【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 苏教版 江苏专用 课件 第九章 平面解析几何-7_图文

第7讲 抛物线 考试要求 1.抛物线的实际背景,抛物线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用,A级要求;2.抛物线的定义,几何图形,标 准方程及简单的几何性质,A级要求. 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离 相等 的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物 线的 准线 . (2)其数学表达式:MF=d(其中d为点M到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 y2=2px y2=-2px 标准方程 (p>0) (p>0) x2=2p y(p>0) x2=-2py (p>0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 续表 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 性 质 范围 开口方向 方程 p x=- 2 x≥0, y∈R 向右 p x= 2 x≤0, y∈R 向左 y=0 ?p ? F? ,0? ?2 ? ? p ? F?- ,0? ? 2 ? O(0,0) x =0 ? p? F?0, ? 2? ? ? p? F?0,- ? 2? ? e=1 p y=- 2 y≥0, x∈R 向上 p y= 2 y≤0, x ∈R 向下 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹 一定是抛物线.( × ) (2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且 ?a ? a 其焦点坐标是?4,0?,准线方程是x=-4.( ? ? ×) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截 得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的 通径长为2a.( √ ) 1 2 2.(2014· 安徽卷改编)抛物线y=4x 的准线方程是________. 1 2 解析 由y= x ,得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p= 4 p 4,即p=2,因此准线方程为y=- =-1. 2 答案 y=-1 3.(2014· 新课标全国Ⅰ卷改编)已知抛物线C:y2=x的焦点为 5 F,A(x0,y0)是C上一点,AF=4x0,则x0=________. ?1 ? 1 2 解析 由y =x,得2p=1,即p= 2 ,因此焦点F ?4,0? ,准线 ? ? 1 方程为l:x=- .设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义 4 1 5 可知d=AF,从而x0+4=4x0,解得x0=1. 答案 1 2 2 x y 4.(2014· 上海卷)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 9 + 5 =1的右 焦点重合,则该抛物线的准线方程为________. 2 2 x y 解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2,∴椭圆 9 + 5 =1的右焦点 p 为(2,0),∴2=2,即抛物线的准线方程为x=-2. 答案 x=-2 5.(苏教版选修1-1P49T6改编)动圆过点(1,0),且与直线x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 解析 设动圆的圆心坐标为 (x , y) ,则圆心到点 (1,0) 的距离 与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的 圆心的轨迹方程为y2=4x. 答案 y2=4x 考点一 抛物线的定义及应用 【例1】 (1)F是抛物线y2=2x的焦点,A,B是抛物线上的两点, AF+BF=6,则线段AB的中点到y轴的距离为________. (2) 已知点 P是抛物线 y2= 4x 上的动点,点 P在y 轴上的射影是 M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是 ________. 解析 (1)如图,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为D, E,由AF+BF=6及抛物线的定义知AD+BE=6,所以线段 1 AB的中点到准线的距离为2(AD+BE)=3.又抛物线的准线为x 1 5 =-2,所以线段AB的中点到y轴的距离为2. (2)将x=4代入抛物线方程y2=4x,得y =± 4,|a |>4,所以A在抛物线的外 部,如图.由题意知F(1,0),抛物线上 点P到准线l:x=-1的距离为PN,由 定义知,PA+PM=PA+PN-1= PA+ PF-1.当A,P, F三点共线时,PA+ PF取最小值,此时 PA+PM也最小,最 小值为AF-1= 9+a2-1. 5 答案 (1) (2) 9+a2-1 2 规律方法 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线 的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因 此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想 准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 【训练1】 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点 (0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ________. 2 解析 抛物线y =2x的焦点为F ?1 ? ? ,0? ?2 ? ,准线是l,由抛物线 的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要 求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最 小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距 离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值就等于焦 点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 ? 1? 2 ? ? +?-2?2= ? 2? 17 2 . 答案 17 2 考点二 抛物线的标准方程和几何性质 x2 y2 【例2】 (1)已知双曲线C1: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率为2. a b 若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距 离为2,则抛物线C2的方程为________. (2)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点, O为坐标原点.若AF=3,则△AOB的面积为

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