2013年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目_图文

高考数学讲座—— 导数的应用 高三数学组 栗文玲 2014.09.19 考情分析:导数及其应用一直是高考数学的重点,热点也是 难点,特别是通常出现在理科数学试卷的压轴题中,对考生 数学能力的要求较高,试题往往具有挑战性,是能否取得高 分的关键。 复习要点:在导数的复习备考中要努力通过以下三关:第一 关,会求函数的导函数,即能准确,熟悉地根据导数的运算 法则及其基本函数的导数,求出题目中函数的导数,特别要 注意运算的准确性,它关系后面结果的对错,第二关,会直 接应用导数解题,如利用导数求函数单调性,最值等,第三 关,会构造应用,能对试题所涉及的函数进行合理的改造和 变形,然后再利用导数解决。 破解技巧: (1)熟悉运用导数研究函数性质的基本程序:先 求函数定义域,再求导数,确定导函数的零点,由此可得函 数的单调性及最值。 (2)对于含参变量的最值问题,特别要注意分类讨论思想 的应用。 (3)对于比较陌生的创新问题,要注意等价转化的思想, 化为熟悉的基本问题。 (4)若试题有若干个小题,则特别注意前后小题之间的联 系,要利用前面小题所得的结论解决后面问题的意识。
1

典型例题讲解: 1.(2013 北京卷 18 题)(本小题共 13 分)
设 l 为曲线 C: y ? (I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方
ln x 在点(1,0)处的切线. x

练习 1.已知函数 f(x)=x2e-x, (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截 距的取值范围。 例 2 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值. 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ? .
a x

2

(Ⅰ )当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x , f ?( x ) ? 1 ? ( x ? 0) ,
? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,

2 x

即 x ? y ?2 ? 0. (Ⅱ )由 f ?( x ) ? 1 ? ?
a x x?a , x ? 0 可知: x

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上增函数, 函数 f ( x ) 无极值; ② 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;
x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0
? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值.

综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值.

3

4.(2013 广东卷 21 题).(本小题满分 14 分)
x 2 设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
1 ? (Ⅱ) 当 k ? ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ?

【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,

x x x x f ? x? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2 x ? xe ? 2 x ? x e ? 2

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:
x
f ? ? x?

? ??,0?
?

0

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0

0

f ? x?

极大 值

极小 值

右 表 可 知 , 函 数 f ? x ? 的 递 减 区 间 为 ? 0,ln 2? , 递 增 区 间 为

? ??,0? , ? ln 2, ??? .
(Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,
x x x x
4

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k , 则 g ? ? k ? ? 上递增, 所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所 以 当 x ? 0,ln ? 2k ? 时 , 时,
1 1? k 1 ? ?1 ? ? 0 , 所以 g ? k ? 在 ? ,1 ? k k ?2 ? ?

?

?

f ? ? x? ? 0

,? ; 当 x ??l n ? k2? ??

f ? ? x? ? 0 ;

k 3 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k
k k 3 令 h ? k ? ? ? k ?1? e ? k ?1 ,则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,

?
k

?

?

?

?

?

令 ? ?k ? ? e

? 3k ,则 ?? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
?2? ? 2?

1 ? 3? ?1? ? 所以 ? ? k ? 在 ? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 ?2 ?
1 ? ? ? ? 所以存在 x0 ? ? ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? 2 2

1

?

?

?

?k ? ? 0 ,

当 k ? ? x0 ,1? 时, ?
1 ? ?

?k ? ? 0 ,

? 所以 ? ? k ? 在 ? ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. 2

1? 1 7 因为 h ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ? ??? ?2? 2 8
? 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. 1 ?2 ?

综上,函数

f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? ek ? k 3 .
x ?1 ? ? x ? . (I)若 x ? 0时, f ? x ? ? 0, 求?的最小值;; 1? x

5.(2013 广西卷 22 题) . (本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x ? = ln ?1 ? x ? ?

1 1 1 1 ? ln 2. (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ? ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? 2 3 n 4n

5

6.(2013 全国新课标二卷 21 题)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0

6

7.(2013 年河南山西河北卷 21)(本小题满分共 12 分)
已知函数 f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与 导数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x) = ex (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2ex ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4x ? 2 ( x ? ?2 ) ,
F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) ,

有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e2 ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时,F ( x) <0,当 x ? ( x1, ?? )

7

时,F ( x) >0, 即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减, 在 ( x1 , ??) 单调递增, 故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) ,而 F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e2 ,则 F ?( x) = 2e2 ( x ? 2)(ex ? e2 ) , ∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e2 ,则 F (?2) = ?2ke?2 ? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0, ∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e2 ].

8.(2013 湖北卷 22 题)设 n 是正整数, r 为正有理数。
(I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ? ? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;
r ?1

n r ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?1

?n

r

? n ? 1? ?

? n r ?1 ; r ?1

r ?1

? x? ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? ?2? ? ? 2,? ?? ? ? ? 4, (III)设 x ? R ,记 ?

? 3? ? ? ?1 。令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 2? ?
4 3 4 3

3

?S ? ? 的值。 125 ,求 ?
4 3 4 3

(参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 )
1 ? x ? ? 1? 证明: (I) f ?( x ) ? ? r ? 1??1 ? x ? ? ? r ? 1? ? ? r ? 1? ? ?? ?
r r

? f ( x ) 在 ? ?1,0 ? 上单减,在 ? 0, ?? ? 上单增。

? f ( x ) min ? f (0) ? 0

(II)由(I)知:当 x ? ?1 时, ?1 ? x ? 式了)

r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 (就是伯努利不等

8

r ?1 r ?1 r ? ? n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? 所证不等式即为: ? r ?1 r ?1 r ? ?n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

若 n ? 2 ,则 n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r ?1 r

r ?1

? 1? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r ? 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n ?
r

r


r r r ? 1? ?1 ? ? ? ? ? 1 , ? ? ? n n ?1 n ? n?
r

r r ? 1? ,故① 式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?

r

若 n ? 1 , n r ?1 ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1? 显然成立。
r ?1

n r ?1 ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1?

r ?1

? 1? ? n ? r ? 1 ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r ? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? ????② n ?1 ? n ?
r

r

r r r ? 1? ?1 ? ? ? ? 1 , ? n n ?1 ? n? n

r

r r ? 1? ,故② 式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?

r

综上可得原不等式成立。
1 4 4? 4 ? 3? 4 3? 3 3 3 3 (III)由(II)可知:当 k ? N 时, ? k ? ? k ? 1? ? ? k ? ?? k ? 1? ? k 3 ? 4? 4? ? ?

*

4 4 4? ? 3 125 ? 4 3? 3 3 3 ? S ? ? ? k ? ? k ? 1? ? ? ? 125 ? 80 3 ? ? 210.225 4 k ?81 ? ? 4? ?

4 4 4 4 ? 3? ? 3 125 ? 3 3 3 3 S ? ? ?? k ? 1? ? k ? ? ? 126 ? 81 ? ? 210.9 4 k ?81 ? ? 4? ?

?? ?S ? ? ? 211

9.(2013 年湖南卷 22 题) (本小题满分 13 分)
9

已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x?a 。 x ? 2a

(I) ;记 f ( x)在区间?0, 4? 上的最大值为g(a),求 g(a)的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两 点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

10

10.(2013 年江苏卷 20 题) . (本小题满分 16 分)
设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的 取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的 结论. 解: (1) f ?( x) ?
1 1 ? a ≤0 在 (1,??) 上恒成立,则 a ≥ , x x
x ? (1,? ?) .

故: a ≥1. g ?( x) ? e x ? a , 若 1≤ a ≤e,则 g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (1,??) 上恒成立, 此时, g ( x) ? e x ? ax在 (1,??) 上是单调增函数,无最小值,不合; 若 a >e,则 g ( x) ? e x ? ax 在 (1,ln a) 上是单调减函数,在 (ln a,? ?) 上是单调增 函数, g min ( x) ? g (lna) ,满足.故 a 的取值范围为: a >e. (2) g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (?1,??) 上恒成立,则 a ≤ex, 1 1 1 ? ax ( x ? 0) . 故: a ≤e . f ?( x) ? ? a ? x x 1 1 (ⅰ)若 0< a ≤e ,令 f ?( x) >0 得增区间为(0,a ); 1 令 f ?( x) <0 得减区间为(a ,﹢∞). 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 1 1 1 当 x=a 时,f(a )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a = e 时取等号. 1 1 故:当 a =e 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a < e 时,f(x)有 2 个零点. (ⅱ)若 a=0,则 f(x)=﹣lnx,易得 f(x)有 1 个零点. 1 (ⅲ)若 a<0,则 f ?( x) ? ? a ? 0 在 (0,? ?) 上恒成立, x 即: f ( x) ? ln x ? ax 在 (0,? ?) 上是单调增函数,当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x →﹢∞时,f(x)→﹢∞.此时,f(x)有 1 个零点. 1 1 综上所述: 当 a =e 或 a<0 时, f(x)有 1 个零点; 当 0< a < e 时 f(x)有 2 个零点.

11.(2013 年江西卷题). (本小题满分 14 分)
11

已知函数 f (x)=a(1-2 x- ) , a 为常数且 a >0 . (1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x = 对称; (2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 , 但 f (x0 ) ? x0 , 则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点, 如果 f (x) 有两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围; (3) 对于(2)中的 x1 ,x2 和 a , 设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A (x1,f(f(x1) ) ) ,B(x2,f(f(x2) ) ) ,C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性.
1 2

1 2

12

13

12.(2013 年辽宁卷 22 题) (本小题满分 12 分)
已知 f0 ( x) ? x n,f k ( x) ?
f k??1 ( x) ,其中 k ≤ n(n,k ? N+ ) .设 f k ?1 (1)

0 1 k n F ( x) ? Cn f0 ( x2 ) ? Cn f1 ( x2 ) ? …? Cn fk ( x2 ) ? …? Cn f n ( x2 ),x ???11 , ?.

(I)写出 f k (1) ;
14

(II)证明:对任意的 x1,x2 ???11 , ?,恒有 F (x1) ? F (x2 ) ≤ 2n?1(n ? 2) ? n ?1.

(22)本小题主要考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数 性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问 题的能力.满分 12 分. (I)解:由已知推得 fk ? x ? ? ? n ? k ? 1? xn?k ,从而有 fk ?1? ? n ? k ? 1. · 3分 (II)证法一:当 ?1 ≤ x ≤1 时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ? k ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ? n ?1 2 ? 2Cn x ?1,

?

?

当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?0, 1? 上是增函数. 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ??1 , 0? 上是减函数. 所以对任意的 x1 , x2 ?? ?11 · · · · · 7分 , ? ,恒有 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? .·
0 1 2 F ?1? ? F ? 0? ? Cn ? nCn ? ? n ?1? Cn ? n?1 n ?2 ? nCn ? ? n ?1? Cn ? k ? ? n ? k ?1? Cn ? n?1 ? 2Cn

n ?k ? ? n ? k ?1? Cn ?

1 0 . ? 2Cn ? Cn

? n ? k ?1? Cnn?k ? ? n ? k ? Cnn?k ? Cnn?k ? ? n ? k ?

? n ?1?! ? C k n! k ? Cn ?n ? n ? k ? !k ! ? n ? 1 ? k ? !k ! n
n ?1 ? Cn ? ? Cn0

k k · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? nCn , 2, ,n ?1? , · ?1 ? Cn ? k ? 1
1 2 ? F ?1? ? F ? 0 ? ? n ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? n ?1 1 2 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ? Cn ?

? n ? 2 n ?1 ? 1? ? 2 n ? 1 ? 2n?1 ? n ? 2? ? n ?1 .

因此结论成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 证法二:当 ?1 ≤ x ≤1 时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ?

?

k ? ? n ? k ? 1? Cn x

2? n ? k ?

?

n ?1 2 ? 2Cn x ?1,

当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?0, 1? 上是增函数. 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ??1 , 0? 上是减函数. 所以对任意的 x1 , x2 ?? ?11 · · · · · 7分 , ? ,恒有 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? .·
0 1 2 F ?1? ? F ? 0? ? Cn ? nCn ? ? n ?1? Cn ? 1 2 又 F ?1? ? F ? 0? ? 2Cn ? 3Cn ? k ? ? n ? k ?1? Cn ? n?1 , ? 2Cn

n?1 0 , ? nCn ? Cn

15

1 2 ? 2 ? F ?1? ? F ? 0 ? ? ? ? n ? 2 ? ? Cn ? Cn ?

n ?1 ? Cn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ? 2 ,·

? F ?1? ? F ? 0 ? ?

1 1 2 ? Cn ? ? n ? 2 ? ? Cn 2

n ?1 ? Cn ? ?1

? ? n ? 2?

2n ? 2 ? 1 ? 2n?1 ? n ? 2 ? ? n ? 1 .因此结论成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2
2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ?

证法三:当 ?1 ≤ x ≤1 时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x

?

k ? ? n ? k ? 1? Cn x

2? n ? k ?

?

n ?1 2 ? 2Cn x ?1,

当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?0, 1? 上是增函数. 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ??1 , 0? 上是减函数. 所以对任意的 x1 , x2 ?? ?11 · · · · · 7分 , ? ,恒有 F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? .·
n?k k k 2? n ? k ? ? ? n ? k ? Cn x Cn f k ? x 2 ? ? ? n ? k ? 1? Cn x 2? n ? k ? n?k ? Cn x 2? n ? k ?

2, ,n-1? , ? k ? 1,

n?k 由 ? n ? k ? Cn ? ?n ? k ?

? n ?1?! ? nC n?1?k ,得 n! ?n n ?1 ? n ? k ? !k ! ? n ? 1 ? k ? !k !
n ?3 ? Cn ?1 x 2? n ? 3?

n?2 F ? x ? ? nx 2 ? ?Cn?1 x

2? n ? 2 ?

?

0 n ?1 2? n ?1? ? 2 n ? Cn ? Cn x ? ?1 ? ? x

0 ? Cn

? nx2 ? ?1? x2 ? ? ?

n ?1

?x

2? n ?1?

? ? ?1 ? x2 ?n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ?

? F ?1? ? F ? 0 ? ? n ? 2n ?1 ? 1? ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 1 .

因此结论成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 证法四:当 ?1 ≤ x ≤1 时,
1 F ? x ? ? x 2 n ? nCn x 2? n ?1? 2 ? ? n ? 1? Cn x 2? n ? 2 ?

?

k ? ? n ? k ? 1? Cn x

2? n ? k ?

?

n ?1 2 ? 2Cn x ?1,

当 x ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?0, 1? 上是增函数. 又 F ? x ? 是偶函数,所以 F ? x ? 在 ? ?1,0? 上是减函数. 所以对任意的 x1 , x2 ?? ?11 , ? ,恒有
F ? x1 ? ? F ? x2 ? ≤ F ?1? ? F ? 0 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
1 n ?1 2 n?2 x ??1 ? x ? ? x n ? ? x ? ?Cn x ? Cn x ? ? ? n k n ?k ? Cn x ? n?2 2 n ?1 ? Cn x ? Cn x ? 1? ?

1 n 2 n?1 ? Cn x ? Cn x ?

k n?k ?1 ? Cn x ?

n ?2 3 n?1 2 ? Cn x ? Cn x ?x

16

对上式两边求导,得 ??1 ? x ? ? xn ? ? x ?n ?1 ? x ? ? ? ?
n

n ?1

? nx n?1 ? ?
n ?2 2 n?1 ? 3Cn x ? 2Cn x ?1,

1 n?1 2 n ?2 ? nCn x ? ? n ?1? Cn x ?

k n ?k ? ? n ? k ?1? Cn x ?

??1 ? x ? ? x ?n ?1 ? x ? ?
n

n ?1

? nx n?1 ? ?
k n ?k ? ? n ? k ?1? Cn x ?
n?1

1 n?1 2 n ?2 ? xn ? nCn x ? ? n ?1? Cn x ?

n ?2 2 n?1 ? 3Cn x ? 2Cn x ?1 ,

? F ? x ? ? ?1 ? x2 ? ? x2 ? n ?1 ? x2 ? ? ?
n

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? nx2? n?1? ? ? ?

? F ?1? ? F ? 0? ? 2n?1 ? n ? 2? ? n ?1 .
因此结论成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

13. (2013 年山东卷 21 题) (本小题满分 13 分)
设函数 f ( x) ?
x ? c(e ? 2.71828 e2 x

是自然对数的底数, c ? R) .

(1)求 f ( x) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数. 解答: (1) f ' ( x) ?
1 2
1? 2x 1 ,令 f ' ( x) ? 0 得, x ? , 2x 2 e

当 x ? (??, ), f ' ( x) ? 0, 函数单调递增;
1 1 x?( , ? ?), f ' ( x) ? 0, 函数单调递减; 所以当 x ? 时,函数取得最的最大值 2 2 1 f max ( x ) ? ?c 2e 1 (2)由(1)知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到 ? c ,然后递减 2e

到 c,而函数|lnx|是(0,1)时由正无穷递减到 0,然后又逐渐增大。 故令 f(1)=0 得, c ? ? 所以当 c ? ? 当c ? ?
1 , e2

1 时,方程有两个根; e2

1 时,方程有一两个根; e2 1 当 c ? ? 2 时,方程有无两个根. e

17

14.(2013 年陕西卷 21 题).(本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) ? e , x ? R .

(Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较 【答案】(Ⅰ) e ?2 ; (Ⅱ) 当 m ? (0,
? ( e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ,有 1 个公共点;当 m 4 4
f (a) ? f (b) 与 f (b) ? f (a) 的大小, 2 b?a

并说明理由.

e2 , ? ?) 有 2 个公共点; 4
f (a) ? f (b) 2

(Ⅲ)

>

f (b) ? f (a) b?a

【解析】 (Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g ( x) ? ln x 相
?kx0 ? 1 ? lnx0 2 ?2 切与点 P(x0, y 0 ), 则? 。所以 k ? e ?2 1 ? x0 ? e , k ? e ? k ? g' (x ) ? 0 ? x0 ?

(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公 共点个数即方程 f ( x) ? mx2 根的个数。 由 f ( x) ? m x2 ? m ?
ex ex xe x ( x ? 2) , 令 h ( x ) ? ? h ' ( x ) ? , x2 x2 x2

则 h(x)在 (0,2)上单调递减,这时 h(x)? (h(2), ??); h(x) 在(2,??)上单调递增 , 这时h(x)? (h(2), ??). h(2) ?
h(2) 是y ? h(x) 的极小值即最小值。

e2 . 4

所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,
e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ,有 1 个公共点;当 m 4 4
18

? (

e2 , ? ?) 有 2 个公共点; 4 f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

( Ⅲ) 设

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x 。
g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增

,且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 , 而g (0) ? 0,
所以在(0,??)上g ( x) ? 0 。

?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

15.(2013 年上海卷 22 题)
设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c
(n ? N ? , b, c ? R) .

(1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内的零点;
2

(2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内存在唯一的零点;
2

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ???1,1? ,有

f 2 (x1 ) ? f 2 (x2 ) ≤ 4

求 b 的取值范围.

19

(2)证明:因为 f n ( )<0 , fn (1)>0 。所以 f n ( ) ? fn (1)<0 。所以 f n (x) 在
1 ( , 1) 内存在零点 。 2 1 任取x1、x2 ? ( ,1),且x1 <x2,则f n (x1 )-f n (x 2 )=(x1n -x2 n )+(x1 -x 2 )<0 , 故 f n) x ( 2

1 2

1 2

1 ( ) 1, 内 2

20

16.(2013 年四川卷 21 题)(本小题满分 14 分)
?x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? , 其中 a 是实数, 设 A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) 为 ?ln x, x ? 0
该函数图象上的点,且 x1 ? x2 . (I)指出函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最

21

小值; (III)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

22

17. (2013 年天津卷 20 题)(本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ?
f (s) .

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

23

24

18. (2013 浙江卷 21 题) .(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,
函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ )
f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识 点及综合运用能力。 (Ⅰ)(ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a f max ? x ? ? max{ f (0),( f 1) } ? max{(b ? a),(3a ? b) }? ? =|2a-b|﹢a; b ? 2a ?3a ? b,

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0
? x? b 6a



当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),( g 1) } 6a

25

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? 6a ? a ? b, ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,∴|2a-b|﹢a≤1.
? b ? 2a ? b ? 2a ? 取 b 为纵轴,a 为横轴.则可行域为: b ? a ? 1 和 ?3a ? b ? 1 ,目标 ? ?

函数为 z=a+b.作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??,3? .

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ? ??,3? .

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19(2013 年重庆卷 17 题)设 f ? x ? ? a ? x ? 5?2 ? 6 ln x ,其中 a ? R ,
曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

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