 不等关系,需要用不同的数学模型来刻画和研 究它.我们已经知道从很多现实事件中可以抽象 出一元二次不等式的模型.
1、一元二次不等式的一般形式为:
ax 2 + bx + c ? 0
2 ax + bx + c ? 0 一元二次不等式的一般形 2 ax + bx + c ? 0 式是什么?

ax 2 + bx + c <0

2、解一元二次不等式的基本步骤: (1)转化为不等式的“标准”形式;

(2)算△,解相应一元二次方程的根;
(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向,

写出不等式的解集.
3、这样我们就科技借助数学工具解决实际 问题了.

新课导入
一家银行的信贷部年初投入2500000元用于 企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来 30000元的收益.其中从企业贷款中获益12%, 从个人贷款中收益10%.那么,信贷部应该如何 分配资金呢? 分析:这个问题中存在着一些不等关系,我 们应该想办法把这些不等关系表示出来.

设用于企业贷款的资金为x元,用于个人 贷款的资金为y元. 由资金总数为25 000 000元,可得:
x + y ? 25000000 由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创 收10%,共创收30 000元以上 ,所以:

?12%? x + ?10%? y ? 30000

由于用于企业和个人贷款的资金数额都 不能是负值,所以: x ? 0, y ? 0

将他们合在一起,得到分配资金应该满 足的条件: x + y ? 25000000

?12%? x + ?10%? y ? 30000
x ? 0, y ? 0
从而,只要求出这个不等式组的解,我们 就得到了想要的答案.此时,我们的问题变为求 解上述不等式组的问题.

x+y > 3
3x + 2y < 5

x-y ? 1

之前我们把导入中提出的问题归结为解下列 这个二元一次不等式组的问题. x + y ? 25000000

?12%? x + ?10%? y ? 30000
x ? 0, y ? 0
什么是一元二次不等式 组呢?

定义
(1)二元一次不等式:含有两个未知数,并 且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不 等式 ; (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不 等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 ; (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二 元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数 对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的 集合称为二元一次不等式(组)的解集 ;

(4)二元一次不等式(组)的解集与平面 直角坐标系内的点之间的关系:二元一次不等式 (组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有 序实数对,因此,有序实数对就可以看成是平面 内点的坐标.

进而,二元一次不等式(组)的解集就 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合 .

我们知道,一元一次不等式(组)的解集 为数轴上的区间,例如: x+3>0 不等式组 x-4<0 的解集为数轴上的一个 区间. -3 0 4 x

那么,在直角坐标系里,一元一次不等式 (组)的解集表示什么图形呢?

探究
我们不妨先研究具体的二元一次不等式 x-y<6的解集所表示的图形. 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6表示一 条直线。平面内所有的点被直线分成三类 :
y

L:x-y=6

第一类:在直线x-y=6上的点; 第二类:在直线x-y=6左上方 的区域内的点; x 第三类:在直线x-y=6右下方 的区域内的点;

o

6

-6

设点P (x,y1)是直线L上的点,取点A(x,y2), 使他的坐标满足不等式x-y<6,完成下表.

横坐标 -3 x
y L:x-y=6 点p的

-2

-1

0

1

2

3

A
o

6 P

-6

纵坐标 -9 y1 x 点A的 纵坐标 y2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

问题
完成上表后,回答下列问题. 1、当点A与点P有相同的横坐标时,他们 的纵坐有什么关系? 2、进而,直线L上的点的坐标与不等式xy<6有什么关系? 3、直线右下方的点的坐标与不等式x-y<6 又有什么关系?

在平面直角坐标系中,以二元一次不等式xy<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方;反 过来,直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式 x-y<6.
在平面直角坐标系中,不等式x-y<6表示直线 想想这说明什 x-y=6左上方的平面区域 ; 么? 同样地,二元一次不等式x-y>6表示直线xy=6的右下方的区域.直线x-y=0称为这两个区域的 边界,一般把边界化成虚线,以表示他不再区域内.

1、通过以上的探究,我们知道了一个 二元一次不等式组表示的是那些点的组合.
2、我们可以把这两个区域的图像表示 出来. y L:x-y=6 y
o x

o

-6

6 L:x-y=6

x

6

-6

有了上面的基础后,我们能不能判断出 一个一般的二元一次不等式的表示区域呢?
一 般 形 式

Ax+By+C>0
他表示的应为直线Ax+By+C=0某一侧所有 的点组成的平面区域.

结论
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的 判断方法: 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点 (x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到 实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧 取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可 判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域. (特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点). 2、注意所求区域是否包括边界直线.

画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域.
解: 将直线2x+y-6=0画成虚线; 2x+y-6=0 将(0,0)代入2x+y-6 y 得0+0-6=-6<0

原点所在一侧为 2x+y表示平面区域.

2x+y-6<0 o

x

画出下列不等式所表示的平面区域 (1) 4x-3y≤12 (2) x≥1 (3) x-2y<0 (4) -2x+y-3>0
o
-4
3

y

x

(1)

y

y

o

1

x

1

(2)
y
3

o

2

x

(3)

(4)
x

o

?x ? 2 y ? 1 0 ? 0 画出不等式组 ? 表示的平面区域. x ? y ? 0 ? ?x ? 4 ?
解:把原点(0,0)带入式子x-2y+10,得00+10=10>0,从而x-2y+10≥0代表的为直线和 其右上方的区域;把原点(0,1)带入式子x+y, 得0+1>0,从而x+y≥0代表的为直线和其右上 方的区域.

从而他的图形为
Y

x+y=0

O

X

x-2y+10=0

x=4

一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t;生产1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸 盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础 上生产两种混合肥料.列出满足生产条件的数学 关系式,并画出相应的平面区域.

设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥 解: 料的车皮数,于是满足以下条件:

? 4x + y ≤ 10 ?18x + 15y ≤ 66 ? ? x≥0 ? ? y≥0 ?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域 .

课堂小结
1、二元一次不等式组:有几个二元一次 不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 ; 2、一个一元二次方程表示的应为直线 C≠0时,取原点作为特殊点 Ax+By+C=0 某一侧所有的点组成的平面区域 . C=0 时,取(0,1)作为 特殊点 3、二元一次不等式表示哪个平面区域的判 断方法: 直线定界,特殊点定域

课堂练习
1、画出下列不等式表示的平面区域.

(1)2x+3y-6>0
(2)2x+5y≥10 (3)4x-3y≤12

2、用不等式表示下列平面区域.

y
1 -1 o

y 1 o

x

2

x

( 1)

( 2)

解: (1)由图形可得,他对应的直线为x-y+1=0; 把原点(0,0)带入式子x-y+1得0-0+1>0; 从而,此图形代表的不等式为x-y+1≥0.

(2)由图形可得,他对应的直线为x+2y-2=0;
把原点(0,0)带入式子x+2y-2得0+0-2<0; 从而,此图形代表的不等式为x+2y+1≤0.

?x ? y ? 5 ? 0 3、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ? ?x ? 3 ?
解:把原点(0,0)带入式子x-y+5,得00+5=5>0,从而x-y+5≤0代表的为直线和其左 上方的区域;把原点(0,1)带入式子x+y,得 0+1>0,从而x+y≥0代表的为直线和其右方的 区域.

(x - y)(x - y -1)≤ 0表示的区域. 4、画出不等式
分析,可以将其转化成二元一次不等式组, 然后再利用不等式组的知识求解.
?x - y ≥ 0 解: ? ? x - y -1 ≤ 0

0≤x-y≤1

?x - y ≤ 0 或 ?x - y ≥ 1 ?

而后一种情况矛盾无解.故点(x,y)在一带形区 域内(含边界).

5、画出不等式 x ? y ? 2x表示的区域.

解:由x≤2x,得x≥0;当y≥0时,有

?x - y ≤ 0 ? ?2x - y ≥ 0

点(x,y)在一条形区域内(边界) ;当y≤0时, 由对称性得出.

去绝对值的方法, 你学会了吗?

? 2x - y - 3 > 0 ? 6、利用区域求不等式组 ? 2x + 3y - 6 < 0 的整数解. ? 3x - 5y - 15 < 0 ?

分析:不等式组的实数解集为三条直线所围 成的三角形区域内部(不含边界).这三条直线分别 为 l1 : 2x - y - 3 = 0 l 2 : 2x + 3y - 6 = 0 l 3 : 3x + 5y -15 = 0 求得区域内点横坐标范围,取出的所有整数值, 再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相 应的的整数值.

解:设 l1 : 2x - y - 3 = 0 l 2 : 2x + 3y - 6 = 0 l 3 : 3x + 5y -15 = 0 及 l1 ? l 2 = A l1 ? l3 = B
l 2 ? l 3 = C ;则
A( 15 3 , ) 8 4

B(0,-3) C(

75 12 ,- ) 19 19

于是看出区域内点的横坐标在

? 75 ? ? 0, ? 内, ? 19 ?

取=1,2,3,当=1时,代入原不等式
12 组有- < y < -1 得y = -2 ,∴区域内 5

有整点(1,-2),同理可求得另外三个整点 (2,0),(2,-1),(3,-1).

7、画出下列不等式的图形. (1)y>︱x︱+1

(2) ︱x︱>︱y︱

(3)x>︱y︱

(1)

(2)

(3)

关键是把绝对值不等式转化 成二元一次不等式组!


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