最新-高三数学二轮复习 专题辅导4函数与方程思想教学案 精品

【专题四】函数与方程思想
【考情分析】 观近几年的高考试题, 函数的主干知识、 知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查, 一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上,与函数相关的试题所占比例始终在 20%左右,且试题中既有 灵活多变的客观性试题,又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高 考中所占比重比较大,综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中,还安排了函数与方程这 一节内容,可见其重要所在。 在近几年的高考中,函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等,方程观点的应用可分为逐步 提高的四个层次: (1)解方程; (2)含参数方程讨论; (3)转化为对方程的研究,如直线与圆、圆锥曲线 的位置关系,函数的性质,集合关系; (4)构造方程求解。 预测 2018 年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面:①是建立函数关系式,构造函数模型 或通过方程、方程组解决实际问题;②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等 式问题;③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立 体几何等问题.在构建函数模型时仍然十分注 重“三个二次”的考查.特别注意客观形题目,大题一般难度略大。 【知识归纳】 函数与方程(不等式)的思想贯穿于高中学习的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围 的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程(不等式)思想的运用使我们解决问 题的重要手段。 函 数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解就是函数 y=f(x)的 图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方程 f(x)-y=0 通过方程进行研究。就中学数 学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解 (证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造 中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。许多有关方程 的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中 学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数, 运用函数的图像和性质去分析问题、 转化问题, 从而使问题获得解决。 函数思想是对函数概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题; 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过 解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的 本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运 动中的等量关系; 3.函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中,很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持,很多方程的问题需要用函数的知识 和方法去解决.对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数 y=f(x)看作二元 方程 y-f(x)=0,函数与方程可相互转化。 4.函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把 函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。函数问题(例如求反函数,求函 数的值域等)可以转化为方程 问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点; (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x)>0,借助

于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式; (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要; (4)函数 f(x)= (ax ? b) n (n∈N )与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数
*

法可以解决很多二项式定理的问题; (5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解 决,涉及到 二次方程与二次函数的有关理论; (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函 数表达式的方 法加以解决。 【考点例析】 题 型 1:函数思想在方程中应用 例 1. ( 2018 高考山东)设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax 2 ? bx(a, b ? R, a ? 0) ,若 y ? f ( x) 的图象与 x


y ? g ( x) 图象有且仅有两个不同的公共点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是(
A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 【答案】B; 【解析】 :在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当 a ? 0 时,要想 满足条件, 则有如图, 做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (? x1,? y1 ) , 由图象知 ? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 , 同理当 a ? 0 时, 则 有 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 B。 另法: F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x ) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有 B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

2 2 且仅有两个不同零点 x1 , x2 .由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 3 3 2 3 2 F (0) ? 1 , 故必有 F ( b) ? 0 由此得 b ? 3 2 .不妨设 x1 ? x2 , 则 x2 ? b ? 3 2 .所以 F ( x) ? ( x ? x1)( x ? 3 2) 2 , 3 2 3 1 1 x ? x2 1 1 ? 0, 比较系数得 ? x1 3 4 ? 1, 故 x1 ? ? 3 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 , 由此知 y1 ? y2 ? ? ? 1 故答案为 B。 x1 x2 x1 x2 2 2
题型 2:函数思想在不 等式中的应用 例 2. (2018 高考浙江)设 a 大于 0,b 大于 0. A.若 2 +2a=2 +3b,则 a>b C.若 2 -2a=2 3b,则 a>b 【答案】A;
l 2 2? 0 ? 【解析】 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b , 必有 2a ? 2a ? 2b ? 2b . 构造函数: f ? x ? ? 2x ? 2 x , 则 f ? ? x ? ? 2x ?n
a ba b

B.若 2 +2a=2 +3b,则 a>b D.若 2 -2a=a -3b,则 a<b
a b

a

b

恒成立,故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2 x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余选项用同样方法排除.故选 A。

点评:当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方程后再利用方程 知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把 其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决。 题型 3:函数思想在实际问题中的应用 例 3. (2018 陕西理 14) .植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树 相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所 走的路程总和最小,这个最小值为 (米) . 【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题; 【解】 (方法一)设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图) ,

i 1 2 … … 19 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是:

20

s ? (i ?1) ?10 ? (i ? 2) ?10 ?
? 10 ? [i ? i ?

? (i ? i) ?10 ? [(i ? 1) ? i]?10 ?

? (20 ? i) ?10

i (i ? 1) (20 ? i)(i ? 1 ? 20) ? i ? (20 ? i ) ? ] ? 10(i 2 ? 21i ? 210) 。 2 2 所以当 i ? 10 或 11 时, s 的值最小,最小值是 1000,所以往返路程的最小值是 2000 米。

(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以 从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路 程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁,则有路程总和是

10 ? (1 ? 2 ?
总和是:

? 19) ? 2 ? 10 ?

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树苗放在第 10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程 2

10 ? (1 ? 2 ?
? 10 ?

? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ?

? 10) ? 2

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 , 2 2

所以路程总和最小为 2000 米. 点评:构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用,函数是解决具体问题的有效工具。该题通 过分析实际模型建立了函数解析式,研究函数的性质,解释问题。 题型 4:函数思想在数列中的应用 例 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 12 , S12 >0, S13 <0, (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S 2 、 S 3 …, S12 中哪一个最大,并说明理由。 解析: (1)由 a3 ? 12 得: a1 ? 12 ? 2d , ∵ S12 = 12a1 ? 44d ? 144? 42d >0, S13 = 13a1 ? 78d ? 156? 52d <0, ∴?

24 <d<-3 7 n(n ? 1) 1 5 d ? dn 2 ? (12 ? d )n , 2 2 2

(2) S n ? na1 ?

∵d<0, S n 是关于 n 的二次函数,对称轴方程为:x= ∵?

5 12 ? 。 2 d

24 5 12 13 <d<-3,∴6< ? < , 7 2 d 2

∴当 n=6 时, S n 最大。 点评:数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要。 题型 5:函数思想在立体几何中的应用 例 5. (1) (2018 高考江西)如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一 动点,过点 E 垂 直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下面部分的体积 为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x) 的图像大致为( )

【答案】A; 【解析】 : (定性法)当 0 ? x ? 越来越快;当

1 时,随着 x 的增大,观察图形可知,V ? x ? 单调递减,且递减的速度 2

1 ? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递减的速度越来越慢;再 2

观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A。 【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 y ? f ? x ? 的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没 必要去求解具体的解析式, 不但方法繁琐, 而且计算复杂, 很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃; 再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时 间。 (2)已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 1,表面积为 解析:设三条棱长分别为 x,y,z,则长方体的体积 V=xyz。 由题设有: 所以 , ; ,求长方体的体积的最值。

故体积 V(x) 下面求 x 的取值范围。因为 所以 y、z 是方程 由 因为 所以当 时, ;当 ,

, , 的两个实根。

时,



点评:解决本题的关键在于确定目标函数时,根据相关条件的特征,构造了二次方程,并由此得出定 义域使问题得解。 题型 6:利用方程思想处理解析几何问题 例 6. (1)直线 A. B. 与圆 C.1D. ,并代入圆方程,整理得 ,解得 。 。 相切,则 a 的值为( )

解析:由直线方程得 又直线与圆相切,应有 故选 D。

点评:即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程,其判别式为△, 则有: (1)曲线 C 与直线 相离 。 (2)△ABC 的三边 a,b,c 满足 b=8-c, 解析:因为 b+c=8, 所以 b,c 是方程 , 的两实根, ,试确定△ABC 的形状。 ; (2)曲线 C 与直线 相切 ; (3)曲线 C 与直线 相交



,所以 a=6。从而得 b=c=4,因此△ABC 是等腰三角形。

点评:构建一元二次方程的模型解决数学问题,是一种行之有效的手段,其独特功能在于充分运用构 建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题,从而使问题获得圆满解决。 题型 7:函数思想在三角中的应用 例 7. (1)求 解析:设 的取值范围。 ,



,构造二次函数



由图 1 可知:

图1 即 (2)已知函数 解析:由 得 。 ,当 有实数解时,求 a 的取值范围。

,分离 a 得:

; 问题转化为求 a 的值域。 因为 ,所以 。

故当

时,

有实数解。

点评:该题通过三角换元构造了二次函数,最终求得最值。 题型 8:方程思想在求函数最值中的应用 例 8. (1)如果函数 的最大值是 4,最小值是-1,求实数 a、b 的值。

解析:由 y 的最大值是 4,知存在实数 x 使

=4,即方程

有实根,故有

; 又由 y 的最大值是 4 ,知对任意实数 x 恒有 ,从而有 同样由 y 的最小值是-1,可得 。 。 ,即 恒成立,故



,可解得



2 4 3x ? n 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。 (2)已知函数 y= mx ? 2

x ?1

解析:函数式变形为: (y-m)x -4 3 x+(y-n)=0,x∈R, 由已知得 y-m≠0,∴ △=(-4 3 ) -4(y-m)(y-n)≥0。 即:y -(m+n)y+(mn-12)≤0 ①,
1 ? ( m ? n) ? mn ? 12 ? 0 不等式①的解集为(-1,7),则 ? ? m ? 5 或 ?m ? 1 ∴ y=…… 解得: ? ? ? ?n ? 1 ?n ? 5 ?49 ? 7( m ? n) ? mn ? 12 ? 0
2 2

2



(也可: 由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,然后与不等式①比较系数而得。 ) 点评:本例解法中,对题设中给出的最值,一方面认为是方程的实数解,另一方面又认为是不等式的 恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻,所以构思新颖,证法严谨。 题型 9:方程思想在数列知识中的应用 例 9.若(z-x)
2

-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z 成等差数列。
2

分析:题设正好是判别式 b -4ac=0 的形式,因此构造一个一元二次方程求解。 证明:当 x=y 时,可得 x=z,∴x、y、z 成等差数列; 当 x≠y 时,设方程(x-y)t -(z-x)t+(y-z)=0,由△=0 得 t 1 =t 2 ,并易知 t=1 是方程的根。 ∴t 1 ·t 2 = y ? z =1,即 2y=x+z,
x? y
2

∴x、y、z 成等差数列。 点评:题设条件具备或经变形整理后具备 x 1 +x 2 =a、x 1 ·x 2 =b 的形式,则利用根与系数的关系构 造方程;具备 b -4ac≥0 或 b -4ac≤0 的形式,可利用根的判别式构造一元二次方程。 题型 10:方程思想在三角知识中的应用 例 10.△ABC 中,求证:cosA·cosB·cosC≤ 1
8 2
2 2

证明:设 k=cosA·cosB·cosC= 1 [cos(A+B)+cos(A-B)]·cosC= 1 [-cosC+cos(A-B)]cosC;
2

整理得:cos C-cos(A-B)·cosC+2k=0,即看作关于 cosC 的一元二次方程。 ∴△=cos (A-B)-8k≥0,即 8k≤cos (A-B)≤1; ∴ k≤ 1 即 cosA·cosB·cosC≤ 1 。
8 8
2 2

2

点评: 既是方程思想, 也属判别式法。 还可用放缩法: cosA·cosB·cosC=… =- 1 cos C+ 1 cos(A
2

2

2

-B)·cosC=- 1 [cosC- cos( A ? B) ] + 1 cos (A-B)≤ 1 cos (A-B) ≤ 1 。
2 2 2

2

2

8

8

8

题型 11:函数零点与方程的解 例 11. (1) (2018 年高考北京)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为(
x 1

1 2



A.0 B.1 【答案】B;
1 2

C.2

D.3

1 1 x 1 x 【解析】 :函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点,即令 f ( x) ? 0 ,根据此题可得 x 2 ? ( ) ,在平面直角坐标系 2 2

中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案 B. 点评:函数的零点、方程的根以及函数图像与 x 轴的交点之间存在相互转化关系。本题主要考察学生 对方程的根与函数零点关系的理解,以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法。 (2)已知函数 f ( x) ? 2 x ? ln( 1 ? x) ,则方程 f ( x) ? 0 在( ? 2 ,1 )内有没有实数解?说明理由? 解析:由基本初等函数的性质可知函数 f ( x) ? 2 x ? ln( 1 ? x) 在其定义域 (??,1) 内的图象连续, 且有 f (1 ? e) ? 2(1 ? e) ? ln e ? 3 ? 2e ? 0 , f (1 ? ) ? 2(1 ? ) ? ln 于是有 f (1 ? e) · f (1 ? ) ? 0 。

1 e

1 e

1 2 ? 1? ? 0 , e e

1 e

1 )内至少有一个零点, e 1 即方程 f ( x) ? 0 在区间( 1 ? e , 1 ? ) ? ( ? 2 ,1)内至少有一个实数解. e
∴函数 f ( x) 在区间( 1 ? e , 1 ? 点评:本题主要考察学生对函数零点存在判定定理的理解与应用。 【方法技巧】 1.函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。 函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函 数关系; 2.在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作已知数,根据题设本身各量间的制 约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想; 3.函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数若有解析表达式,那么这 个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如果这个对应关系是函数,那 么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图 象交点的横坐标,因 此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多有关函数的问题则可以 用方程的方法解决. 总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数 和方程的思想,用它来指导解题。在解 题中,同 时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最佳解题方案。 【专题训练】 一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? +cos ? =0,则 a,b 满足( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 D. a ? b ? 0



2. 设 P 是 60 的二面角 ? ? l ? ? 内一点,PA ? 平面? , PB ? 平面? , A,B为 垂足,PA ? 4, PB ? 2,

则 AB 的长为( A. 2 3

) B. 2 5 C. 2 7 D. 4 2

3. 若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最 大自然数 n 是( ) A.4018 B.4018 C.4018 D.4018 4.每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有( A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 5.设函数 f ( x) ? ? 的实数对(a,b)有( A.0 个 B.1 个 6.设 f
?1



x ( x ? R ) ,区间 M=[a,b](a<b),集合 N={ y y ? f ( x), x ? M },则使 M=N 成立 1? x

) C.2 个 D.无数多个

( x) 是 函 数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的 反 函 数 , 若 [1 ? f ?1 (a)][1 ? f ?1 (b)] ? 8 , 则 f (a ? b) 的 值 为
( )

A.1B.2C.3D. log2 3 7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 与平 面 ABC 所成的角的大小为( ) A.90°B.60°C.45°D.30° 2 8.若函数 f(x)=(1-m)x -2mx-5 是偶函数,则 f(x)( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 9.定义在(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)在区间(-∞,0 ] 上的图像关于 x 轴对称,且

f(x)为增函数,则下列各选项中能使不等式 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)成立的是( ) A.a>b>0B.a<b<0C.ab>0D.ab<0 ( ) 10.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的
面积为

3 ,那么 b=( 2



A.

1? 3 2? 3 B. 1 ? 3 C. D. 2 ? 3 2 2
x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 等于 ( a b


11. 两个正数 a、 b 的等差中项是 5, 等比中项是 4。 若 a>b, 则双曲线

A.

3 2

B.

15 4

C.

5 2

D. 3

12.天文台用 3.2 万元买一台观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n 天的维修保 养费为

n ? 49 * 元 (n∈N ) , 使用它直至报废最合算 (所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少) 10

为止,一共使用了( ) A.800 天 B.1000 天 C.1200 天 D.1400 天 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 13.若 ( x ?

1 ? 2) n 的展开式中常数项为-20,则自然数 n= x
x

. .

14.x0 是 x 的方程 a =logax(0<a<1)的解,则 x0,1,a 这三个数的大小关系是

15 .已知函数 对 称 , 若

互为反函数,又 ___

的图象关于直线 __ ,

_______



16.已知矩形 ABCD 的边 AB ? a, BC ? 2, PA ? 平面 ABCD, PA ? 2, 现有以下五个数据:

1 ( 1 ) a ? ; ( 2 ) a ? 1 ; ( 3 )a ? 3 ; ( 4 ) a ? 2 ; ( 5 ) a ? 4 , 当在 BC 边上存在点 Q ,使 PQ ? QD 2 时,则 a 可以取_____________。 (填上一个正确的数据序号即可)
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 2 17 . (本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x - ax+a -19=0},集合 B={x|log2(x - 5x+8)=1},集合 C={x|m
x 2 ? 2 x ?8

=1,m≠0,|m|≠1}满足 A∩B

? , A∩C= ? ,求实数 a 的值.

18. (本小题满分 12 分)有一组数据 : x1 , x2 , ?, xn ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 的算术平均值为 10,若去掉其中 最大的一个,余下数据的算术平均值为 9;若去掉其中最小的一个,余下数据 的算术平均值为 11. (1)求出第一个数 x1 关于 n 的表达式及第 n 个数 xn 关于 n 的表达式; (2)若 x1 , x2 ,?, xn 都是正整数,试求第 n 个数 xn 的最大值,并举出满足题目要求且 xn 取到最大值的 一组数据. 19. (本小题满分 12 分)某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引 厂家,决定免收该年管理费,因此,该年 A 型商品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件.第二年 ,商 场开始对该商品征收比率为 p%的管理费 (即销售 100 元要征收 p 元) , 于是该商品的定价上升为每件

70 1 ? p%

元,预计年销售量将减少 p 万件. (1)将第二年商场对该商品征收的管理费 y(万元)表示成 p (2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 14 万元,则商场对该商品征收管理费的比率 p% (3)第二年,商场在所收管理费不少于 14 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应为多 少? 20. (本小题满分 12 分)求函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

1 2 x 在[0,2]上的最大值和最小值. 4

21. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3 -x)且方程 f(x)=2x 有等根。 (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出 m,n 的值;如果不存在,说明理由. 22. (本小题满分 14 分)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若首项 a1 ? 3 ,公差 d ? 1 ,求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k; k 2
k2

2

(2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S

? (S k ) 2 成立.

【参考答案】 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13). 3; (14). 10 或 10
? 1 3

(15).



(16). ①或②

三、解答题(共 74 分,按步骤得分) 17.解:由条件即可得 B={2,3},C={-4,2}, 由 A∩B

? ,A∩C= ? ,可知 3∈A,2 ? A。
2

将 x=3 代入集合 A 的条件得:a -3a-10=0 ∴a=-2 或 a=5 2 当 a=-2 时,A={x|x +2x-15=0}={-5,3},符合已知条件。 当 a=5 时,A={x|x -5x+6=0}={2,3},不符合条件“A∩C”= ? ,故舍去.
2

综上得:a=-2.

(1) ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? 10n ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? 9(n ? 1) (2) 18.解: (1) 依条件得: ? x ? x ? ? ? x ? 11(n ? 1) (3) 3 n ? 2
得: x1 ? 11 ? n

由 (1) ? ( 2) 得:xn ? n ? 9 , 又由 (1) ? (3)

(2)由于 x1 是正整数,故 x1 ? 11 ? n ? 1 , ?1 ? n ? 10 ,故 x n ? n ? 9 ? 19 当 n =10 时, x1 ? 1 ,

x10 ? 19 , x 2 ? x3 ? ? ? x9 ? 80 , 此时,

x 2 ? 6 , x 3 ? 7 , x 4 ? 8 , x 5 ? 9 , x6 ? 11 , x7 ? 12 , x8 ? 13 , x9 ? 14 .
19. 解: (1)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件, 年销售收入为

70 (11.8-p 1 ? p% 70 (11.8-p)p%(万元). 1 ? p%

则商场该年对该商品征收的总管理费为

故所求函数为:y=

7 (118- 10p)p. 100 ? p
59 . 5

11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<

(2)由 y≥14,得
2

7 (118-10p)p≥14. 100 ? p

化简得 p -12p+20≤0,即(p-2) (p-10)≤0,解得 2≤p≤10. 故当比率在[2%,10%]内时,商场收取的管理费将不少于 14 万元. (3)第二年,当商场收取的管理费不少于 14 万元时,

厂家的销售收入为 g(p)=

70 (11.8-p) (2≤p≤10). 1 ? p%

∵g(p)=

70 882 (11.8-p)=700(10+ 1 ? p% p ? 100

∴g(p)max=g(2)=700(万元). 故当比率为 2%时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于 14 万元. 20. 解: f ?( x ) ?

1 1 ? x, 1? x 2

1 1 ? x ? 0, 1? x 2
解得 x1 ? ?2(舍去), x2 ? 1.

化简为 x 2 ? x ? 2 ? 0,

当0 ? x ?1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调增加;当 1 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调减少. 所以 f (1) ? ln 2 ? 又因为 所以

1 为函数 f ( x) 的极大值. 4

f (0) ? 0, f (2) ? ln 3 ? 1 ? 0, f (1) ? f (2), f (0) ? 0 为函数 f ( x) 在[0,2]上的最小值, f (1) ? ln 2 ?
1 为函数 f ( x) 4

在[0,2]上的最大值. 21.解:(1)∵方程 ax +bx-2x=0 有等根,∴△=(b-2) =0,得 b=2。 由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图像的对称轴方程为 x=- 故 f(x)=-x +2x.
2 2 2

b =1, 得 a=-1, 2a

1 . 4 1 2 而抛物线 y=-x +2x 的对称轴为 x=1,∴当 n≤ 时,f(x)在[m,n]上为增函数。 4
(2)∵f(x)=-(x-1) +1≤1,∴4n≤1,即 n≤
2

若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?

? f ( m) ? 4 m ? f ( n) ? 4n

2 ? ?m ? 0或m ? ?2 1 ?? m ? 2 m ? 4 m 即? 又 m<n≤ . ?? 2 4 ? ?n ? 0或n ? ?2 ?? n ? 2 n ? 4 n

∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0]. 由以上知满足条件的 m,n 存在,m=-2,n=0. 22. 解: (1)当 a1 ? 由 S k 2 ? (S k ) , 得
2

3 n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时, S n ? na1 ? d ? n? ? n ?n 2 2 2 2 2 1 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k)2 , 2 2
又 k ? 0, 所以k ? 4 .
2



1 k 3 ( k ? 1) ? 0 4

(2)设数列{an}的公差为 d,则在 S n2 ? (S n ) 中分别取 k=1,2,得

2 ? ?S1 ? ( S1 ) , ? 2 ? S ? ( S ) 2 ? 4

?a1 ? a12 , ? 即? 4?3 2 ?1 2 d ? (2a1 ? d) ?4a1 ? 2 2 ?

(1) (2)

由(1)得 a1 ? 0或a1 ? 1. 当 a1 ? 0时, 代入(2)得

d ? 0或d ? 6,

若 a1 ? 0, d ? 0, 则an ? 0, S n ? 0, 从而S k ? (S k ) 2 成立 若 a1 ? 0, d ? 6, 则an ? 6(n ? 1),由S3 ? 18, (S3 ) 2 ? 324 , S n ? 216 知

s9 ? (S3 ) 2 , 故所得数列不符合题意.
当 a1 ? 1 时, 代入(2)得

4 ? 6d ? (2 ? d ) 2 , 解得d ? 0或d ? 2

若 a1 ? 1, d ? 0, 则an ? 1, S n ? n, 从而S k 2 ? (S k ) 2 成立; 若 a1 ? 1, d ? 2, 则an ? 2n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 从而S ? (S n ) 2 成立 . 综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,…; ②{an} : an=1,即 1,1,1,…; ③{an} : an=2n-1,即 1,3,5,…,
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