第13章第1节平面点集_图文


Chapt 13. §13.1. 多元函数的极限与连续 平面点集

教学目的:
本章在平面点集相关概念基础上建 立多元函数及其极限和连续概念和理论, 为学习多元函数微积分学奠定基础。

教学重点难点:
多元函数极限和连续概念和理论。
1

Chapt 13. §13.1. 多元函数的极限与连续 平面点集

教学内容:
§1. 平面点集 §2. 多元函数的极限

和连续性
2

§13.1. 平面点集 一、邻域、点列的极限 平面上任何两点M1 ( x1 , y1 )和M( 2 x2 , y2 )之间的距离

r ( M1 , M 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

凡是与M 0(x0 ,y0 )的距离小于?的那些点M 组成的平面点集, 叫做M 0的? 邻域,记为O( M 0 , ? ), 即
M 0. 2 ? ? 2 O( M 0 , ? )= ?( x , y ) ( x ? x0 ) ? ? y ? y0 ? ? ? ?。 ? ? 在几何上表示一个以M 0为圆心,以? 为半径的圆内部,

?

但不包含圆周本身.
3

§13.1. 平面点集 1.定义:(点列收敛)

设平面点列{M n } ? {( xn , yn )}, M 0 ? ? x0 , y0 ? . 如果对M 0的任何一个邻域O ( M 0 , ?), 存在N ,当n ? N时,有 M n ? O ( M 0 , ? ), 就称? M n ?收敛,并且收敛于M 0, 记为 即 lim M n ? M 0 .
n??

? x n , y n ? ? ? x 0 , y0 ? ? n ? ? ?
4

§13.1. 平面点集 点列收敛也可以用不等式表示为:

? xn , yn ? ? ? x0 , y0 ? ? ?? ? 0, ?N ,当n ? N时,

2.性质

? x n ? x0 ?

2

? ( y n ? y0 ) ? ? .
2

(1) ? xn , yn ? ? ? x0 , y0 ? ? xn ? x0 , yn ? y0 . (2) 若? M n ?收敛,则它的极限为一。
5

§13.1. 平面点集

证 ( 1)“? ” .设? xn , yn ? ? ? x0 , y0 ? .

则?? ? 0,
? ?,

?正整数N,当n ? N时,有

? xn ? x0 ? ? ? yn ? y0 ?
2

2

更有

xn ? x0 ? ? ,

yn ? y0 ? ?

? xn ? x0 ,

yn ? y0 .

“?”。设xn ? x0 , yn ? y0 ? n ? ?? .
6

§13.1. 平面点集

则?? ? 0,?正整数N,当n ? N时,有 ? ? x n ? x 0 ? , y n ? y0 ? 2 2
于是当n ? N时, 有

? xn ? x0 ? ? ? yn ? y0 ?
2

2

? ?,

?

? xn , yn ? ? ? x0 , y0 ? .
7

§13.1. 平面点集

(2) 设M n ? M , M n ? M ? n ? ?, { M n }收敛于不同的两点?。

则?? ? 0,?正整数N,当n ? N时,有
r Mn , M ?

?

?

?
2

,

r Mn , M ?

?

?

?
2

.

? 当n ? N 时,

r M , M ? r Mn , M ? r Mn , M ? ?

?

? ?

?

?

?

这表明 M ? M 。
8

§13.1. 平面点集 二、开集、闭集、区域
设E是一个平面点集.

1.内点: 设M0 ? E .如果存在? ? 0, 使得O( M0 , ? ) ? E ,

就称M0是E的内点.

设M1 ? E .如果存在? ? 0, 使得O( M1 , ? ) ? E ? ? , 2.外点: 就称M1是E的外点. 3.界点: 设M * ? R2 .如果?? ? 0, 都有O( M * , ? ) ? E ? ? ,

O( M * , ? ) ? ( R2 \ E ) ? ? , 就称M *是E的边界点. 即M ?的任意?邻域内既有 E的点又有非 E的点 .
4边界: E的边界点全体叫做E的边界.
9

§13.1. 平面点集 5.开集:若E的点都是E的内点,则称 E是开集. ? 2 2 E ? ( x , y ) x ? y ? 1 是开集. M 1? E

?

?

M ??

2 设 M ? R .如果?? ? 0, 有 6.聚点: 0

O( M 0 , ? ) ? ( E \ ? M 0 ?) ? ? , 就称M 0是E的聚点。

M0

? ?

?

M 0任意邻域内都有 E的无限多个点 .
性质: 设M 0是E的聚点,则在E中存在一个点列? M n ?以
M 0为极限.

E ? {( x, y) | x ? y ? 1}, 它的内点和界点都是E的聚点.
2 2

10

§13.1. 平面点集 例1.

设E ? (x , y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 .

?

?

y

(x , y ) 1 ? x ? y ? 4 ;
2 2

? ? ?

则E的内点全体为

x2 ? y2 ? 4

?

x2 ? y2 ? 1

E的外点全体为

o

x

(x , y ) x 2 ? y 2 ? 1 或 x 2 ? y 2 ? 4 E的边界为
2 2 2 2

?

(x , y ) x ? y =1或x ? y ? 4 .
11

?

§13.1. 平面点集 例2. 设E ?

?? x, y ? x ? Q且y ? Q? , 则E的内点全体为? ,
2

E的外点全体为? , E的边界为R .

12

§13.1. 平面点集 7.闭集: 若E的所有聚点都在E内,就称E是闭集.
E ? ( x , y ) x 2 ? y 2 ? 1 是闭集.即包含边界的点集.

?

?

8.区域: 设E是一个开集,并且E中任意两点M1和M 2之间
都可以用折线连接起来,且折线都在E中,就称E 是区域. 区域加上它的边界就是闭区域.

9.有界: 设 D是一集合,如果存在M ? 0, 使得 D ? O(0, M ),

就称 D是有界的.
M1

E ? E1 ? E2
M1

E

M2
区域

· E
1

M2
不是区域

E ·

2

13

§13.1. 平面点集 三、平面点集的几个基本定理

矩形套定理: 设 ?an ? x ? bn , cn ? y ? d n ? 是矩形序列,
其中每一个矩形都含在前一个矩形中,
?

并且 bn ? an ? 0, d n ? cn ? 0,

那么有唯一的一点M 0 ? x0 , y0 ?,
M0 ? ( x0 , y0 )

使得an ? x0 ? bn , cn ? y0 ? d n , n ? 1,2,?

致密性定理:如果序列? M n ? xn , yn ?? 有界,那么从
其中必能选取收敛的子列.
14

§13.1. 平面点集 有限覆盖定理:若一开矩形集合???=?? ? x ? ? , ? ? y ? ? ?

覆盖一有界闭区域,那么从??? 里,必可选 出有限个开矩形,它们也能覆盖这个区域。
收敛原理: 平面点列? M n ? 有极限的充分必要条件是:

?? ? 0, ?N ,当m , n ? N时,有r ( M n , M m ) ? ? .

三、作业: p142. 2. 4
15


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