2.3.32.3.4平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示-精选文档_图文

2.3平面向量的基本 定理及坐标表示

复习引入 平面向量基本定理:

如 果e1 , e2是 同 一 平 面 内 两 个 不 共线的向量,那么对 一这 平面内任 ? 意一个向量 a, 有 且 只 有 一 对 实 数 ? ?1 , ?2 , 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

复习引入 平面向量基本定理:

(1) 我们把不共 e 线 , e 向做 量表 1 2叫 基底 这 一 平 面 内 所一 有组 向 量 . 的 (2)基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基 e 、 e 的条件下进行分解; 1 2 (4) 基底给定时 ,分解形式惟 ,? 、 ? 1 2

是被 a 、 e 、 e 惟一确定的数量 . 1 2

思考1:
得出 a ? b ,a ? b ,? a 的坐标吗 ?
两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.

已知 a ? ( x ,y ),b ? ( x ,y ),你能 1 1 2 2

思考2:

已 A 知 ( x ,y ), B ( x ,y ), 怎样 AB 求 1 1 2 2 的坐 ? 标

一个向量的 坐标等于表示此 向量的有向线段 的终点坐标减去 始点的坐标.

y

A (x 1, y 1)
B (x 2, y 2)
O

x

思考2:
你能标出坐标为(x2? x1, y2? y1)的P点 吗? 向量 AB 的坐标与以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标是相同的.

讲解范例:
a? ( 2 ,1 ),b ? ( ? 3 ,4 ),求 例 1 . 已知 a ? b ,a ? b ,3 a ? 4 b 的坐标 .
例2. 已知平面上三点的坐标分别为

A(?2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点
D的坐标使这四点构成平行四边形的

四个顶点.

讲解范例:
例3. 已知三个力 F 3 ,4 ), F 2 ,? 5 ), 1( 2(

F (x , y ) 的合力 F ,求 F 1 ?F 2 ?F 3 ?0 3 的坐标 .

练习

1 1 .若 M ( 3 ,? 2 ),N ( ? 5 ,? 1 ) 且 MP ? MN , 2 求 P 点的 .坐标

2 .若 A ( 0 ,1 ),B ( 1 ,2 ),C ( 3 ,4 ),则 AB ? 2 BC ? .

3 . 已知四点 A ( 5 ,1 ),B ( 3 ,4 ),C ( 1 ,3 ),

D ( 5 ,? 3 ),求证 : 四边形 ABCD 是梯形 .

思考 1. 两个向量共线的条件是什么?
2. 如何用坐标表示两个共线向量?

? ? ? ? 设 a ? ( x , y ), b ? ( x , y ), 其 b ? a .中 1 1 2 2 ?? 由 a ? b 得 ( x , y ) ? : ( x , y ) 1 1 2 2

?

?

? x1 ? ?x2 ?? , 消去 : x y ? x y ? 0 . y ? ? y 1 2 2 1 2 ? 1 ? ? ? ? a//b (b ?0 )的充要条件是:

?

x 1y 2 ?x 2y 1 ?0

探究:
1. 消去 ?时能不能两式相除 ?
y y 1 2 2 . 能不能写 ?成 ? x x 1 2
? ? 不能两式相除, ? y ,y 有可能为 0 , b ? 0 , 1 2

? x ,y 中至少有一个不为 0 . 2 2

不能 ,? x ,x 有可能 0 . 为 1 2

3. 证明向量共线有哪两种 形式 ? ?
? a ? ? b ? ?? ? ? a // b ( b ? 0 ) x y ? x y ? 0 . 1 2 2 1

讲解范例
知 ? ( 4 ,2 ),b ? ( 6 , y ),且 例 1 . 已a a // b ,求 y .

例2. 已知A(?1, ?1),B(1, 3),C(2, 5),
试判断A,B,C三点之间的位置关系.

讲解范例
例3. 设点P是线段P1P2上的一点,P1、 P2的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点 P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,求点P的坐标. 思考.
?(1)中P1P:PP2=? ?(2)中P1P:PP2=?

若P1P:PP2=?如何求点P的坐标?

讲解范例
例4. 若向量 a ? ( ? 1 ,x ) 与 b ? ( ? x ,2 )
共线且方向相同 ,求 x .

例5. 已知 A(?1, ?1), B(1, 3), C(1, 5),
D(2, 7), 向量 AB 与 CD 平行吗 ? 直线 AB 平行于直线 CD 吗?

课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示;

2. 平面上两点间的中点坐标公式及定点
坐标公式;

3. 向量共线的坐标表示.

课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示; 2. 平面上两点间的中点坐标公式及定点 坐标公式; 3. 向量共线的坐标表示.


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