四川省遂宁市高二下学期期末数学(理)试题


四川省遂宁市高二下学期期末数学(理)试题
一、单选题

1.已知 是虚数单位,则 A. 第一象限 2.已知命题 A. B. B. 第二象限

在复平面内对应的点位于( C. 第三象限 为( ) C.



D. 第四象限

,则

D.

3.设抛物线 A.

的焦点与椭圆 B. = 2

的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为( C. D.



4.某家具厂的原材料费支出 与销售量 (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最 小二乘法得出 与 的线性回归方程为 x y 2 25 4 35 5 60 ,则 为( 6 55 8 75 )

A. 5 5.“ ”是“函数

B. 10 在

C. 12 内存在零点”的( )

D. 20

A. 充分而不必要条件 6.运行下列程序,若输入的

B. 必要而不充分条件 的值分别为

C. 充分必要条件 的值为(

D. 既不充分也不必要条件 )

,则输出的

1

A.

B.

C.

D.

7.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调 研, 每个地区至少派遣一位专家, 其中甲、 乙两位专家需要派遣至同一地区, 则不同的派遣方案种数为 ( A. 18 8.已知函数 在 B. 24 上可导且满足 C. 28 ,则下列一定成立的为( D. 36 ) )

A. 9.若函数

B. 在

C.

D. )

上有最大值无最小值,则实数 的取值范围为(

A. 10.已知抛物线

B.

C.

D. ,F 是抛物线

上一动点到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的最小值为 的内切圆半径为( C. ) D.

的焦点, 是坐标原点,则 A. B.

11 . 已 知函 数



处 取 得极 值 ,对 任意

恒 成 立,则

2

( A. B.

) C. D.

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 12.已知 是虚数单位,若复数 ,则 ____

13.二项式

的展开式中含 项的系数为____

14.已知等比数列

是函数

的两个极值点,则

____

15.已知椭圆

与双曲线

具有相同的焦点 , ,且在第一象限交于

点 ,设椭圆和双曲线的离心率分别为 , ,若 三、解答题 四、16.设命题 函数 命题 方程 命题“ 表示焦点在 在 单调递增;

,则

的最小值为__________.

轴上的椭圆.

”为真命题,“

”为假命题,求实数 的取值范围.

3

17.已知二项式

,其展开式中各项系数和为 .若抛物线方程为

,过



且倾斜角为 的 两点.

直线 与抛物线交于

(1)求展开式中最大的二项式系数(用数字作答). (2)求线段 的长度.

4

18.已知函数 (1)求 的解析式. 在 上的最值.



处有极值 .

(2)求函数

5

19.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记 住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的. 根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好 者进行调查,得到的情况如下表所示: 喜欢盲拧 男 女 总计 22 ▲ ▲ 不喜欢盲拧 ▲ 12 ▲ 总计 30 ▲ 50

表1 并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示: 成功完成时间(分钟) 人数 [0,10) 10 [10,20) 10 [20,30) 5 [30,40] 5

表2 (1)将表 1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关? (2)根据表 2 中的数据,求这 30 名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值 代替) ; (3)现从表 2 中成功完成时间在[0,10)内的 10 名男生中任意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视频记录, 记成功完成时间在 [0, 10) 内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 . ,求 的分布列及数学期望

6

附参考公式及数据: 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

,其中 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

.

7

20.已知中心在原点 ,焦点在 轴上的椭圆 过点 (1)求椭圆 的方程; (2)设过定点

,离心率为 .

的直线 与椭圆 交于不同的两点

,且

,求直线 的斜率 的取值范围;

8

21.已知函数



.

(1)若 (2)若



处的切线与 ,讨论

在 的单调性;

处的切线平行,求实数 的值;

(3)在(2)的条件下,若

,求证:函数

只有一个零点 ,且



9

四川省遂宁市高二下学期期末数学(理)试题
一、单选题

1.已知 是虚数单位,则 A. 第一象限 【答案】A B. 第二象限

在复平面内对应的点位于( C. 第三象限



D. 第四象限

【解析】分析:分子分母同时乘以

,化简整理,得出 ,再判断象限。

详解:

,所以位于第一象限。故选 A。

点睛:分式复数的运算公式 2.已知命题 A. 【答案】C 【解析】分析:把全称改为特称,大于改为小于等于。 详解: ,故选 C B. ,则 为( ) C.

,实部对应 轴,虚部对应 。

D.

点睛:带全称、特称量词的否定, 命题“ 命题“ ,则 成立”的否定: ,则 成立”的否定: ,则 ,则 成立 成立

3.设抛物线 A. 【答案】D

的焦点与椭圆 B. = 2

的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为( C. D.



【解析】分析:椭圆的右焦点为

,抛物线

的焦点坐标为

,求解 ,再得出准线方程。

10

详解:椭圆的右焦点为

,抛物线

的焦点坐标为

,解得

,得出准线方程

点睛:抛物线

的焦点坐标为

,准线方程

4.某家具厂的原材料费支出 与销售量 (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最 小二乘法得出 与 的线性回归方程为 x y 2 25 4 35 5 60 ,则 为( 6 55 8 75 )

A. 5 【答案】B

B. 10

C. 12

D. 20

【解析】分析:先求样本中心

,代入方程求解即可。

详解:

, 。 在

,代入方程

,解得

,故选 B

点睛:回归直线方程必过样本中心 5.“ ”是“函数

内存在零点”的(

) D. 既不充分也不必要条件

A. 充分而不必要条件 【答案】A 【解析】分析:先求函数 条件、还是必要条件。 详解:函数 在

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件



内存在零点 的解集,

,再用集合的关系判断充分

内存在零点,则

,所以

的解集那么



的子集,故充分非必要条件,选 A 点睛:在判断命题的关系中,转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。 6.运行下列程序,若输入的 的值分别为 ,则输出的 的值为( )

11

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】分析:按照程序框图的流程逐一写出即可 详解:第一步: 第二步: 第三步: 第四步: 最后:输出 。 ,故选 B。

点睛:程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来,观察规律,得出所求量与步数之 间的关系式。 7.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调 研, 每个地区至少派遣一位专家, 其中甲、 乙两位专家需要派遣至同一地区, 则不同的派遣方案种数为 ( A. 18 【答案】D 【解析】分析:按甲乙两人所派地区的人数分类,再对其他人派遣。 详解:类型 1:设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有 ,另外 3 人派往 2 个地区 ,共有 18 种。 类型 2:设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有 综上一共有 36 种,故选 D 点睛:有限制条件的分派问题,从有限制条件的入手,一般采用分步计数原理和分类计数原理,先分类后 ,另外 2 人派往 2 个地区 ,共有 18 种。 B. 24 C. 28 D. 36 )

12

分步。 8.已知函数 在 上可导且满足 ,则下列一定成立的为( )

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】易知



上恒成立,

在 本题选择 C 选项.

上单调递减,又

.

点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表 面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解 题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧 和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用 技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效. 9.若函数 在 上有最大值无最小值,则实数 的取值范围为( )

A. 【答案】C 【解析】分析:函数 根在

B.

C.

D.



上有最大值无最小值,则极大值在

之间,一阶导函数有

,且左侧函数值小于 0,右侧函数值大于 0,列不等式求解 在 ,极大值点在 处取得则 上有最大值无最小值,则极大值在 之间,设

详解:函数 的根为

解得

,故选 C。

点睛:极值转化为最值的性质: 1、若 上有唯一的极小值,且无极大值,那么极小值为 的最小值;

13

2、若 10.已知抛物线

上有唯一的极大值,且无极小值,那么极大值为

的最大值; ,F 是抛物线

上一动点到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的最小值为 的内切圆半径为( C. ) D.

的焦点, 是坐标原点,则 A. 【答案】D B.

【解析】分析:通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离,到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的 最小值,也即为 最小,当 三点共线时取最小值。

详解:通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离,到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的最小值, 也即为 最小,当 三点共线时取最小值。所以 ,解得 ,由内切圆的面

积公式

,解得

。故选 D。

点睛:利用到准线的距离与到焦点的距离之间的互化是一种常见解法,利用图像用几何法分析取最小值时

的点的位置,内切圆的面积公式 11 . 已 知函 数

,利用面积和三角形三边求内切圆半径。 在 处 取 得极 值 ,对 任意 恒 成 立,则

( A. 【答案】C 【解析】 分析: 根据函数 B.

) C. D.



处取得极值解得

, 由于



14

对任意 对称中心,最后求解。 详解:已知函数 意

恒成立,则

,确定

的值。再由三次函数的二阶导数的几何意义,确定



在 恒 成 立 , 则 所以

处取得极值,故

,解得

。对任 恒 成 立 , 则

, 对 任 意 .所以函数表达式为 ,由三次函数的性质,





,令

,解得

,由此

为三次函数的拐点,即为三

次函数的对称中心,,所以



.故选 C。

点睛:在某点处的极值等价于在某点处的一阶导函数的根,二阶导函数的零点的几何意义为函数的拐点, 三次函数的拐点的几何意义为三次函数的对称中心。二阶导函数的零点为拐点,但不是所有的拐点都为对 称中心。 12.已知 是虚数单位,若复数 【答案】 【解析】分析:根据复数模的公式直接求解。 详解: 点睛:复数 ,所以 。 。 ,则 ____

,模的计算公式

13.二项式 【答案】

的展开式中含 项的系数为____

【解析】分析:根据二项式定理的通项公式,写出 的系数。 详解: 所以系数为 。 的表达式,使其满足题目设置的条件。 所以,当 时,

点睛:项式定理中的具体某一项时,写出通项

15

第 II 卷(非选择题)
五、填空题 14.已知等比数列 【答案】 或 , 是函数 的两个极值点,则是方程 是函数 的两个极值点,则 ____

【解析】分析:一阶导函数

的两根,根据韦达定理,列出两根的关系式,求 详解: ,则 是方程的根,所以 ,所以解得 或

点睛:等价转化是解决本题的关键,函数的极值点是导数方程的两根,由韦达定理和等比中项的概念,可 快速得出答案。

15.已知椭圆

与双曲线

具有相同的焦点 , ,且在第一象限交于

点 ,设椭圆和双曲线的离心率分别为 , ,若

,则

的最小值为__________.

【答案】

. 表示出 的长度, 根据余弦定理建立 的

【解析】 分析: 通过椭圆与双曲线的定义, 用 和

关系式 值。

;根据离心率的定义

表示出两个离心率的平方和,利用基本不等式即可求得最小

详解: 在△

,所以解得 中,根据余弦定理可得

代入得

化简得

16



所以

的最小值为

点睛:本题考查了圆锥曲线的综合应用。结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分 析,主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破,属于难题。 六、解答题 七、16.设命题 函数 命题 方程 命题“ 【答案】 【解析】分析:利用真值表判断 、 的真假性 、 为一真一假,分别解 、 为真时的解集,为假时取为真 时的补集。 详解:由于命题 函数 在 单调递增,所以 表示焦点在 在 单调递增;

轴上的椭圆.

”为真命题,“

”为假命题,求实数 的取值范围.

命题 方程 命题“

表示焦点在

轴上的椭圆.所以 命题一真一假

”为真命题,“

”为假命题,则

① 真 假时: ② :

综上所述: 的取值范围为: 点睛:利用真值表判断 、 的真假性,再解 、 为真时的解集,不要受题目的干扰,为假时取为真时的补 集。

17

17.已知二项式

,其展开式中各项系数和为 .若抛物线方程为

,过



且倾斜角为 的 两点.

直线 与抛物线交于

(1)求展开式中最大的二项式系数(用数字作答). (2)求线段 的长度.

【答案】(1)35(2)4 【解析】分析:(1)当 n 为奇数时,二项式系数在 (2)各项系数和为 ,求 详解:(1)二项式系数分别为 (2)令 ,有 时取最大,即在第 4、5 项取最大

,解 ,利用弦长公式求解。 其中 最大.最大为 35

抛物线方程为

过抛物线的焦点 令

且倾斜角为 ,则直线方程为



联立:





点睛:二项式系数最大项满足以下结论:

当 n 为偶数时,二项式系数在

时取最大,即在第

项取最大。

当 n 为奇数时,二项式系数在

时取最大,即在第 ,



项取最大。

联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 根 据 韦 达 定 理 列 出

的 关 系 式 , 利 用 弦 长 公 式

18

。 18.已知函数 (1)求 的解析式. 在 上的最值. (2) 最大值为 解出 为 。 在 处有极值 .

(2)求函数 【答案】(1)

【解析】分析:(1)先求一阶导函数 (2)求出端点处的函数值 详解:(1)由题意: 由此得: 经验证: ∴ (2)由(1)知 , 又 所以最大值为 为

,与极值比较大小得出最值。 ,又

点睛:函数在闭区间内求最值的步骤: (1)求导,研究函数的单调性和极值 (2)求出极值,和端点处的函数值,比较大小求出最值。 注意不管表达式含参或是不含参步骤都是一样,我们可以通过分析图像简化研究的过程。 19.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记 住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的. 根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好 者进行调查,得到的情况如下表所示: 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计

19

男 女 总计

22 ▲ ▲

▲ 12 ▲

30 ▲ 50

表1 并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示: 成功完成时间(分钟) 人数 [0,10) 10 [10,20) 10 [20,30) 5 [30,40] 5

表2 (1)将表 1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关? (2)根据表 2 中的数据,求这 30 名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值 代替) ; (3)现从表 2 中成功完成时间在[0,10)内的 10 名男生中任意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视频记录, 记成功完成时间在 [0, 10) 内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 . ,求 的分布列及数学期望

附参考公式及数据: 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

,其中 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

.

【答案】(1) 能(2) (3)见解析 【解析】分析:根据题意完善表格,由卡方公式得出结论。

20

(2)根据题意,平均时间为

计算即可

(3)由题意,满足超几何分布,由超几何分布计算概率,数学期望 详解:(1)依题意,补充完整的表 1 如下: 喜欢盲拧 男 女 总计 22 8 30 不喜欢盲拧 8 12 20 总计 30 20 50

由表中数据计算得 的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。

(2)依题意,所求平均时间为

(分钟)

(3)依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3,故

故 X 的分布列为 X 0 1 2 3

P



21

点睛:计算离散型随机变量的概率,要融入题目的情景中去,对于文字描述题,题目亢长,要逐句的分析。 超几何分布的特征: 1.样本总体分为两大类型,要么 类,要么 类。 2.超几何分布是组合问题,分组或分类,有明显的选次品的意思。 3.超几何分布是将随机变量 分类,每一类之间是互斥事件。 4. 超几何分布的随机变量 的确定我们只需搞清楚最少和最多两种情况,其他的 在最少和最多之间。

20.已知中心在原点 ,焦点在 轴上的椭圆 过点 (1)求椭圆 的方程; (2)设过定点

,离心率为 .

的直线 与椭圆 交于不同的两点

,且

,求直线 的斜率 的取值范围;

【答案】(1)

(2) 在曲线上,列出 , 的方程。 ,列出关于斜

【解析】分析: (1)利用离心率,点

(2)联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出 率 的不等式,解出取值范围。

的关系式,利用向量关系式

详解: (1)设椭圆 的方程为:



由已知:

得:





所以,椭圆 的方程为:

.

(2)由题意,直线斜率存在,故设直线 的方程为





22



即有 即



解得

综上:实数 的取值范围为 点睛:求参数 的取值范围,最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式。根据题目的条件,转化 为 , 关系的式子是解题的关键。

21.已知函数



.

(1)若 (2)若



处的切线与 ,讨论

在 的单调性;

处的切线平行,求实数 的值;

(3)在(2)的条件下,若 【答案】(1) (2)见解析(3)见解析 ,

,求证:函数

只有一个零点 ,且



【解析】分析: (1)先求一阶导函数 (2)先求一阶导函数

,用点斜式写出切线方程 或 的解集,判断单调性。 只有一个零点 的等价条件是极小值大

的根,求解

(3)根据(2)的结论,求出极值画出函数的示意图,分析函数 于零,函数 在 是减函数,故必然有一个零点。

23

详解:(1)因为

,所以

;又



由题意得

,解得

(2)

,其定义域为



又 ①当 当 所以函数 即 时, 在

,令 时,函数 ,当 单调递增,在 和 与





随 的变化情况如下: 时, 。

单调递减

②当 所以,函数 ③当 当 所以函数

即 在 即

时,

, 上单调递减

时,函数 时, ,当



随 的变化情况如下: 时, 和 时, 上单调递减 。



单调递增在

(3)证明:当 由①知, 的极小值为

,极大值为

.

因为 且又由函数 在 是减函数,可得 至多有一个零点

又因为 所以 函数 只有一个零点 , 且

, .

24

点睛:利用导数求在某点

切线方程利用



即可,方程的根、函数的零点、两个函数图

像的交点三种思想的转化,为解题思路提供了灵活性,导数作为研究函数的一个基本工具在使用。

25


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