2009年高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习

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集合与函数、导数部分易错题分析
1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和 文氏图进行求解. 2.你会用补集的思想解决有关问题吗? 3.求不等式(方程)的解集,或求定义域(值域)时,你按要求写成集合的形式了吗? [问题]: x | y ?

?

x 2 ? 1 、 y | y ? x 2 ? 1 、 ( x, y) | y ? x 2 ? 1 的区别是什么?

? ?
?

? ?

?

4.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 5.解一元一次不等式(组)的基本步骤是什么? [问题]:如何解不等式: a 2 ? 1 x 2 ? b ? 0 ? 6.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对 二次项系数及对称轴进行讨论了吗? 7.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要 条件? [问题]:请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射? [问题]:已知:A={1,2,3},B={1,2,3},那么可以作 个 A 到 B 上的映射,那么 可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9.函数的表示方法有哪一些?如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性?单调性、周期性、 奇偶性在函数的图象上如何反应?什么样的函数有反函数?如何求反函数?互为反函数的 图象间有什么关系?求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,你注明函数的定义域了 吗? [问题]:已知函数 f ?x? ? log3 x ? 2, x ? ? ,9?, 求函数 y ? ? f ?x?? ? f x 2 的单调递增区间. 1
2

?

? ?

(你处理函数问题是是否将定义域放在首位) [ 问 题 ] : 已 知 函 数 f ? x ? ? 2 x ? 3 , 函数 y ? g ? x ?的 图 象 与 y ? f
x ?1
y ? x对称,求g ?11?的值 .
?1

?x ? 1? 的 图 象 关 于 直 线

10、如何正确表示分数指数幂?指数、对数的运算性质是什么? 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [ 问 题 ]: 已知函数 f ?x? ? loga x在x ? ?3,??? 上 ,恒有 f ?x ? ? 1 , 则实数 a的 取 值范围 是: 。 12.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?(定义法、导数法) 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求 参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? [问题]: 写出函数 f ( x ) ? x ?

m (m ? 0) 的图象及单调区间. x ? [c, d ] 时,求函数的最值.这种求 x

函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么? [问题]:证明“函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称”与证明“函数 f (x) 与函数 g (x) 的图 象关于直线 x ? a 对称”有什么不同吗?
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例题讲解 1、忽略 ? 的存在: 例题 1、已知 A={x| m ? 1 ? x ? 2m ? 1 },B={x| ?2 ? x ? 5 范围. 【错解】A ? B ? ?

},若 A ? B,求实数 m 的取值

?? 2 ? m ? 1 ,解得: -3 ? m ? 3 ?2m ? 1 ? 5 【分析】忽略 A= ? 的情况. ?? 2 ? m ? 1 【正解】 (1)A≠ ? 时,A ? B ? ? ,解得: -3 ? m ? 3 ; ?2m ? 1 ? 5 (2)A= ? 时, m ? 1 ? 2m ? 1,得 m ? 2 . 综上所述, m 的取值范围是( ? ? , 3]

( 2、 分不清四种集合: x y ? f ( x ) 、 y y ? f ( x ) 、 x, y ) y ? f ( x ) 、 x g ( x ) ? f ( x )
的区别.

?

? ?

? ?

? ?

?

例题 2、 已知函数 y ? f ?x ? ,x ? ?a, b?, 那么集合 ?x, y ? y ? f ?x?, x ? ?a, b? ? ?x, y ? x ? 2 中元素的个数为????????????????????????????( (A) 1 (B)0 (C)1 或 0 (D) 1 或 2

?

? ?

?



【错解】 :不知题意,无从下手,蒙出答案 D.

【分析】 :集合的代表元,决定集合的意义,这是集合语言的特征.事实上, x y ? f ( x ) 、

?

?

? y y ? f ( x)? 、(x, y ) y ? f ( x)? 、 ? x g ( x) ? f ( x)? 分别表示函数 y ? ?

f (x) 定

义域,值域,图象上的点的坐标,和不等式 g ( x) ? f ( x) 的解集. 【正解】 :本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知,两个集合的 交中至多有一个交点.即本题选 C. 3、搞不清楚是否能取得边界值: 例题 3、A={x|x<-2 或 x>10},B={x|x<1-m 或 x>1+m}且 B ? A,求 m 的范围. 【错解】因为 B ? A,所以: ?

?1 ? m ? ?2 ?m?9. ?1 ? m ? 10 ?1 ? m ? ?2 ?m?9. 1 ? m ? 10 ?

【分析】两个不等式中是否有等号,常常搞不清楚. 【正解】因为 B ? A,所以: ?

4、不理解有关逻辑语言: 例题 4、 “非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题,则以下四个命题:⑴M 的元素 都不是 P 的元素;⑵M 中有不属于 P 元素;⑶M 中有 P 的元素;⑷M 的元素不都是 P 的元 素,其中真命题的个数有???????????????????????( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 【错解】常见错误是认为第(4)个命题不对. 【分析】实际上,由“非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题知非空集合 M 不是 集合 P 的子集, “M 的元素不都是 P 的元素” 的元素有的是、 故 (M 有的不是集合 P 的元素, 或 M 的元素都不是 P 的元素)是正确的. 【正解】正确答案是 B(2、4 两个命题正确).
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5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小: 例题 5、若 a<0, 则关于 x 的不等式 x ? 4ax ? 5a ? 0 的解集是
2 2

.

【错解】x<-a 或 x >5 a 【分析】把解集写成了不等式的形式;没搞清 5 a 和-a 的大小. 【正解】{x|x<5 a 或 x >-a } 6、不能严谨地掌握充要条件的概念: 例题 6、 “a, c 成等比数列” 命题乙 b ? 题甲 b, , “ , ( ac ” 那么甲是乙的?????? )

(A) 充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又非必要条件 【错解】选 C 【分析】若 a,b,c 成等比数列,则 b ? ? ac ;若 b ?

ac ,则有可能 b ? 0, a或c ? 0 .

【正解】正确答案为:D 7、考虑充要条件时,忽略了前提条件: 例题 7、△ABC 中, “A=B”是“sinA=sinB”的?????????????( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D) 非充分非必要 【错解】错选 A 【 分 析 】 实 际 上 , 由 “ A=B ” 能 推 出 “ sinA=sinB ” 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 ; a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B 及“sinA=sinB” ,可知 a ? b ,从而有“A=B”成立. 【正解】正确答案为 C. 8、不能正确地理解有关概念,导致推理错误: 例题 8、已知直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,其中 m ? ? 、n ? ? ,则 ? ∥ ? 的一个充分不必要 条件是:????????????????????????????????( (A) ? ⊥ ? , ? ⊥ ? (C) (B) m∥ ? , n∥ ? (D) ? 内不共线的三点到 ? 的距离相等 )

? ∥? , ? ∥?

【错解】错选 A. 【分析】注意:寻找的是一个充分不必要条件. 学生往往错误地认为: ? ∥ ? ? 某条件,且某条件不能推出 ? ∥ ? . 而实际上,应该是:某条件 ? ? ∥ ? ,且 ? ∥ ? 不能推出某条件. 【正解】正确答案为 C. 9、逻辑推理混乱: 例题 9、使不等式 (1? | x |)(1 ? x) ? 0 成立的充分而不必要的条件是???????( (A) {x | x ? ?1或x ? 1} (C) {x | x ? ?1且x ? 1} (B) {x | ?1 ? x ? 1} (D) {x | x ? 1且x ? ?1} )

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【错解】搞不清所要求的条件和不等式 (1? | x |)(1 ? x) ? 0 的关系. 【分析】所要求的“某条件”满足: “某条件” ? 不等式 (1? | x |)(1 ? x) ? 0 成立; (1) (2) “某条件” 【正解】正确答案为:B 10、不会用“等价命题”推理: 例题 10、设命题 p:|4x-3|≤1,命题 q: x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必 要而不充分条件,则实数 a 的取值范围是 【错解】常见错误解答是: ? 0, ? . 【分析】解答此题比较好的思路是:由 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件得知 p 是 q 的充分而 不必要条件,然后再解两个不等式,求 a 的取值范围. 【正解】正确答案是 ?0, ? . 2 11、不注意数形结合,导致解题错误. 例题 11、曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个不同交点的充要条件是 【错解】误将半圆 y ? 1 ? 4 ? x 2 认为是圆. 【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路. 【正解】可得正确答案为: . 不等式 (1? | x |)(1 ? x) ? 0 成立;

? ?

1? 2?

? 1? ? ?

5 3 ?k? 12 4

二、函数部分
1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是:定义域关于原点对称. 例题 1、函数 f ( x) ? (1 ? x) 【错解】偶函数. 【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误. 【正解】实际上,此函数的定义域为[-1,1) ,正确答案为:非奇非偶函数 2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识: 例题 2、 f ( x) ? x ? sin x ,若 x1 , x2 ? [ ?

1? x 的奇偶性为 1? x

? ?

, ] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1、x2 满足的条件 2 2

是 ; 【错解】不知如何下手,不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题. 【分析】可以判断出 f(x)是偶函数,且在 [0,

?
2

] 上是增函数.

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【正解】由 f(x)在 [ ?

? ?

, ] 上的图象可知答案为 ? | x1 | ? | x2 | . 2 2 2

?

3、指、对数函数的底数为字母时,缺乏分类讨论的意识: 例 3、函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1), 当 x??2, ??? 时, y ? 1, 则 a 的取值范围是?( )

a a (A) ? 2或0 ? a ? (B) ? 2或a ?

1 2

1 1 1 (C) ? a ? 1或1 ? a ? 2 (D) ? a ? 2 2 2 2

【错解】只想到 a ? 1 一种情况,选 D 【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论. 【正解】正确答案为:C 4、不理解函数的定义: 例 4、函数 y=f(x)的图象与一条直线 x=a 有交点个数是???????????( ) (A)至少有一个 (B) 至多有一个 (C)必有一个 (D) 有一个或两个 【错解】选是 A、C 或 D 【分析】不理解函数的定义(函数是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射,故定义域内的一 个 x 值只能对应一个 y 值). 【正解】正确答案为:B 变式、在同一坐标系内,函数 f ( x) ? 2x?1 , g ( x) ? 21? x 的图象关于???????( (A) 原点对称 【错解】没有思路. (B)x 轴对称 (C)y 轴对称 (D) 直线 y=x 对称 )

【分析】要知道 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? ? ? 两函数的图象关于 y 轴对称.

?1? ?2?

x

【正解】 f ( x) ? 2

x ?1

的图象由的图象向左平移 1 个单位而得到, g ( x) ? 2
x

1? x

?1? =? ? ?2?

x?1



?1? 图象由 y ? ? ? 的图象向右平移一个单位而得到.故选 C. ?2?
基础练习题 1、已知函数 y ? f ?x ? , x ? ?a, b?,那么集合 ?x, y ? y ? f ?x?, x ? ?a, b? ? ?x, y ? x ? 2 中 元素的个数为( C ) A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. 1 或 2

?

? ?

?

2、已知函数 f ?x ? 的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f ?x ? 2? 的定义域和值域分别 是( C ) A. [0,1] ,[1,2] B. [2,3] ,[3,4]
x

C. [-2,-1] ,[1,2] D. [-1,2] ,[3,4]

3、已知 0< a <1, b <-1,则函数 y ? a ? b 的图象必定不经过( A )
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A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4、将函数 f ?x ? ? 2 x 的图象向左平移一个单位得到图象 C1 ,再将 C1 向上平移一个单位得图 象 C 2 ,作出 C 2 关于直线 y ? x 对称的图象 C3 ,则 C3 对应的函数的解析式为( B ) A. y ? log2 ?x ? 1? ? 1 C. y ? log2 ?x ? 1? ? 1 B. y ? log2 ?x ? 1? ? 1 D. y ? log2 ?x ? 1? ? 1

5、已知函数 f ?x ? ? log1 ?2 ? x ? 在其定义域上单调递减,则函数 g ?x? ? loga 1 ? x 2 的单
a

?

?

调减区间是( A. ?? ?,0?

D

) B. ?? 1,0? C. ?0,??? D. ?0,1?

6、函数 y ? x cos x ? sin x 在下面的哪个区间上是增函数( B ) A. ?

? ? 3? ? , ? ?2 2 ?

B.

?? ,2? ?

C. ?

? 3? 5? ? , ? ? 2 2 ?

D. ?2? ,3? ?

7、 f ?x ? ? xn 设 i s

? ? ?? 且 则下列结论必成立的是 D ) ( x , 1 、 2 ? ?? , ? , f ?x1 ? > f ?x2 ? , x x ? 2 2?
B. x1 + x2 >0 C. x1 < x2 D. x1 > x 2
2 2

A. x1 > x2

8、方程 x ? log2 x ? 2 和 x ? log3 x ? 2 的根分别是 ? 、 ? ,则有( A ) A.

? <?

B.

? >?
2

C.

? =?
2

D. 无法确定 ? 与 ? 的大小

9、若 ? 、 ? 是关于 x 的方程 x ? ?k ? 2?x ? k ? 3k ? 5 ? 0 ( k ? R )的两个实根,则

? 2 ? ? 2 的最大值等于( C )
A. 6 B.

50 9

C. 18

D. 19

10、若 y ? ax 与 y ? ? 的是( C )

b 3 在 ?0,??? 上都是减函数,对函数 y ? ax ? bx 的单调性描述正确 x
B. 在 ?0,??? 上是增函数 D. 在 ?? ?,0? 上是增函数,在 ?0,??? 上是减函数

A. 在 ?? ?,??? 上是增函数 C. 在 ?? ?,??? 上是减函数

11、已知奇函数 f ?x ? 在 ?? ?,0? 上单调递减,且 f ?2? ? 0 ,则不等式 ?x ? 1? f ?x ? 1? >0 的
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解集是( B ) A. ?? 3,?1? B.

?? 1,1? ? ?1,3?

C. ?? 3,0? ? ?3,???

D. ?? 3,1? ? ?2,???

12、不等式 loga x 2 ? 2x ? 3 ≤ ? 1 在 x ? R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( C ) A. ?2,??? B. ?1,2? C. ? ,1? ?2 ?

?

?

?1 ?

D. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

13、方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的充要条件是( C )
2

A. 0< a ≤1

B. a <1

C. a ≤1
x ?1

D. 0< a ≤1 或 a < 0 ( a >0 且 a ≠1)的图象可能是 C

14、在同一坐标系中,函数 y ? ax ? 1 与 y ? a

(A)

(B)

(C)

(D)

15、 函数 y ? f ?x ? 是 R 上的奇函数, 满足 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? , x ∈ 当 (0, 时 f ?x ? ? 2 3) 则当 x ∈( ? 6 , ? 3 )时, f ?x ? =( B ) A. 2
x ?6

x



B. ? 2
3

x?6

C. 2

x ?6

D. ? 2

x ?6

16、函数 f ?x? ? ax ? ?a ? 1?x ? 48?b ? 3?x ? b 的图象关于原点中心对称,则 f ?x ? B
2

? ? B. 在 ?? 4 3,4 3 ?上为减函数 C. 在 ?4 3,??? 上为增函数,在 ?? ?,?4 3? 上为减函数 D. 在 ?? ?,?4 3? 上为增函数,在 ?4 3,??? 上为减函数
A. 在 ? 4 3,4 3 上为增函数
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3 3 17、 t ? sin ? ? cos ? 且 sin ? ? cos ? <0,则 t 的取值范围是( A )

A. ? 2 ,0

?

?

B. ? 2 , 2

?

?

C. ?? 1,0? ? 1, 2

?

?

D. ? 3,0 ?

?

? ? 3,???

18、二次函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?? x ? 2? ,又 f ?0? ? 3 , f ?2? ? 1 ,若在[0, m ]上 有最大值 3,最小值 1,则 m 的取值范围是( D ) A. ?0,??? B. ?2,??? C. ?0,2? D. [2,4]

19、已知函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示,

y





B ) B. b ? ?0,1? D. b ? ?2,??? 0 1 2

A. b ? ?? ?,0? C. b ? ?1,2?

x

2 20、 M ? ? x, y ? y ? x ? 2bx ? 1 ,P ? ?x, y ? y ? 2a?x ? b? ,S ? ?a, b? M ? P ? ? , 设

?

?

?

?

?

?

则 S 的面积是 A. 1

( B.

A )

?

C. 4

D. 4 ?

二、填空题:
21、函数 y ?

1 1? ? ( x >-4)的值域是____ ? ??, ? ? ? 0, ?? ? ________________. x 4? ?

22、函数 y ? x ? 2 ? x ? 5 的值域是______ ? ?7,7? __________________. 23、函数 y ?

x ? 3 ? x 的值域是________

?

3, 6 _________________.

?

24、若实数 x 满足 log2 x ? cos? ? 2 ,则 x ? 8 ? x ? 2 =______10____. 25、设定义在区间 2

?

2? a

? 2,2 a?2 上的函数 f ?x? ? 3 x ? 3? x 是奇函数,则实数 a 的值是

?

_________2______________. 26、函数 f ?x ? ?

x 2 ? 1 ( x <-1)的反函数是___ y ? ? x 2 ? 1 ? x ? 0 ? ____.
p p ? 在(1,+ ? )上是增函数,则实数 p 的取值范围是 x 2

27、函数 f ? x ? ? x ?

______ p ? 1 ______________.
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28、已知集合 A ? x x 2 ? ax ? x ? a ,集合 B ? ?x1 ? log2 ?x ? 1? ? 2?,若 A ? B , 则实数 a 的取值范围是___ ?1,3? ____.
29、已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x <0 时, f ?x ? 是单调递增的,则不等 式 f ?x ? 1? > f ?1? 2 x ? 的解集是____ ? ??,0? ? ? 2, ??? ________. 30、已知 f ?x? ? loga ? x 2 ? loga x 对任意 x ? ? 0, ? 都有意义,则实数 a 的取值范围是

?

?

?

?

? ?

1? 2?

_______ ?

?1 ? ,1? _______ ?16 ?
2

31、函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 ?0, m?,值域为 ??

? 25 ? ,?4? ,则实数 m 的取值范围是 ? 4 ?

______ ? ,3? ________________. 2 32、函数 f ? x ? ?

?3 ?

? ?

? 2 ?1 ? ? sin xcox 2 ? 1? , ?1? ? ? ?1, 的值域是___ ? ? ? ___. ? 1 ? sin x ? cox 2 2 ? ? ? ?
3 2 1 2 , x ? 4 x ? 3 中的较大者,则 f ?x ? 2

33、对于任意 x ? R ,函数 f ?x ? 表示 ? x ? 3 , x ? 的最小值是_________2___________________.

x 34、已知 a >1, m > p >0,若方程 x ? loga x ? m 的解是 p ,则方程 x ? a ? m 的解是

_______ m ? p _____________. 35、已知函数 f ?x? ? ax ? ?2a ? 1?x ? 3( a ≠0)在区间 ??
2

? 3 ? ,2? 上的最大值为 1,则实数 ? 2 ?

3 ?3 ? 2 2 ________________. a 的值是____ 或 4 2
36、对于任意实数 x 、 y ,定义运算 x * y 为: x * y = ax ? by ? cxy ,其中 a 、 b 、

等式右边的运算是通常的加法和乘法运算, 现已知 1*2=3, 2*3=4, c 为常数, 并且有一个非零常数 m ,使得对于任意实数 x ,都有 x * m = x ,则

m =____________4_____.
37、已知函数 f ?x? ? lg a ? 1 x ? ?a ? 1?x ? 1 的定义域为 ?? ?,??? ,则实数 a 的取值范
2 2

??

?

?

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5 或 a ? ?1 ___________________. 3 a 38、若函数 f ? x ? ? log a ( x ? ? 4) ( a >0 且 a ≠1)的值域为 R ,则实数 a 的取值 x
围是_____ a ?

范围是___ 0 ? a ? 4 或 a ? 1 _____________.
39、若曲线 y ? 1 ? ? x ? a ? 与 y ? x ? 2 有且只有一个公共点 P , O 为坐标原点,则
2

OP 的取值范围是___

?

2, 2? _____. ?

40、若定义在区间 D 上的函数 f ?x ? 对 D 上的任意 n 个值 x1 , x2 ,?, xn ,总满足

1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? f ?xn ?? ≤ f ? x1 ? x2 ? ? xn ? , f ?x ? 为 D 上的凸函数.已知 ? ? 则称 n n ? ?
函数 y ? sin x 在区间 ?0, ? ? 上是“凸函数” ,则在△ ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的

最大值是____

3 3 ________________. 2
x

41、正实数 x1,x2 及函数,f (x)满足 4 ? 最小值为 A.4 B.

1 ? f ( x) , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则 f ( x1 ? x2 ) 的 1 ? f ( x)
( B )

4 5

C.2
2

D.

1 4


42、 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), f (1) ? 0 , “b > 2a” “f (-2) < 0” ( A 则 是 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

43、一次研究性课堂上,老师给出函数 f ( x) ? 此函数时分别给出命题: 甲:函数 f (x)的值域为(-1,1) ; 乙:若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2);

x ( x ? R) ,三位同学甲、乙、丙在研究 1? | x |

丙:若规定 f1 ( x) ? f ( x), f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)), 则 f n ( x) ? 立. 你认为上述三个命题中正确的个数有( D A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
3

x ? 对任意 n ? N 恒成 1? n | x |



44、已知函数 f ( x) ? x ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____
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(答: (??,3] ));
45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f (x)的图象恰好通过 k 个 格点,则称函数 f (x)为 k 阶格点函数.下列函数:① f ( x) ? sin x ;② f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 ③ f ( x ) ? ( ) ;④ f ( x) ? log0.6 x. 其中是一阶格点函数的有
x

1 3

①②④

.(填上

所有满足题意的序号) 46、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx, f ( x ? 1) 为偶函数,函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切. (1)求 f(x)的解析式 (2)若函数 g ( x) ? [ f ( x) ? k ]x在(??,??) 上是单调减函数,求 k 的取值范围. (1)∵f(x+1)为偶函数,∴ f (? x ? 1) ? f ( x ? 1),即

a(? x ? 1) 2 ? b(? x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) 恒成立,
即(2a+b)x=0 恒成立,∴2a+b=0 ∴ f ( x) ? ax2 ? 2ax ∵函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切, ∴二次方程 ax2 ? (2a ? 1) x ? 0 有两相等实数根, ∴ ? ? (2a ? 1) 2 ? 4a ? 0 ? 0 ,? a ? ? (2)∵ g ( x) ? ? ∴b=-2a

1 1 , f ( x) ? ? x 2 ? x 2 2

1 3 x ? x 2 ? kx , 2

3 ? g ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? k ,? g ( x)在(??, ??)上是单调减函数 2

? g ' ( x) ? 0在(??,??)上恒成立,
3 2 2 ? ? ? 4 ? 4(? )( ?k ) ? 0, 得k ? ,故 k 的取值范围为 [ ,?? ) 2 3 3
47、已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 . (1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、

n 应满足的条件. 解:(1) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ,
由题意得, 1, ? 1 是 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根, 解得, a ? 0, b ? ?3 . 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 . ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x ? 2 . (2) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,
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-4 -1 O 2 x y

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当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . ∴函数 f ( x) 在区间 (??, ?1] 上是增函数; ] 在区间 [ ?1,1 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数. 函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . (3) 函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位, 向上平移 4 m 个单位得到的, 所以,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域为 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 ) . 而 f (?3) ? ?20 ,∴ ?4 ? 4m ? ?20 ,即 m ? 4 . 于是,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] . 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 . 由 f ( x) 的单调性知, ?1 剟n ? 4 2 ,即 3 剟n 6 . 综上所述, m 、 n 应满足的条件是: m ? 4 ,且 3 剟n
6.

48、 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且在 [?3, ?2] 上是减函数, ? , ? 是 若 锐角三角形的两个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为____ (答:

f (sin ? ) ? f (cos ? ) );
49、函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个(答:2) 50、 如若函数 y ? f (2 x ?1) 是偶函数, 则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是__ (答:x ? ?

1 ). 2

3 51、已知函数 f ( x) ? x ? 3x 过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程(答: 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 ) 。

52、 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上是减函数, 那么 b+c 有最__值__答: 大, ?

15 ) 2
3 2 2

53、函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1 处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7) 54、设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R}, N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) , ? ? R} ,则

? ?

? ?

M ? N ? _____(答: {(?2,?2)} )
55、 A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ,求 a 的取值。 (答:a≤0)
2 ?

56、已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数 c ,
2 2

使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。 (答: ( ?3, ) ) 57、若函数

3 2

f (x)

的导函数为 )

f ?( x) ? ? x( x ? 1)

,则函数

g ( x) ? f (loga x)(0 ? a ? 1)

的单调递

减区间是(C

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(A) [?1,0]

(B) [ ,??), (0,1]

1 a

(C) [1, ] (D) (??, ], [ ,??)

1 a

1 a

1 a

58、定义在 R 上的函数 y ? f (x) ,它同时满足具有下述性质: ①对任何 x ? R均有f ( x 3 ) ? f 3 ( x); ②对任何 x1 , x2 ? R, x1 ? x2均有f ( x1 ) ? f ( x2 ).则 f (0) ? f (1) ? f (?1) ? 0 59、已知全集 U=R,集合 A ? { y | y ? ?2 x , x ? R}, B ? { y | y ? x 3 ? 3x, x ? R} ,则 A. {x | ? .

9 ? x ? 0} 4

C.{(1,-2)}

9 4 9 D. { x | x ? ? } ( 4
B. { x | x ? ? } C.[2,2 3] D.[4,12]

) )

60、若 y=3|x|(x∈[a,b])的值域为[1,9],则 a2+b2-2a 的取值范围是( A.[2,4] 61、 若函数 f ( x) ? A. ( ,?? ) B.[4,16]

1 2

ax ? 1 (a为常数 ), 在(?2,2) 内为增函数,则实数 a 的取值范围(A x?2 1 1 1 B. [ ,?? ) C. (?? , ) D. (?? , ] 2 2 2



62、 (12 分)设某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数, (t ) ? at 3 ? bt 2 ? ct ? d ,(a ? 0) T
其中温度的单位是 C , 时间的单位是小时。 表示 12:00, t 取正值表示 12:00 点以后。 t=0 若测得该物体在 8:00 的温度为 8 C ,12:00 的温度为 60 C ,13:00 的温度为 58 C ,且已知 该物体的温度在 8:00 和 16:00 有相同的变化率。 (1)写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在 10:00 到 14:00 这段时间中(包括 10:00,14:00)何时温度最高?并求出最 高温度。 (1) T ?(t ) ? 3at ? 2bt ? c, 依题意得
2
? ? ? ?

??64a ? 16b ? 4c ? d ? 8 ?d ? 60 ? ? ?a ? b ? c ? d ? 58 ?3a(?4) 2 ? 2b(?4) ? c ? 3a ? 42 ? 2b ? 4 ? c ?
解得:a=1,b=0,c=-3,d=60 故 T(t)=t -3t+60
3

(2) T ?(t ) ? 3(t ? 1)(t ? 1) =0,得: t ? ?1 比较 T(-2),T(-1),T(1),T(2)知,在 10:00 ? 14:00 这段时间中,该物体在 11:00 和 14:00 的温度最高,且最高温度为 62 C .
?

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