高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理例题与探究 新人教A版选修2-3

1.3 二项式定理 典题精讲 【例 1】 用二项式定理展开(2x- 3 )5. 2x2 思路分析:可以直接看作 2x 与( ? 3 )的二项式展开,也可先化简,再利用二项式定理展 2x2 开. 解法一:直接展开 (2x- 3 2x2 )5= C 0 5 (2x)5+ C 1 5 (2x)4( ? 3 2x2 )+…+ C 4 5 (2x)( ? 3 2x2 )4+ C 5 5 ( ? 3 2x2 )5 =32x5-120x2+ 180 ? 135 ? 450 ? 243 . x x 4 8x7 32x10 解 法 二 : (2x- 3 2x2 )5= (4x3 ? 3)5 32 x10 ?1 32 x10 [ C50 (4x3)5+ C 1 5 (4x3)4·(-3)+ … + C54 (4x3)·(-3)4+ C 5 5 (-3)5] = 1 [1 024x15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243] 32x10 =32x5-120x2+ 180 ? 135 ? 450 ? 243 . x x 4 8x7 32x10 绿色通道:记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式,是解答好与二项式有关问题的前提条件,对 于较复杂的二项式,有时先化简再展开更简捷. 变式训练 1 求(2x- 3 )5 的倒数第二项. 2x2 解:T5= C 4 5 (2x)·(- 3 2x 2 )4= 40 8x7 ? 225 . 4x7 变式训练 2 在(2x- 3 )5 的展开式中是否存在常数项.若有,请求出;若没有,请说明理由. 2x2 解:Tr+1= C r 5 (2x)5-r(- 3 )r=(-1)r C r 5 ·25-2r·3rx5-3r. 2x2 若存在常数项,必存在 r∈N*,使得 5-3r=0,但 5-3r=0,r= 5 ?N*. 3 ∴展开式中不存在常数项. 【例 2】 (1)用二项式定理证明 1110-1 能被 100 整除. (2)求 9192 被 100 除所得的余数. 思路分析:解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌 握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用 1110=(10+1)10 展开式进行证明,第 (2)小题则可利用 9192=(100-9)92 展开式,或利用(90+1)92 展开式进行求解. (1)证明:∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+ C110 ·109+…+ C190 ·10+1)-1 =1010+ C110 ·109+ C120 ·108+…+102 这位小男孩的精神,是多么令人感动!他就快要死了也不忘自己卖报诚信灵魂那地高尚伟大 =100(108+ C110 ·107+ C120 ·106+…+1). ∴1110-1 能被 100 整除. (2)解法一:(100-9)92= C 0 92 ·10092- C 1 92 ·10091·9+ C922 ·10090·92-…+ C 92 92 992, 展开式中前 92 项均能被 100 整除,只需求最后一项除以 100 的余数. ∵992=(10-1)92= C902 ·1092- C912 ·1091+…+ C 90 92 ·102- C9921 ·10+1, 前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出 1 000,结果 为 1 000-919=81, 故 9192 被 100 除可得余数为 81. 解法二:(90+1)92= C 0 92 ·9092+ C 1 92 ·9091+…+ C 90 92 ·902+ C 91 92 ·90+ C 92 92 . 前 91 项均能被 100 整除,剩下两项和为 92×90+1=8 281,显然 8 281 除以 100 所得余数为 81. 绿色通道:利用二项式定理可以求余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形 式,且这种转化形式与除数有密切的关系. 黑色陷阱:出现余数为负数的情况.余数不可能为负,如本题中余数的范围是(0,100). 变式训练 1 11100-1 末尾连续零的个数为( ) A.7 B.5 C.4 D.3 解:11100-1=(10+1)100-1= C1000 10100+ C1100 1099+…+ C 99 100 10+ C 100 100 -1. 答案:D 变式训练 2 求证:nn-1-1 能被(n-1)2 整除(n≥3,n∈N*). 证明:∵n≥3,n∈N*, 故[(n-1)+1]n-1-1= C 0 n ?1 (n-1)n-1+ C 1 n ?1 (n-1)n-2+…+ C n?3 n ?1 (n-1)2+ C n?2 n ?1 (n-1)+ C n ?1 n ?1 -1= C 0 n ?1 (n-1)n-1+ C 1 n ?1 (n-1)n-2+ C n?3 n ?1 (n-1)2+(n-1)2. 由于上式各项都能被(n-1)2 整除,所以当 n≥3,n∈N*时,nn-1-1 能被(n-1)2 整除. 【例 3】 (1)求二项式( 2 x ? 1 )6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数; x (2)求( x ? 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x 思路分析:利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解, 同时注意某一项的二项式系数与系数的区别. 解:(1)∵T6= C 5 6 ( 2 x )( ? 1 )5= 9 ? ?12 x 2

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